专题8-2 圆锥曲线综合大题归类（讲+练）-2023年高考数学二轮复习讲练测（全国通用）（原卷版）

专题8-2圆锥曲线综合大题归类目录讲高考.........................................................................................................................................1题型全归纳..................................................................................................................................2【题型一】求根型.......................................................................................................................2【题型二】最值型.......................................................................................................................3【题型三】多斜率计算型............................................................................................................5【题型四】韦达定理复杂转化型.................................................................................................6【题型五】线段（向量）定比型.................................................................................................7【题型六】求轨迹方程型............................................................................................................8【题型七】定点定值定曲线型.....................................................................................................9【题型八】非对称非伟达型......................................................................................................10专题训练...................................................................................................................................10讲高考1．（普通高等学校招生考试数学（理）试题（山东卷））已知动圆过定点,02p，且与直线2px相切，其中0p．(1)求动圆圆心C的轨迹的方程；(2)设AB、是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为和，当,变化且为定值()0π时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．2．（2021年北京市高考数学试题）已知椭圆2222:1(0)xyEabab一个顶点(0,2)A，以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为45．（1）求椭圆E的方程；（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交y=-3交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．3．（2021年浙江省高考数学试题）如图，已知F是抛物线220ypxp的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且2MF，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线,,MAMBAB，x轴依次交于点P，Q，R，N，且2RNPNQN，求直线l在x轴上截距的范围.4．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知抛物线2:2(0)Cypxp的焦点F到准线的距离为2．（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足9PQQF，求直线OQ斜率的最大值.5．(2020年天津市高考数学试卷)已知椭圆22221(0)xyabab的一个顶点为(0,3)A，右焦点为F，且||||OAOF，其中O为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C满足3OCOF，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点．求直线AB的方程．题型全归纳【题型一】求根型【讲题型】例题1.已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎＞𝑏＞0)的离心率为12，左顶点为A，右焦点为F，且|AF|=3．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点F做互相垂直的两条直线l1，l2分别交直线l：x=4于M，N两点，直线AM，AN分别交椭圆于P，Q两点，求证：P，F，Q三点共线．例题2.已知抛物线方程𝑦2=4𝑥,𝐹为焦点，𝑃为抛物线准线上一点，𝑄为线段𝑃𝐹与抛物线的交点，定义：𝑑(𝑃)=|𝑃𝐹||𝐹𝑄|.