2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第1部分 专题突破 专题3 第1讲　等差数列、等比数列

第1讲等差数列、等比数列[考情分析]1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.等差、等比数列求和及综合应用是高考考查的重点．考点一等差数列、等比数列的基本运算核心提炼等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*)(1)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)等比数列的通项公式：an＝a1qn－1.(3)等差数列的求和公式：Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d.(4)等比数列的求和公式：Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q，q≠1，na1，q＝1.例1(1)(2022·南通调研)设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S5＝4a4，则S12a5等于()A．10B．14C．15D．18答案C解析设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，因为S5＝4a4，所以5a1＋5×42d＝4(a1＋3d)，得a1＝2d(d≠0)，所以S12a5＝12a1＋12×112da1＋4d＝24d＋66d6d＝15.(2)(2022·日照模拟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an}，则log2(a3·a5)的值为()A．8B．10C．12D．16答案C解析∵最下层的“浮雕像”的数量为a1，依题意有，公比q＝2，n＝7，S7＝a11－271－2＝1016，解得a1＝8，则an＝8×2n－1＝2n＋2(1≤n≤7，n∈N*)，∴a3＝25，a5＝27，从而a3·a5＝25×27＝212，∴log2(a3·a5)＝log2212＝12.规律方法等差数列、等比数列问题的求解策略(1)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q.(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列．(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算．跟踪演练1(1)(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6等于()A．14B．12C．6D．3答案D解析方法一设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由题意可得S3＝168，a2－a5＝42，即a11＋q＋q2＝168，a1q1－q3＝42，解得a1＝96，q＝12，所以a6＝a1q5＝3.方法二设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由题意可得S3＝168，a2－a5＝42，即a11－q31－q＝168，a1q1－q3＝42，解得a1＝96，q＝12，所以a6＝a1q5＝3.(2)(2022·广东联考)北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为a1，a2，a3，…，a9，设数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，且a2＝18，a4＋a6＝90，则()A．a1＝6B．{an}的公差为7C．a6＝3a3D．S9＝405答案D解析设等差数列{an}的公差为d.由a4＋a6＝90，得a5＝45，又a2＝18，联立方程a1＋d＝18，a1＋4d＝45，解得a1＝9，d＝9，故A，B错误；因为a6＝9＋5×9＝54，a3＝9＋2×9＝27，所以a6＝2a3，故C错误；因为S9＝9a1＋a92＝9a5＝405，故D正确．考点二等差数列、等比数列的性质核心提炼1．通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，对于等比数列，有aman＝apaq＝a2k.2．前n项和的性质：(1)对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数时除外)．(2)对于等差数列有S2n－1＝(2n－1)an.例2(1)(2022·南昌模拟)已知公差不为0的等差数列{an}满足a25＋a26＝a27＋a28，则()A．a6＝0B．a7＝0C．S12＝0D．S13＝0答案C解析∵a25＋a26＝a27＋a28，∴a27－a25＋a28－a26＝0，∴2d(a7＋a5)＋2d(a8＋a6)＝0，又d≠0，a8＋a5＝a6＋a7，∴2(a7＋a6)＝0，∴S12＝12a1＋a122＝12a6＋a72＝0.(2)(2022·武汉质检)已知等比数列{an}的各项均为正数，公比为q，a11，a6＋a7a6a7＋12，记{an}的前n项积为Tn，则下列选项错误的是()A．0q1B．a61C．T121D．T131答案D解析∵等比数列{an}的各项均为正数，a11，a6＋a7a6a7＋12，∴(a6－1)(a7－1)0，∵a11，若a61，则一定有a71，不符合题意，则a61，a71，∴0q1，故A，B正确；∵a6a7＋12，∴a6a71，T12＝a1a2a3…a12＝(a6a7)61，故C正确；T13＝a1371，故D错误．规律方法等差数列、等比数列的性质问题的求解策略(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解．(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．跟踪演练2(1)若数列{an}为等比数列，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝2，则a15＋a16等于()A．32B．64C．128D．256答案C解析因为{an}是等比数列，a1＋a2＝1≠0，所以数列{a2n－1＋a2n}仍然是等比数列，记bn＝a2n－1＋a2n，设其公比为q，由b1＝1，b2＝2得，q＝b2b1＝2，所以a15＋a16＝b8＝28－1＝128.