2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第1部分 专题突破 专题5 培优点7　概率与统计的创新问题

培优点7概率与统计的创新问题概率与统计问题在近几年的高考中背景取自现实，题型新颖，综合性增强，难度加深，主要考查学生的阅读理解能力和数据分析能力．要从已知数表、题干信息中经过阅读分析判断获取关键信息，搞清各数据、各事件间的关系，建立相应的数学模型求解．考点一概率和数列的综合例1某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送节日礼物，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶A1，A2，A3中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶B1，B2中的一个．(1)记事件En：一次性购买n个甲系列盲盒后集齐玩偶A1，A2，A3玩偶；事件Fn：一次性购买n个乙系列盲盒后集齐B1，B2玩偶．求概率P(E5)及P(F4)；(2)某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒．通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为23，购买乙系列的概率为13；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为14，购买乙系列的概率为34，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为12，购买乙系列的概率为12；如此往复，记某人第n次购买甲系列的概率为Qn.①求{Qn}的通项公式；②若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个．解(1)若一次性购买5个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为35，集齐A1，A2，A3玩偶，则有两种情况：①其中一个玩偶3个，其他两个玩偶各1个，则有C13C35A22种结果；②其中两个玩偶各2个，另外一个玩偶1个，则有C13C15C24种结果，故P(E5)＝C13C35A22＋C13C15C2435＝60＋90243＝150243＝5081；若一次性购买4个乙系列盲盒，全部为B1与全部为B2的概率相等，均为124，故P(F4)＝1－124－124＝78.(2)①由题可知，Q1＝23，当n≥2时，Qn＝14Qn－1＋12(1－Qn－1)＝12－14Qn－1，则Qn－25＝－14Qn－1－25，Q1－25＝415，即Qn－25是以415为首项，以－14为公比的等比数列．所以Qn－25＝415×－14n－1，即Qn＝25＋415×－14n－1.②因为每天购买盲盒的100人都已购买过很多次，所以对于每一个人来说，某一天来购买盲盒时，可看作n→＋∞，所以其购买甲系列的概率近似于25，假设用ξ表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则ξ～B100，25，所以E(ξ)＝100×25＝40，即购买甲系列盲盒的人数的均值为40，所以礼品店应准备甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个．规律方法本题的关键是通过审题，找到第n次购买与前一次购买之间的联系，从而找到数列的递推关系．跟踪演练1(2022·青岛模拟)规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回地任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则该轮记为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．(1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量X，求X的分布列和均值；(2)为验证抽球试验成功的概率不超过12，有1000名数学爱好者独立地进行该抽球试验，记t表示成功时抽球试验的轮次数，y表示对应的人数，部分统计数据如下：t12345y23298604020求y关于t的线性回归方程y^＝b^t＋a^，并预测成功的总人数(精确到1)；(3)证明：122＋1－122132＋1－1221－132142＋…＋1－1221－132…1－1n21n＋1212.附：线性回归方程系数：b^＝i＝1nxiyi－nxyi＝1nx2i－nx2，a^＝y－b^x；参考数据：i＝15x2i＝1.46，x＝0.46，x2＝0.212(其中xi＝1ti，x＝15i＝15xi)．(1)解由题知，X的取值可能为1,2,3，所以P(X＝1)＝1C122＝14；P(X＝2)＝1－1C1221C132＝112；P(X＝3)＝1－1C1221－1C132＝23，所以X的分布列为X123P1411223所以E(X)＝1×14＋2×112＋3×23＝3＋2＋2412＝2912.(2)解令xi＝1ti，则y^＝b^x＋a^，由题知i＝15xiyi＝315，y＝90，所以b^＝i＝15xiyi－5xyi＝15x2i－5x2＝315－5×0.46×901.46－5×0.212＝1080.4＝270，所以a^＝90－270×0.46＝－34.2，y^＝270x－34.2，故所求的线性回归方程为y^＝270t－34.2，所以估计t＝6时，y≈11；估计t＝7时，y≈4；估计t≥8时，y0，预测成功的总人数为450＋11＋4＝465.(3)证明由题知，在前n轮就成功的概率为P＝122＋1－122132＋1－1221－132142＋…＋1－1221－132…1－1n21n＋12，又因为在前n轮没有成功的概率为1－P＝1－122×1－132×…×1－1n＋12＝1－121＋12×1－13×1＋13×…×1－1n×1＋1n×1－1n＋1×1＋1n＋1＝12×32×23×43×…×n－1n×n＋1n×nn＋1×n＋2n＋1＝n＋22n＋2＝122n＋2＋12n＋2＝12＋12n＋212，故122＋1－122132＋1－1221－132142＋…＋1－1221－132…1－1n21n＋1212.