（1）当𝑃(−1,−83)时，求𝑑(𝑃)；（2）证明：存在常数𝑎，使得2𝑑(𝑃)=|𝑃𝐹|+𝑎；（3）𝑃1,𝑃2,𝑃3为抛物线准线上三点，且|𝑃1𝑃2|=|𝑃2𝑃3|，判断𝑑(𝑃1)+𝑑(𝑃3)与2𝑑(𝑃2)的关系.【讲技巧】求根型有以下几种：1.知道一根求另一根2.求根公式型3.韦达定理型【练题型】1、如图所示，椭圆2222:10xyCabab的离心率为12，其右准线方程为4x，A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点A、B作斜率分别为1k、2 k，直线AM和直线BN分别与椭圆C交于点M，N（其中M在x轴上方，N在x轴下方）.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线MN恒过椭圆的左焦点1  F，求证：12kk为定值.2.已知椭圆2222:10xyEabab的右焦点为F，点A，B分别为右顶点和上顶点，点O为坐标原点，11eOFOAFA，OAB的面积为2，其中e为E的离心率．(1)求椭圆E的方程；(2)过点O异于坐标轴的直线与E交于M，N两点，射线AM，AN分别与圆22:4Cxy交于P，Q两点，记直线MN和直线PQ的斜率分别为1k，2k，问12kk是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【题型二】最值型【讲题型】例题1.已知焦点在y轴上的椭圆2222:10yxCabab，离心率为32，且过点2,22，不过椭圆顶点的动直线:lykxm与椭圆C交于A、B两点，求：（1）椭圆C的标准方程；（2）求三角形AOB面积的最大值，并求取得最值时直线OA、OB的斜率之积.例题2.已知椭圆2222:10xyCabab的右焦点为3,0F，若过点F的直线与椭圆交于A，B两点，且AB的中点为433,55P．(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C的右顶点为D，点M，N在椭圆C上，且满足直线DM与DN的斜率之积为120，证明直线MN经过定点，并求DMN面积的最大值．【讲技巧】解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：1、几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；2、函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.3、此类问题通过联立直线方程与圆锥曲线方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解．比较多的是分式型，以下几种求最值的基本方法：（1）mxnpxq反比例函数型：，可以分离常数，利用“左加右减上加下减”画图（2）2mxnaxbxc与2mxaxbxcn型，可以设mx+n=t，换元，简化一次项，然后构造均值或者对勾函数求解。（3）22axbxcmxnxe型，判别式法，或者分离常数，然后转化分子为一次，再换元求解【练题型】1.已知椭圆C:222210xyabab的离心率为32,且过2,1A(1)求C的方程.(2)若,BP为C上不与A重合的两点,O为原点,且OPOAOB,221,①求直线OB的斜率;②与OB平行的直线l与C交于M,N两点,求AMN面积的最大值.2.如图，已知椭圆22112xy．设A，B是椭圆上异于(0,1)P的两点，且点0,21Q在线段AB上，直线,PAPB分别交直线132yx于C，D两点．(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；(2)求||CD的最小值．【题型三】多斜率计算型【讲题型】例题1.点,Pxy与定点2,0F的距离和它到直线22x的距离之比是常数22，设点P的轨迹为曲线E.直线l与抛物线22xy交于A，B两点，与曲线E交于C，D两点，设直线OA，OB，OC，OD（O为坐标原点）的斜率分别为1k，2k，3k，4k，若OAOB.（1）求曲线E的方程；（2）是否存在常数，满足1234kkkk？若存在，求出；若不存在，说明理由.例题2.椭圆E：222210xyabab的离心率12，长轴端点和短轴端点的距离为7.（1）求椭圆E的标准方程；（2）点P是圆2220xyrr上异于点,0Ar和,0Br的任一点，直线AP与椭圆E交于点M，N，直线BP与椭圆E交于点S，T.设O为坐标原点，直线OM，ON，OS，OT的斜率分别为OMk，ONk，OSk，OTk.问：是否存在常数r，使得OMONOSOTkkkk恒成立？若存在，求r的值；若不存在，请说明理由.【练题型】1.已知ABC中，1,0B，1,0C，4AB，点P在AB上，且BACPCA.（1）求点P的轨迹E的方程；（2）若31,2Q，过点C的直线与E交于M，N两点，与直线4x交于点K，记QM，QN，QK的斜率分别为1k，2k，3k，求证：1223kkkk为定值.2.已知点2,1P在椭圆22:182xyC上，1F，2F分别为椭圆C的左、右焦点，过点P的直线1l与椭圆C有且只有一个公共点，直线2l平行于OP（O为原点），且与椭圆C交于两点A、B，与直线2x交于点M（M介于A、B两点之间，且点A在M左侧）.（1）当PAB△面积最大时，求2l的方程；（2）求证：PAMBPBMA；并判断1l，2l，PA，PB的斜率是否可以按某种顺序构成等比数列？【题型四】韦达定理复杂转化型【讲题型】例题1.已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为32，且椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为4.（1）求椭圆C的方程；（2）设A为椭圆C的左顶点，过点A的直线l与椭圆交于点M，与y轴交于点N，过原点且与l平行的直线与椭圆交于点P.求2PANPAMAOPSSS（）的值.例题2.设椭圆22221xxab(ab0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为53，点A的坐标为,0b，且62FBAB.（I）求椭圆的方程；（II）设直线l：(0)ykxk与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若52sin4AQAOQP