考点6-1 等差数列(文理）-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）（解析版）

考点6-1等差数列1．（2020·全国·高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块【答案】C【分析】第n环天石心块数为na，第一层共有n环，则{}na是以9为首项，9为公差的等差数列，设nS为{}na的前n项和，由题意可得322729nnnnSSSS，解方程即可得到n，进一步得到3nS.【详解】设第n环天石心块数为na，第一层共有n环，则{}na是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99nann，设nS为{}na的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为232,,nnnnnSSSSS，因为下层比中层多729块，所以322729nnnnSSSS，即3(927)2(918)2(918)(99)7292222nnnnnnnn即29729n，解得9n，所以32727(9927)34022nSS.故选：C2．（2019·全国·高考真题（理））记nS为等差数列{}na的前n项和．已知4505Sa，，则A．25nanB． 310nanC．228nSnnD．2122nSnn【答案】A【分析】等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，55a，44(72)1002S，排除B，对C，245540,25850105SaSS，排除C．对D，24554150,5250522SaSS，排除D，故选A．【详解】由题知，41514430245dSaaad，解得132ad，∴25nan，故选A．3．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列na的公差为d，若数列1naa为递减数列，则（）A．0dB．0dC．10adD．10ad【答案】D【分析】根据数列1naa为递减数列列不等式，化简后判断出正确选项.【详解】依题意，数列na是公差为d的等差数列，数列1naa为递减数列，所以111nnaaaa，11nnaaaad，1111,0nnaaaaadad.故选：D4.．（2020·全国·高考真题（文））记nS为等差数列na的前n项和．若1262,2aaa，则10S__________．【答案】25【分析】因为na是等差数列，根据已知条件262aa，求出公差，根据等差数列前n项和，即可求得答案.【详解】na是等差数列，且12a，262aa设na等差数列的公差d根据等差数列通项公式：11naand可得1152adad即：2252dd整理可得：66d解得：1d根据等差数列前n项和公式：*1(1),2nnnSnadnN可得：1010(101)1022045252S1025S.故答案为：25.5.（2021·辽宁·东北师范大学连山实验高中高三阶段练习（文））等差数列{}na前n项和为nS，281112aaa，则13S___________.【答案】52【分析】由281112aaa结合等差数列的性质可得74a，然后利用等差数列的求和公式可求得结果【详解】28111111()71031812aaaadadadad164ad，即74a1131371313134522aaSa故答案为：526．（2022·全国·高三专题练习）已知函数sintanfxxx，项数为27的等差数列na满足(,)22na，且公差0d，若1227()()()0fafafa，当()0kfa时，则k的值为（）A．14B．13C．12D．11【答案】A【分析】根据题意得到sintanfxxx是奇函数，结合等差数列{}na有27项，利用等差数列的性质，即可得到答案.【详解】由函数sintanfxxx是奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点．而等差数列{}na有27项，(na,)22，若12327()()()()0fafafafa，则必有14()0fa，所以14k．故选：A.7．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数fx是奇函数且满足3()()2fxfx，(2)3f，数列{}na是等差数列，若23a，713a，则1232015()()()()fafafafa（）A．2B．3C．2D．3【答案】B【分析】根据题意得到函数()fx的周期为3，且21nan，转化为122015()()()fafafa(1)(3)(2029)fff，结合因为(2)3,(0)0,13fff，即可求解.【详解】因为函数fx是奇函数且满足3()()2fxfx，可得3()()2fxfx，则3(3)()()2fxfxfx，即(3)()fxfx，所以()fx为周期为3的函数，又因为数列{}na是等差数列，且23a，713a，可得113613adad，解得11a，2d，所以21nan，所以1232015()()()()(1)(3)(5)(2029)fafafafaffff，因为(2)3,(0)0ff，所以13f，所以(1)(3)(5)0fff，所以1232015()()()()(1)(2029)(1)(3)3fafafafaffff.