2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第1部分 专题突破 专题7 第2讲　不等式选讲

1、第2讲不等式选讲[考情分析]本部分主要考查绝对值不等式的解法、含绝对值的函数的最值，以及绝对值不等式恒成立问题和证明等，难度中等．考点一含有绝对值的不等式的解法核心提炼(1)|f(x)|a(a0)⇔f(x)a或f(x)－a.(2)|f(x)|a(a0)⇔－af(x)a.(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．例1(2022·包头模拟)已知函数f(x)＝|x－1|＋3|x＋1|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式f(x)f(x－1)的解集．解(1)当x≥1时，f(x)＝x－1＋3(x＋1)＝4x＋2，当－1x1时，f(x)＝(1－x)＋3(x＋1)＝2x＋4，当x≤－1时，f(x)＝(1－x)－3(x＋1)＝－4x－2，即f(x)＝4x＋2，x≥1，2x＋4，－1x1，－4x－2，x≤－1，如图，画出函数的图象，(2)将y＝f(x)的图象向右平移一个单位长度就得到函数y＝f(x－1)的图象，如图，画出两个函数在同一坐标系下的图象，y＝－4x－2向右平移一个单位长度得到函数y＝－4(x－1)－2＝－。

2、4x＋2，联立y＝2x＋4，y＝－4x＋2，解得x＝－13，y＝103，如图，当x－13时，f(x)f(x－1)，所以不等式f(x)f(x－1)的解集是－13，＋∞.规律方法含绝对值不等式的解法(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤①求零点；②划区间、去绝对值符号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．跟踪演练1(2022·临川模拟)已知f(x)＝|x－1|－a|x＋1|.(1)若a＝1，解不等式f(x)≤1；(2)若不等式f(x)≤1无解，求实数a的取值范围．解(1)∵a＝1，∴解不等式f(x)≤1就是解不等式|x－1|－|x＋1|≤1.当x－1时，原不等式可化为1－x＋x＋1≤1，∴x∈∅.当－1≤x≤1时，原不等式可化为1－x－x－1≤1，∴－12≤x≤1.当x1时，原不等式可化为x－1－x－1≤1，∴x1.∴原不等式的解集为－12，＋∞.(2)∵f(x)＝|x－1|－a|x＋1|，∴f(x)＝。

3、a－1x＋a＋1，x－1，－a－1x－a＋1，－1≤x≤1，1－ax－a－1，x1.当a≤－1时，f(x)min＝f(－1)＝21，∴原不等式无解成立．当－1a1时，f(x)min＝f(1)＝－2a，要使原不等式无解，则－2a1，即a－12，∴－1a－12.当a≥1时，f(0)＝1－a≤0，∴原不等式一定有解．综上，实数a的取值范围是－∞，－12.考点二含绝对值不等式的恒成立(有解)问题核心提炼定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．例2已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|，g(x)＝|x＋1|－|x－a|＋a.(1)当a＝1时，求不等式f(x)＋g(x)6的解集；(2)若对任意实数x1，x2，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，求实数a的取值范围．解(1)当a＝1时，不等式化为|x＋2|＋|x＋1|5.则x≥－1，2x＋35或－2≤x－1，15或x－2，－2x－3。

4、5.即－1≤x1或－2≤x－1或－4x－2，即－4x1，所以不等式的解集是(－4,1)．(2)因为f(x)＝|x－1|＋|x＋2|≥|(x－1)－(x＋2)|＝3，当且仅当(x－1)(x＋2)≤0，即－2≤x≤1时取等号，所以f(x)min＝3.因为g(x)＝|x＋1|－|x－a|＋a≤|(x＋1)－(x－a)|＋a＝|a＋1|＋a，当x≥max{a，－1}时取等号，所以g(x)max＝|a＋1|＋a.根据题意，f(x)min≥g(x)max，则3≥|a＋1|＋a，即|a＋1|≤3－a，所以3－a≥0，a＋12≤3－a2，解得a≤1，所以a的取值范围是(－∞，1]．规律方法(1)不等式恒成立抓住两点：①分离参数，化为a≥f(x)或a≤f(x)的形式；②转化最值，f(x)a恒成立⇔f(x)mina；f(x)a恒成立⇔f(x)maxa.(2)利用绝对值三角不等式的性质求最小值．跟踪演练2(2022·平顶山模拟)已知函数f(x)＝|2x＋a|＋|2x－1|(a∈R)．(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤7的解集；(2)若∃x∈R，使得f(x)≤－2a成立，求实数a的取值范围。

