专题08 平面解析几何（文理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

专题08平面解析几何一、单选题1．（2020·全国·高考真题（理））已知A为抛物线C:y2=2px（p0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（）A．2B．3C．6D．9【答案】C【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知||122ApAFx，即1292p，解得6p=.故选：C.2．（2021·北京·高考真题）已知直线ykxm（m为常数）与圆224xy交于点MN，，当k变化时，若||MN的最小值为2，则mA．B．2C．3D．2【答案】C【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m【详解】由题可得圆心为0,0，半径为2，则圆心到直线的距离21mdk，则弦长为22||241mMNk，则当0k时，弦长|MN取得最小值为2242m，解得3m.故选：C.3．（2020·全国·高考真题（文））点(0，﹣1)到直线1ykx距离的最大值为（）A．1B．2C．3D．2【答案】B【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点(1,0)P，设(0,1)A，当直线(1)ykx与AP垂直时，点A到直线(1)ykx距离最大，即可求得结果.【详解】由(1)ykx可知直线过定点(1,0)P，设(0,1)A，当直线(1)ykx与AP垂直时，点A到直线(1)ykx距离最大，即为||2AP.故选：B.4．（2022·全国·高三练习）若圆2221:10Cxyrr上存在点P，且点P关于直线y＝x的对称点Q在圆222:211Cxy上，则r的取值范围是（）A．21,21B．21,2C．0,2D．0,1【答案】A【分析】利用对称圆，把问题转化为两圆的位置关系问题进行处理.【详解】根据题意，圆1C的圆心坐标为（0，1），半径为r，其关于直线y＝x的对称圆3C的方程为2221xyr，根据题意，圆3C与圆2C有交点，既可以是外切，也可以是相交，也可以是内切．又圆222:211Cxy，所以圆3C与圆2C的圆心距为2223||21102CC，所以只需121rr，解得21,21r．故B，C，D错误.故选：A.5．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知椭圆C：222210xyabab的离心率为32，直线l：0ykxk交椭圆C于A，B两点，点D在椭圆C上（与点A，B不重合）．若直线AD，BD的斜率分别为1k，2k，则124kk的最小值为（）A．34B．2C．23D．42【答案】B【分析】不妨假设A，D，则可求B，将B，D代入椭圆，然后两式进行相减可得22221212220xxyyab，整理出1214kk，代入124kk之后再结合基本不等式即可求出答案【详解】解：设11,Axy，22,Dxy，则11,Bxy．∵点B，D都在椭圆C上，∴2211222222221,1,xyabxyab两式相减，得22221212220xxyyab．∴2121221212yyyybxxxxa，即22221222114backkeaa．∴12111111111422kkkkkkkk．当且仅当11k时取“=”．故选：B．6．（2022·全国·高三练习）已知抛物线C：28yx，点P为抛物线上任意一点，过点P向圆D：22430xyx作切线，切点分别为A，B，则四边形PADB的面积的最小值为（）A．1B．2C．3D．5【答案】C【分析】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接PD，则Rt2PADPADBSSPA四边形△，而21PAPD，所以当PD最小时，四边形PADB的面积最小，再抛物线的定义转化为点P到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果【详解】如图，连接PD，圆D：2221xy，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，则Rt2PADPADBSSPA四边形△．又21PAPD，所以当四边形PADB的面积最小时，PD最小．过点P向抛物线的准线2x作垂线，垂足为E，则PDPE，当点P与坐标原点重合时，PE最小，此时2PE．故2minmin13PADBSPD四边形．故选：C7．（2021·河南·高三开学考试（理））已知M为双曲线22221(0,0)xyabab的右顶点，A为双曲线右支上一点，若点A关于双曲线中心O的对称点为B，设直线MA、MB的倾斜角分别为、，且1tantan4，则双曲线的离心率为（）A．5B．3C．62D．52【答案】D【分析】设出,AB坐标，根据题意得14MAMBkk，代入斜率公式，由A点在双曲线上，消元整理得到,ab的关系，进一步求得双曲线的离心率.【详解】设00,Axy，则00,Bxy，因为1tantan4，即14MAMBkk，由(,0)Ma，所以2000220000014yyyxaxaxa，因为2200221xyab，所以2220220aaybx，即2220222014bxaaxa，得2214ba，所以12ba，即12ba又222cab，所以22214caa，即2254ca，所以52cea，故双曲线的离心率为52e．故选：D.8．（2021·四川省内江市第六中学高三开学考试）已知O为坐标原点，F是椭圆2222:1(0)xyCabab的左焦点，AB､分别为椭圆C的左､右顶点，P为椭圆C上一点，且PFx轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则椭圆C的离心率为（）A．