考向04函数及其表示（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）

考向04函数及其表示1.【2022年北京卷第11题】函数1()1fxxx的定义域是_________．【答案】,00,1【解析】因为11fxxx，所以100xx，解得1x且0x，故函数的定义域为,00,1；故答案为：,00,12.【2022年浙江卷第14题】已知函数22,1,11,1,xxfxxxx则12ff________；若当[,]xab时，1()3fx，则ba的最大值是_________．【答案】①.3728②.33【解析】由已知2117()2224f，77437()144728f，所以137()228ff，当1x时，由1()3fx可得2123x，所以11x，当1x时，由1()3fx可得1113xx，所以123x，1()3fx等价于123x，所以[,][1,23]ab，所以ba的最大值为33.故答案为：3728，33.1.求函数定义域的两种方法方法解读适合题型直接法构造使解析式有意义的不等式(组)求解已知函数的具体表达式，求f(x)的定义域转移法若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式ag(x)b即可求出y＝f(g(x))的定义域已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域2.求函数解析式的4种方法3.已知函数值或函数值的取值范围，求自变量的值或自变量的取值范围方法一：解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．方法二：如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．1．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．2．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点．易错点1：函数定义域是研究函数的基本依据，必须坚持定义域优先的原则，明确自变量的取值范围．易错点2：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．1．函数f(x)＝3xx－1＋ln(2x－x2)的定义域为()A．(2，＋∞)B．(1，2)C．(0，2)D．[1，2]【答案】B【解析】选B.要使函数有意义，则x－10，2x－x20，解得1x2.所以函数f(x)＝3xx－1＋ln(2x－x2)的定义域为(1，2)．2．若函数f(x)的定义域为[0，6]，则函数f（2x）x－3的定义域为()A．(0，3)B．[1，3)∪(3，8]C．[1，3)D．[0，3)【答案】D【解析】选D.因为函数f(x)的定义域为[0，6]，所以0≤2x≤6，解得0≤x≤3.又因为x－3≠0，所以函数f（2x）x－3的定义域为[0，3)．3.设函数f(x)＝2－x，x≤0，1，x0则满足f(x＋1)f(2x)的x的取值范围是()A．(－∞，－1]B．(0，＋∞)C．(－1，0)D．(－∞，0)【答案】D【解析】方法一：①当x＋1≤0，2x≤0，即x≤－1时，f(x＋1)＜f(2x)即为2－(x＋1)＜2－2x，即－(x＋1)＜－2x，解得x＜1.因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当x＋1≤0，2x＞0时，不等式组无解．③当x＋1＞0，2x≤0，即－1＜x≤0时，f(x＋1)＜f(2x)即1＜2－2x，解得x＜0.因此不等式的解集为(－1，0)．④当x＋1＞0，2x＞0，即x＞0时，f(x＋1)＝1，f(2x)＝1，不合题意．综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，0)．故选D.方法二：因为f(x)＝2－x，x≤0，1，x＞0，所以函数f(x)的图象如图所示．由图可知，当x＋1≤0且2x≤0时，函数f(x)为减函数，故f(x＋1)＜f(2x)转化为x＋1＞2x.此时x≤－1.当2x＜0且x＋1＞0时，f(2x)＞1，f(x＋1)＝1，满足f(x＋1)＜f(2x)．此时－1＜x＜0.综上，不等式f(x＋1)＜f(2x)的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0)．故选D.4.已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)的解析式为________________．【答案】f(x)＝x2－1(x≥1)【解析】(1)方法一(换元法)：令x＋1＝t，则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．方法二(配凑法)：f(x＋1)＝x＋2x＝x＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1.因为x＋1≥1，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．5．已知二次函数f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，则f(x)＝________．【答案】f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．【解析】方法一(换元法)：令2x＋1＝t(t∈R)，则x＝t－12，所以f(t)＝4(𝑡−12)2－6·t－12＋5＝t2－5t＋9(t∈R)，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．