5、．解(1)当a＝2时，f(x)＝|2x＋2|＋|2x－1|.当x≤－1时，不等式f(x)≤7可化为－(2x＋2)－(2x－1)≤7，解得x≥－2，所以－2≤x≤－1；当－1x12时，不等式f(x)≤7可化为2x＋2－(2x－1)＝3≤7，所以－1x12；当x≥12时，不等式f(x)≤7可化为2x＋2＋(2x－1)≤7，解得x≤32，所以12≤x≤32.综上，不等式f(x)≤7的解集是－2，32.(2)∃x∈R，使得f(x)≤－2a，即∃x∈R，使得|2x＋a|＋|2x－1|＋2a≤0，等价于(|2x＋a|＋|2x－1|＋2a)min≤0.令g(x)＝|2x＋a|＋|2x－1|＋2a，则g(x)min＝|(2x＋a)－(2x－1)|＋2a＝|a＋1|＋2a.所以|a＋1|＋2a≤0.当a≥－1时，a＋1＋2a≤0，解得a≤－13，解得－1≤a≤－13；当a－1时，－a－1＋2a≤0，解得a≤1，解得a－1.综上，实数a的取值范围是－∞，－13.考点三不等式的证明核心提炼算术—几何平均不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果。

6、a，b为正数，则a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a，b，c为正数，则a＋b＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．例3(2022·全国甲卷)已知a，b，c均为正数，且a2＋b2＋4c2＝3，证明：(1)a＋b＋2c≤3；(2)若b＝2c，则1a＋1c≥3.证明(1)方法一(平方转化基本不等式证明)因为a2＋b2＋4c2＝3，所以(a＋b＋2c)2＝a2＋b2＋4c2＋2(ab＋2bc＋2ac)≤3＋(a2＋b2)＋[b2＋(2c)2]＋[a2＋(2c)2]＝3＋2[a2＋b2＋(2c)2]＝9，当且仅当a＝b＝2c＝1时取等号，又a，b，c均为正数，所以a＋b＋2c≤3.方法二(柯西不等式证明)因为a2＋b2＋4c2＝3，所以根据柯西不等式有3×3＝(a2＋b2＋4c2)·(12＋12＋12)≥(a＋b＋2c)2，当且仅当a＝b＝2c＝1时取等号．又a，b，c均为正数，所以a＋b＋2c≤3.。

7、(2)因为b＝2c，所以根据(1)有a＋4c≤3，所以1a＋1c＝133a＋3c≥13a＋4ca＋a＋4cc＝131＋4ca＋ac＋4≥135＋24ca·ac＝3，当且仅当a＝b＝2c＝1时取得等号．规律方法(1)证明不等式的基本方法有综合法、分析法等，也常用到基本不等式进行证明．(2)对于含有绝对值的不等式，在证明时常用到绝对值三角不等式．(3)对于含有根号的不等式，在证明时可用平方法(前提是不等式两边均为正数)．(4)如果所证明命题是否定性命题或唯一性命题，或以“至少”“至多”等方式给出，可以考虑反证法．跟踪演练3(2022·全国乙卷)已知a，b，c都是正数，且3332221abc，证明：(1)abc≤19；(2)ab＋c＋ba＋c＋ca＋b≤12abc.证明(1)因为a，b，c都是正数，1＝333222abca≥33333222abc＝3abc，所以abc≤19，当且仅当a＝b＝c＝2313时等号成立．(2)因为b0，c0，所以b＋c≥2bc.又因为a0，所以ab＋c≤a2bc，同理得ba＋c≤b2ac，ca＋b≤c2ab。