(2)(2022·济宁检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a10，a4＋a110，a7·a80，则下列结论正确的是________．(填序号)①数列{an}是递增数列；②S6S9；③当n＝7时，Sn最大；④当Sn0时，n的最大值为14.答案②③④解析∵在等差数列{an}中，a10，a4＋a11＝a7＋a80，a7·a80，∴a70，a80，∴公差d0，数列{an}是递减数列，①错误；∵S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a80，∴S6S9，②正确；∵a70，a80，数列{an}是递减数列，∴当n＝7时，Sn最大，③正确；∵a4＋a110，a70，a80，∴S14＝14a1＋a1420，S15＝15a1＋a152＝15×2a82＝15a80，∴当Sn0时，n的最大值为14，④正确．考点三等差数列、等比数列的判断核心提炼等差数列等比数列定义法an＋1－an＝dan＋1an＝q(q≠0)通项法an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1中项法2an＝an－1＋an＋1(n≥2)a2n＝an－1an＋1(n≥2，an≠0)前n项和法Sn＝an2＋bn(a，b为常数)Sn＝kqn－k(k≠0，q≠0,1)证明数列为等差(比)数列一般使用定义法．例3(2022·连云港模拟)若数列{an}满足：a1＝1，a2＝5，对于任意的n∈N*，都有an＋2＝6an＋1－9an.(1)证明：数列{an＋1－3an}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．(1)证明由an＋2＝6an＋1－9an，得an＋2－3an＋1＝3an＋1－9an＝3(an＋1－3an)，且a2－3a1＝5－3＝2，所以数列{an＋1－3an}为等比数列，首项为2，公比为3.(2)解由(1)得an＋1－3an＝2×3n－1，等式左右两边同时除以3n＋1，可得an＋13n＋1－3an3n＋1＝29，即an＋13n＋1－an3n＝29，且a131＝13，所以数列an3n为等差数列，首项为13，公差为29，所以an3n＝13＋(n－1)×29＝2n＋19，所以an＝2n＋19×3n＝(2n＋1)×3n－2.易错提醒(1)a2n＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.(2){an}为等比数列，可推出a1，a2，a3成等比数列，但a1，a2，a3成等比数列并不能说明{an}为等比数列．(3)证明{an}不是等比数列可用特值法．跟踪演练3(2022·湖北七市(州)联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝3Sn－2(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：对任意的m∈N*，Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列．(1)解当n＝1时，a1＝3S1－2＝3a1－2，所以a1＝1；当n≥2时，因为an＝3Sn－2，所以an－1＝3Sn－1－2，所以an－an－1＝3an，即an＝－12an－1，所以数列{an}是等比数列，其通项公式为an＝－12n－1.(2)证明对任意的m∈N*，2Sm＋2＝2×1－－12m＋21＋12＝431－－12m＋2，Sm＋Sm＋1＝1－－12m1＋12＋1－－12m＋11＋12＝232－－12m－－12m＋1＝431－－12m＋2，所以2Sm＋2＝Sm＋Sm＋1，即Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列．专题强化练一、选择题1．(2022·荆州联考)已知数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，前n项和为Sn，满足2a4＝a3＋5，则S9等于()A．35B．40C．45D．50答案C解析由题意2a4＝a3＋5，得2(a1＋3d)＝a1＋2d＋5，即a1＋4d＝5，即a5＝5，所以S9＝9a1＋a92＝9a5＝9×5＝45.2．(2022·济宁模拟)在等比数列{an}中，a1＋a3＝1，a6＋a8＝－32，则a10＋a12a5＋a7等于()A．－8B．16C．32D．－32答案D解析设等比数列{an}的公比为q，则a6＋a8＝(a1＋a3)q5＝1×q5＝－32，所以q5＝－32，故a10＋a12a5＋a7＝a5＋a7q5a5＋a7＝q5＝－32.3．(2022·漳州质检)我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1,2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、对角线的三个数之和都等于15，如图所示．一般地，将连续的正整数1,2,3，…，n2填入n×n个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做n阶幻方．记n阶幻方中数的和即方格内的所有数的和为Sn，如图三阶幻方中数的和S3＝45，那么S9等于()A．3321B．361C．99D．33答案A解析由题意知，S9＝1＋2＋3＋…＋92＝92×1＋922＝3321.4．(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q0，乙：{Sn}是递增数列，则()A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B解析当a10，q1时，an＝a1qn－10，此时数列{Sn}单调递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{Sn}单调递增时，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn0，若a10，则qn0(n∈N*)，即q0；若a10，则qn0(n∈N*)，不存在．所以甲是乙的必要条件．5．(2022·福州质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0.若Sn≤S6，则()A．a10B．a70C．a6＝0D．S13≤0答案D解析因为Sn≤S6