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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 专题4 向量综合归类(讲+练)-2023年高考数学二轮复习讲练测(全国通用)(原卷版)
专题4向量综合归类目录讲高考.........................................................................................................................................1题型全归纳..................................................................................................................................2【题型一】向量夹角...................................................................................................................2【题型二】线性运算1:基底型基础...........................................................................................2【题型三】线性运算2:双线交点型...........................................................................................3【题型四】线性运算3:“赵爽弦图”模型................................................................................5【题型五】向量基底“象限坐标轴”..........................................................................................6【题型七】向量最值...................................................................................................................8【题型八】数量积.......................................................................................................................9【题型九】模及其应用..............................................................................................................10【题型十】投影.........................................................................................................................11【题型十一】面积与奔驰定理...................................................................................................11专题训练...................................................................................................................................13讲高考1.(2022·全国·统考高考真题)已知向量,ab满足||1,||3,|2|3abab,则ab()A.2B.1C.1D.22.(福建·高考真题)已知||1,||3,0OAOBOAOB,点C在AOB内,且30AOC.设()OCmOAnOBmnR、,则mn等于()A.13B.3C.33D.33.(山东·高考真题)在直角ABC中CD是斜边AB上的高,则下列等式不成立的是()A.2ACACABB.2CBBABCC.2ABACCDD.22ACABBABCCDAB4.(2022·全国·统考高考真题)在ABC中,点D在边AB上,2BDDA.记CAmCDn,,则CB()A.32mnB.23mnC.32mnD.23mn5.(2022·全国·统考高考真题)已知O为坐标原点,过抛物线2:2(0)Cypxp焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点(,0)Mp,若||||AFAM,则()A.直线AB的斜率为26B.||||OBOFC.||4||ABOFD.180OAMOBM6.(全国·高考真题)向量ab、满足()(2)4abab,且||2,||4ab,则a与b夹角的余弦值等于___________.题型全归纳【题型一】向量夹角【讲题型】例题1.已知平面向量a、b、c满足221cacb,则4ab与2cb所成夹角的最大值是()A.6B.3C.23D.56例题2.已知单位向量a,b,c满足322abc,则b与2ac夹角的余弦值为()A.33B.32C.22D.23【讲技巧】求平面向量夹角的方法:(1)定义法:利用向量数量积的定义得cos,ababab,其中两向量,ab的取值范围是0,;(2)坐标法:若非零向量()11,axy=r、()22,bxy=r,则121222221122cos,xxyyabxyxy.两个向量的夹角为锐角,则有a·b0,反之不成立;两个向量夹角为钝角,则有a·b0,反之不成立【练题型】1.已知cos,1,sina,sin,1,cosb,则向量ab与ab的夹角为()A.90°B.60°C.30°D.0°2.已知向量a,b满足2a,1,1br,2ab,设a与ab的夹角为,则cosA.12B.12C.22D.223.已知两个单位向量a,b的夹角为π3,则a与ab的夹角为()A.π3B.π2C.3π4D.2π3【题型二】线性运算1:基底型基础【讲题型】例题1.在ABC中,BDDC,APPD,且BPABAC,则()A.1B.12C.12D.-1例题2.设D为ABC所在平面内一点,2BDDC,M为AD的中点,则MB()A.5163ABACB.1536ABACC.5163ABACD.1536ABAC【讲技巧】用已知向量表示某一向量的两个关键点:(1)用已知向量来表示某一向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义,如首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.【练题型】1.设M是ABC边BC上任意一点,N为AM的中点,若ANABAC,则的值为()A.1B.12C.13D.142.已知在ABC中,点M在边BC上,且2BCCM,点E在边AC上,且12AEEC,则向量EM()A.1123ACABB.1162ACABC.1126ACABD.1362ACAB3.已知在平行四边形ABCD中,点M、N分别是BC、CD的中点,如果ABa,ADb,那么向量MN()A.1122abB.1122abC.12abD.1122ab【题型三】线性运算2:双线交点型【讲题型】例题1.如图,ABC中,,,ADDBAEECCD与BE交于F,设ABa,ACb,AFxayb,则,xy为()A.11,33B.22,33C.11,22D.21,32例题2.在ABC中,2ADDB,2BEEC,直线CD与AE交于点P,若APmABnAC,则,mn()A.32,77B.23,77C.34,77D.24,77【讲技巧】向量共线定理(两个向量之间的关系):向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数,使得ba.变形形式:已知直线l上三点A、B、P,O为直线l外任一点,有且只有一个实数,使得:(1)OPOAOB.特别提醒:共线向量定理应用时的注意点:向量共线的充要条件中要注意“0a”,否则可能不存在,也可能有无数个.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线;另外,利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合.【练题型】1.ABC中,M、N分别是BC、AC上的点,且2BMMC,2ANNC,AM与BN交于点P,则下列式子正确的是()A.3142APABACB.1324APABACC.1124APABACD.1142APABAC2.如图,在ABC中,14ADAB,12AEAC,BE和CD相交于点F,则向量AF等于()A.1277ABACB.1377ABACC.121414ABACD.131414ABAC3.在ABC中,12,,,43BEBAADACBDCE交于点F,则BF()A.2133BABCB.1263BABCC.1243BABCD.1163BABC【题型四】线性运算3:“赵爽弦图”模型【讲题型】例题1.如图所示,在ABC中,设,ABaACb,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点恰为P,则AP()A.1122abB.1233abC.2477abD.4277ab例题2.我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,如图所示.在“赵爽弦图”中,若,,aBAbBEBC3EF,则BF()A.1292525abB.16122525abC.4355abD.3455ab【练题型】1.如图是由等边△AIE和等边△KGC构成的六角星,图中的B,D,F,H,J,L均为三等分点,两个等边三角形的中心均为O.若OAmOCnOJ,则mn()A.12B.23C.34D.12.如图,在ABC中,设,ABaACbuuuvuuuvvv,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点为P,若APmanbuuuvvv,则mn()A.12B.23C.67D.1【题型五】向量基底“象限坐标轴”【讲题型】例题1.如图,//OMAB,点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且OPxOAyOBuuuruuruuur,则实数对,xy可以是()A.13,44B.17,55C.11,42D.22,33例题2.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,设向量OAa,OBb,其中a(3,1),b(1,3).若OCλaμb,且0≤μ≤λ≤1,那么C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是()A.B.C.D.【讲技巧】在平面向量的线性运算中,如图OPxOAyOBuuuruuruuur,,xy的范围可仿照直角坐标系得出,OA,OB类比于,xy轴,直角坐标系中有四个象限,类比在(,,OOAOB)中也有四个象限,如第Ⅰ象限有00xy,第Ⅱ象限有00xy,第Ⅲ象限有00xy,第Ⅳ象限有00xy,也可类比得出其中的直线方程,二元一次不等式组表示的平面区域等等.【练题
本文标题:专题4 向量综合归类(讲+练)-2023年高考数学二轮复习讲练测(全国通用)(原卷版)
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