8、.利用不等式的性质得ab＋c＋ba＋c＋ca＋b≤a2bc＋b2ac＋c2ab333222222abcabcabcabc3332221,22abcabcabc当且仅当a＝b＝c＝2313时等号成立．专题强化练1．(2022·合肥模拟)已知函数f(x)＝|2x＋a|＋|x－1|.(1)当a＝4时，求不等式f(x)6的解集：(2)若f(x)≥a2－|x－1|对任意的x∈R恒成立，求a的取值范围．解(1)当a＝4时，不等式f(x)6可化为|2x＋4|＋|x－1|6，当x－2时，不等式f(x)6可化为－2x－4－(x－1)6，解得－3x－2；当－2≤x≤1时，不等式f(x)6可化为2x＋4－(x－1)6，解得－2≤x1；当x1时，不等式f(x)6可化为2x＋4＋x－16，无解，综上所述，当a＝4时，不等式f(x)6的解集为(－3,1)．(2)由f(x)≥a2－|x－1|得a2≤|2x＋a|＋|2x－2|，因为|2x＋a|＋|2x－2|≥|(2x＋a)－(2x－2)|＝|a＋2|(当且仅当(2x＋a)(2x－2)≤0时，等号成立)，又因为a2≤|2x＋a|＋|2x－2|。

9、对任意的x∈R恒成立，所以a2≤|a＋2|，当a＋2≤0，即a≤－2时，有a2≤－a－2，即a2＋a＋2≤0，此不等式无解，当a＋20，即a－2时，有a2≤a＋2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2，综上所述，a的取值范围为－1≤a≤2.2．(2022·酒泉模拟)已知函数f(x)＝|x－2|＋|x＋t|(t0)，g(x)＝|x＋3|－|x－1|.(1)若f(x)的最小值为3，求t的值；(2)在(1)的前提下，若f(x＋a)≥g(x)，求a的取值范围．解(1)f(x)＝|x－2|＋|x＋t|≥|t＋2|＝t＋2＝3，当且仅当－t≤x≤2时，等号成立，所以t＝1.(2)g(x)＝－4，x－3，2x＋2，－3≤x≤1，4，x1，f(x＋a)＝－2x－2a＋1，x－a－1，3，－a－1≤x≤2－a，2x＋2a－1，x2－a，画出函数f(x＋a)与g(x)的大致图象，如图所示，由图可知，当2x＋2a－1≥2x＋2时，即a≥32时，f(x＋a)≥g(x)恒成立．3．(2022·汉中模拟)已知函数f(x)＝|x－4m|＋x＋1m.(1)当m＝1时，求不等式f(x)7的解。

10、集；(2)证明：当m1时，f(x)＋1m－1－1m≥8.(1)解当m＝1时，f(x)＝|x－4|＋|x＋1|＝－2x＋3，x≤－1，5，－1x4，2x－3，x≥4，当x≤－1时，－2x＋37，解得x－2；当－1x4时，57，显然不成立；当x≥4时，2x－37，解得x5.综上，当m＝1时，不等式f(x)7的解集为(－∞，－2)∪(5，＋∞)．(2)证明f(x)＝|x－4m|＋x＋1m≥x－4m－x＋1m＝4m＋1m，当且仅当－1m≤x≤4m时，等号成立，∵m1，∴4m＋1m＝4m＋1m，∴f(x)＋1m－1－1m≥4m＋1m＋1m－1－1m＝4m＋1m－1，4m＋1m－1＝4(m－1)＋1m－1＋4≥24＋4＝8，当且仅当4(m－1)＝1m－1，即m＝32时，等号成立，故f(x)＋1m－1－1m≥8.4．已知函数f(x)＝x＋14＋|2x＋1|，f(x)的最。