故选：B.8．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列{}na的前n项和为nS，已知344(1)2012(1)1aa，320092009(1)2012(1)1aa，则下列结论中正确的是（）A．20122012S，20094aaB．20122012S，20094aaC．20122011S，20094aaD．20122011S，20094aa【答案】A【分析】先由题设得410a，200910a，即可得到20094aa；将两式相加，结合立方差公式化简得出420092aa，再由等差数列性质结合求和公式求解即可.【详解】由题意344(1)2012(1)1aa，320092009(1)2012(1)1aa，显然344(1),1aa同号，320092009(1),1aa同号，则410a，200910a，则200941aa，把已知的两式相加可得334420092009(1)2012(1)(1)2012(1)0aaaa，整理可得22420094200942009(2)[(1)(1)(1)(1)2012]0aaaaaa，又42009(1)(1)0aa，则224200942009(1)(1)(1)(1)20120aaaa，所以420092aa，而2012120124200920122012()()201222Saaaa.故选：A．9.（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}na满足：*11Nnnnaann，则数列{}na的前40项和40S____．【答案】420【分析】由题意可得出212212242kkkkaaaak，所以取1,3,5,,19k，由等差数列的前n项和即可得出答案.【详解】解：由*1(1)(N)nnnaann，当2nk时，有2122kkaak，①当21nk时，有22121kkaak，②当21nk时，有222121kkaak，③①②得：21211kkaa，①③得：22241kkaak，212212242kkkkaaaak．404124324192S10(678)4202．故答案为：420．10．（2022·全国·高三专题练习）等差数列na的前n项和为nS，已知100S，1525S，则nnS的最小值为______．【答案】4【分析】由条件得到1323ad，再由求和公式得21103nSnn=，从而得21749324nnSn可求解.【详解】由112nnndSna，100S，1525S得11104501510525adad，解得：1323ad，则2121310233nnnSnnn=．故221174973324nnSnnn．由于Nn，故当3n或4时，min4nnS.故答案为：411．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知等差数列na（公差不为零）和等差数列nb的前n项和分别为nS，nT，如果关于x的实系数方程22021202120210xSxT有实数解，那么以下2021个方程201,2,3,,2021iixaxbi中，无实数解的方程最多有（）A．1008个B．1009个C．1010个D．1011个【答案】C【分析】设出两个等差数列的公差，由等差数列的性质得到21011101140ab，要想无实根，要满足240iiab，结合根的判别式与基本不等式得到10和2021Δ0至多一个成立，同理可证：20和2020Δ0至多一个成立，……，1010Δ0和1012Δ0至多一个成立，且1011Δ0，从而得到结论..【详解】由题意得：220212021420210ST，其中1202120211011202120212aaSa，1202120211011202120212bbTb，代入上式得：21011101140ab，要想201,2,3,,2021iixaxbi方程无实数解，则240iiab，显然第1011个方程有解，设方程2110xaxb与方程2202120210xaxb的判别式分别为1和2021Δ，则22221202111202120211202112021ΔΔ444ababaabb2212021101121202110111011101124824022aaabbbab，等号成立的条件是a1=a2021.所以10和2021Δ0至多一个成立，同理可证：20和2020Δ0至多一个成立，……，1010Δ0和1012Δ0至多一个成立，且1011Δ0，综上，在所给的2021个方程中，无实数根的方程最多1010个故选：C12．（2022·全国·高三专题练习）已知na是等差数列，sinnnba，存在正整数8tt，使得ntnbb，*nN.若集合*,nSxxbnN中只含有4个元素，则t的可能取值有（）个A．2B．3C．4D．5【答案】C【分析】考虑3t≤不符合题意，4,6,7,8t时，列举出满足条件的集合，再考虑5t时不成立，得到答案.【详解】当3t≤时，ntnbb，根据周期性知集合最多有3个元素，不符合；当4t时，4nnbb，取ππ26nan，此时3131,,,2222S，满足条件；当5t时，5nnbb，即sin5sinnnada，2π,5kdkZ，在单位