13B．12C．23D．34【答案】A【分析】根据题意画图，利用AFM△相似于AOE△，和BOH相似于BFM列方程求解即可.【详解】如图，由题意得(0)Aa，､(0)Ba，､()0Fc，，设(0)Em，，因为PFx轴，所以MFOE∥，所以MFAFOEAO，得()macMFa①，又由OHMF∥，OE中点为H，得OHBOMFBF，得()2macMFa②，由①②得1()2acac，则13cea.故选：A.9．（2022·全国·高考真题（理））椭圆2222:1(0)xyCabab的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线,APAQ的斜率之积为14，则C的离心率为（）A．32B．22C．12D．13【答案】A【分析】设11,Pxy，则11,Qxy，根据斜率公式结合题意可得2122114yxa，再根据2211221xyab，将1y用1x表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】解：,0Aa，设11,Pxy，则11,Qxy，则1111,APAQyykkxaxa，故21112211114APAQyyykkxaxaxa，又2211221xyab，则2221212baxya，所以2221222114baxaxa，即2214ba，所以椭圆C的离心率22312cbeaa.故选：A.10．（2022·广西柳州·模拟预测（理））如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，从2F发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且3cos5BAC，ABBD，则E的离心率为（）A．52B．173C．102D．5【答案】B【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用2||BF表示11||,||,||BFAFAB，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.【详解】依题意，直线,CADB都过点1F，如图，有1ABBF，13cos5BAF，设2||BFm，则1||2BFam，显然有14tan3BAF，133||||(2)44ABBFam，231||24AFam，因此，1271||2||24AFaAFam，在1RtABF，22211||||||ABBFAF，即222971(2)(2)()1624amamam，解得23ma，即1282||,||33BFaBFa，令双曲线半焦距为c，在12RtBFF中，2222112||||||BFBFFF，即22228()()(2)33aac，解得173ca，所以E的离心率为173.故选：B11．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆2222:10xyCabab，点P是C上任意一点，若圆222:Oxyb上存在点M、N，使得120MPN，则C的离心率的取值范围是()A．30,2B．3,12C．10,2D．1,12【答案】C【分析】连接OP，设直线PA、PB分别与圆O切于点A、B，OPA，根据题意得到60，在直角三角形中，利用正弦函数的定义得到23bOP，再结合maxOPa，得到C的离心率的取值范围．【详解】连接OP，当P不为椭圆的上、下顶点时，设直线PA、PB分别与圆O切于点A、B，OPA，∵存在M、N使得120MPN，∴120APB，即60，又90，∴sinsin60，连接OA，则3sin2OAbOPOP，∴23bOP．又P是C上任意一点，则max23bOP，又maxOPa，∴23ba，则由222abc，得214e，又01e，∴10,2e．故选：C．12．（2022·全国·模拟预测（文））已知过点4,0Pmm作圆22:40Cxyy的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（）A．1,2B．2,1C．1,1D．11,2【答案】A【分析】通过过点4,0Pmm作圆22:40Cxyy的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，能得到AB是以PC为直径的圆和圆C的公共弦，将两圆的方程相减可得直线AB的方程，从而求得直线AB恒过定点坐标.【详解】圆22:40Cxyy的方程可化为22:(2)4Cxy，所以圆心(0,2)C.则以PC为直径的圆的圆心为2(2,)2m，设以PC为直径的圆的半径为r，则2224(2)16(2)222PCmmr.所以以PC为直径的圆的方程为222216(2)(2)()24mmxy.过点4,0Pmm作圆22:40Cxyy的切点分别为A，B,两圆的交点为A,B,即两圆的公共弦为AB.将两圆的方程相减可得直线AB的方程为4(2)20xmym，即(2)(42)0myxy.令20420yxy得12xy.所以直线AB必过定点1,2.故选：A.二、填空题13．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三模拟）已知12,FF为双曲线22221(0,0)xyabab的两个焦点，过点2F且垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且1260FPF，则此双曲线的渐近线方程为___________.【答案】2yx【分析】设2=PFm，在12RtPFF中，根据1230PFF，可以求出112PFFF、的长，根据双曲线的定义可以求出2am，求出离心率，利用22cab，可以求出ab、之间的关系，最后求出双曲线的渐近线方程.【详解】设2=PFm，所以1=2PFm，1223FFcm，由双曲线定义可知：122PFPFam222222