方法二(配凑法)：因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5＝(2x＋1)2－10x＋4＝(2x＋1)2－5(2x＋1)＋9，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．方法三(待定系数法)：因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c.因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，所以4a＝4，4a＋2b＝－6，a＋b＋c＝5，解得a＝1，b＝－5，c＝9，所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R)．答案：x2－5x＋9(x∈R)6．已知函数f(x)＝3x＋1，x2，x2＋ax，x≥2，若𝑓((23))＝－6，则实数a＝________，f(2)＝________．【答案】－5，－6.【解析】由题意得，f(23)＝3×23＋1＝3，所以𝑓((23))＝f(3)＝9＋3a＝－6，所以a＝－5，f(2)＝4－5×2＝－6.一、单选题1．（2022·江西赣州·二模（文））下列四个命题中正确的是（）A．若函数yfx的定义域为1,1，则1yfx的定义域为0,2B．若正三角形ABC的边长为2，则2ABBCC．已知函数2log11fxx，则函数yfx的零点为1,0D．“”是“tantan”的既不充分也不必要条件【答案】D【解析】对于A选项，若函数yfx的定义域为1,1，对于函数1yfx，则有111x，解得20x，即函数1yfx的定义域为2,0，A错；对于B选项，若正三角形ABC的边长为2，则cos1202ABBCABBC，B错；对于C选项，已知函数2log11fxx，令0fx，解得1x，所以，函数yfx的零点为1，C错；对于D选项，若2，则tan、tan无意义，即“”“tantan”；若tantan，可取4，54，则，即“”“tantan”.因此，“”是“tantan”的既不充分也不必要条件，D对.故选：D.2．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））下列各个函数图像所对应的函数解析式序号为（）①||()esinxfxx②()ln||gxxx③2()sintxxx④2e()xhxxA．④②①③B．②④①③C．②④③①D．④②③①【答案】A【解析】()fx，()tx的定义域为R，()gx，()hx的定义域为|0xx2e()0xhxx在定义域内恒成立，则前两个对应函数分别为④②当0,πx时，则()esinxfxxπ()esincos2esin4xxfxxxx，令()0fx，则30π4x()fx在30,π4上单调递增，在3π,π4上单调递减，则3π432()(π)e542fxf①对应的为第三个函数故选：A．3．（2021·上海杨浦·一模）已知非空集合A，B满足：ABR，AB，函数2()21xxAfxxxB，对于下列两个命题：①存在唯一的非空集合对(,)AB，使得()fx为偶函数；②存在无穷多非空集合对(,)AB，使得方程()2fx无解.下面判断正确的是（）A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①､②都正确D．①､②都错误【答案】B【解析】在同一平面直角坐标系画出2yx=与21yx的图象如下所示：由221xx，解得1x，由函数图象可知当2,11,()211xxfxxx或2,00,11,()211,0xxfxxx时()fx为偶函数，故①错误；令22x，解得2x，令212x，解得32x，因为ABR，AB，2()21xxAfxxxB，所以当32A，2B时满足()2fx无解，故存在无穷多非空集合对(,)AB，使得方程()2fx无解，故②正确；故选：B4．（2021·陕西宝鸡·三模（文））切比雷夫在用直线逼近曲线的研究中定义偏差:E对任意的[,]xmn，函数()()yfxaxb的最大值为E，即max()()mxnEfxaxb，把使E取得最小值时的直线yaxb叫切比雪夫直线，已知2(),[1,2]fxxx，有同学估算出了切比雪夫直线中x的系数1a，在这个前提下，b的值为（）A．14B．1C．78D．118【答案】C【解析】当1a时，令2211,1,224txxxx，则1,24t，所以21212maxmaxxxExxbtb，而tb的最大值必然在端点处取得，故1max,24Ebb，当124bb得78b时，E的最大值为1948b，此时使E取得最小值时78b，当124bb得78b时，E的最大值为2b，而2b98，综上，78b.故选：C.二、多选题5．（2021·重庆·三模）fx是定义在R上周期为4的函数，且221,1,112,1,3xxfxxx，则下列说法中正确的是（）A．fx的值域为0,2B．当3,5x时，22815fxxxC．fx图象的对称轴为直线4,xkkZD．方程()3fxx=恰有5个实数解【答案】ABD【解析】根据周期性，画出()fx的部分图象如下图所示，由图可知，选项A，D正确，C不正确；根据周期为4，当(3,5]x时，22()(4)21(4)2815fxfxxxx，故B正确.故选：ABD.6．（2022·山东威海·三模）已知函数()||fxxaax，则（）A．当1a时，函数()fx的定义域为[2,0]B．当0a时，函数()fx的值域为RC．当1a时，函数()fx在R上单调递减D．当10,4a时，关于x的方程()faxa有两个解【答案】BCD【解析】A.当1a时，()|1|1fxxx，由|1|10x，解得0x或2x≤，所以函数()fx的定义域为(2][0,)，故错误；B.当0a时，()||fxxx，定义域为R，当1x时，()0fx，当1x时，()0fx，所以函数()fx的值