考点二概率和函数的综合例2(2022·九江模拟)瑞昌剪纸被列入第二批国家级非物质文化遗产名录．为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品和创意作品各2幅，若有不少于3幅作品入选，将获得“巧手奖”.5轮比赛中，至少获得4次“巧手奖”的同学将进入决赛．某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各5幅，其中有4幅规定作品和3幅创意作品符合入选标准．(1)从这10幅训练作品中，随机抽取规定作品和创意作品各2幅，试预测该同学在一轮比赛中获“巧手奖”的概率；(2)以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率．经指导老师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率共提高了110，以获得“巧手奖”的次数均值为参考，试预测该同学能否进入决赛？解(1)由题可知，所有可能的情况如下，①规定作品入选1幅，创意作品入选2幅的概率P1＝C14C23C11C25C25＝325，②规定作品入选2幅，创意作品入选1幅的概率P2＝C24C13C12C25C25＝925，③规定作品入选2幅，创意作品入选2幅的概率P3＝C24C23C25C25＝950，故所求概率P＝325＋925＋950＝3350.(2)设强化训练后，规定作品入选的概率为p1，创意作品入选的概率为p2，则p1＋p2＝45＋35＋110＝32，由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为P＝C12p1(1－p1)·C22p22＋C22p21·C12p2(1－p2)＋C22p21·C22p22＝2p1p2(p1＋p2)－3(p1p2)2＝3p1p2－3(p1p2)2，∵p1＋p2＝32，且p1≥45，p2≥35，即32－p2≥45，32－p1≥35，即p2≤710，p1≤910，故可得45≤p1≤910，35≤p2≤710，p1p2＝p132－p1＝－p1－342＋916，∴p1p2∈2750，1425，令p1p2＝t，则P(t)＝－3t2＋3t＝－3t－122＋34在2750，1425上单调递减，∴P(t)≤P2750＝－3×2502＋3434.∵该同学在5轮比赛中获得“巧手奖”的次数X～B(5，P)，∴E(X)＝5P5×34＝1544，故该同学没有希望进入决赛．易错提醒构造函数求最值时，要注意变量的选取，以及变量自身的隐含条件对变量范围的限制．跟踪演练2(2022·新余模拟)学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”．活动规则如下：一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分；一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为12；参加“四人赛”活动(每天两局)时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p，13.李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动(每天两局)，各局比赛互不影响．(1)求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和均值；(2)设李明在这5天的“四人赛”活动(每天两局)中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为f(p)．求p为何值时，f(p)取得最大值．解(1)X可取5,6,7,8,9,10，P(X＝5)＝C05×125＝132，P(X＝6)＝C15×12×124＝532，P(X＝7)＝C25×122×123＝516，P(X＝8)＝C35×123×122＝516，P(X＝9)＝C45×124×12＝532，P(X＝10)＝C55×125＝132，分布列为X5678910P132532516516532132所以E(X)＝5×132＋6×532＋7×516＋8×516＋9×532＋10×132＝7.5(分)．(2)设一天得分不低于3分为事件A，则P(A)＝1－(1－p)1－13＝1－23(1－p)＝2p＋13，则恰有3天每天得分不低于3分的概率f(p)＝C352p＋133·1－2p＋132＝40243(2p＋1)3(1－p)2,0p1，则f′(p)＝40243×6(2p＋1)2(1－p)2－40243×2(2p＋1)3(1－p)＝40243(2p＋1)2(1－p)(4－10p)，当0p25时，f′(p)0；当25p1时，f′(p)0，所以函数f(p)在0，25上单调递增，在25，1上单调递减，所以当p＝25时，f(p)取得最大值．专题强化练1．(2022·湖北八市联考)2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3∶2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战6∶5惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇．(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有12的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数X的分布列和均值；(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知p1＝1，p2＝0.①试证明pn－14为等比数列；②设第n次传球之前，球在乙脚下的概率为qn，比较p10与q10的大小．(1)解