专题5-1 均值不等式及其应用归类（讲+练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（全国通用）（解析版）

专题5-1均值不等式及其应用归类目录讲高考.........................................................................................................................................1题型全归纳..................................................................................................................................4【题型一】公式应用及限制条件.................................................................................................4【题型二】构造“公式型”........................................................................................................6【题型三】“1”的代换..............................................................................................................7【题型四】“积”与“和”混合型..............................................................................................8【题型五】构造分母代换型......................................................................................................10【题型七】分离常数消去型......................................................................................................11【题型八】消去型.....................................................................................................................13【题型九】多次均值.................................................................................................................14【题型十】多元均值.................................................................................................................16【题型十一】权方和不等式......................................................................................................17【题型十二】万能“k”法........................................................................................................19【题型十三】整体换元..............................................................................................................20【题型十四】均值应用：恒成立...............................................................................................21专项训练...................................................................................................................................22讲高考1．（2022·全国·统考高考真题）已知910,1011,89mmmab，则（）A．0abB．0abC．0baD．0ba【答案】A【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log101m，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m，8log9m，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】［方法一］：（指对数函数性质）由910m可得9lg10log101lg9m，而222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022，所以lg10lg11lg9lg10，即lg11m，所以lg11101110110ma.又222lg8lg10lg80lg8lg10lg922，所以lg9lg10lg8lg9，即8log9m，所以8log989890mb.综上，0ab.［方法二］：【最优解】（构造函数）由910m，可得9log10(1,1.5)m．根据,ab的形式构造函数()1(1)mfxxxx，则1()1mfxmx，令()0fx，解得110mxm，由9log10(1,1.5)m知0(0,1)x.()fx在(1,)上单调递增，所以(10)(8)ff，即ab，又因为9log10(9)9100f，所以0ab.故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用,ab的形式构造函数()1(1)mfxxxx，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．2．（2021·全国·统考高考真题）下列函数中最小值为4的是（）A．224yxxB．4sinsinyxxC．2y22xxD．4lnlnyxx【答案】C【分析】根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,BD不符合题意，C符合题意．【详解】对于A，2224133yxxx，当且仅当=1x时取等号，所以其最小值为3，A不符合题意；对于B，因为0sin1x，4sin244sinyxx，当且仅当sin2x时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为R，而20x，242222442xxxxy，当且仅当22x，即1x时取等号，所以其最小值为4，C符合题意；对于D，4lnlnyxx，函数定义域为0,11,，而lnxR且ln0x，如当ln1x，5y，D不符合题意．故选：C．【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．3．（2021·全国·统考高考真题）已知1F，2F是椭圆C：22194xy的两个焦点，点M在C上，则12MFMF的最大值为（）A．13B．12C．9D．6【答案】C【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MFMFa，借助基本不等式212122MFMFMFMF即可得到答案．【详解】由题，229,4ab，则1226MFMFa，所以2121292MFMFMFMF（当且仅当123MFMF时，等号成立）．故选：C．4．（陕西·高考真题）已知不等式19axyxy≥对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】由11axayxyaxyyx，然后利用基本不等式求最小值，利用最小值大于等于9，建立不等式，解之即可.【详解】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要1axyxy的最小值大于等于9即可，000xya，，，1112axayxyaaaxyyx，当且仅当xayyx即yax时等号成立，219aa，2a或4(a舍去)，即4a所以正实数a的最小值为4.故选：B.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.5．（·天津·高考真题）已知函数23,1,()2,1.xxxfxxxx设aR，若关于x的不等式()||2xfxa在R上恒成立，则a的取值范围是A．47[,2]16B．4739[,]1616C．[23,2]D．39[23,]16【答案】A【详解】不等式()2xfxa为()()2xfxafx(*)，当1x时，(*)式即为22332xxxaxx，2233322xxaxx，又22147473()241616xxx（14x时取等号），223339393()241616xxx（34x时取等号），所以47391616a，当1x时，(*)式为222xxaxxx，32222xxaxx，又3232()2322xxxx（当233x时取等号），222222xxxx（当2x时取等号），所以232a，综上47216a．故选A．【考点】不等式、恒成立问题【名师点睛】首先满足()2xfxa转化为()()22xxfxafx去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对x的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据x的范围，利用极端原理，求出对应的a的范围.题型全归纳综述1．基本不等式：ab≤a＋b2；(1)基本不等式成立的条件：a0，b0；(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.(3)基本不等式的变形：①a＋b≥2ab，常用于求和的最小值；②ab≤a＋b22，常用于求积的最大值；2．常用不等式：(1)重要不等式：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)重要不等式链：a2＋b22≥a＋b2≥ab≥2aba＋b；【题型一】公式应用及限制条件【讲题型】例题1.下列不等式中，一定成立的是（）A．44xxB．1ln2lnxxC．2ababD．222xx【答案】D【解析】利用基本不等式或反例逐项检验可得正确的选项.【详解】对于A，取2x，则444xx，故A错.对于B，取1xe，则1ln22lnxx，故B错..对于C，取1ab，则112abab，故C错.对于D，由基本不等式可得22222xxxx，当且仅当0x时等号成立，故选：D.例题2.）若0ab，则下列不等式成立的是（）A．2abababB．2abababC．2abaabbD．2abaabb【答案】C【解析】根据题中