考向13 简单的三角恒等变换（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）

考向13简单的三角恒等变换1．【2022年新高考2卷第6题】角,满足sin()cos()22cos()sin4，则A．tan()1B．tan()1C．tan()1D．tan()1【答案】D【解析】解法一：设0则sincos0，取34，排除A，C；再取0则sincos2sin，取4，排除B；选D．解法二：由sin()cos()2sin()2sin[()]442sin()cos2cos()sin44，故2sin()cos2cos()sin44，故sin()coscos()sin044，即sin()04，故22sin()sin()cos()0422，故sin()cos()，故tan()1．故选D.2.【2022年北京卷第5题】已知函数22()cossinfxxx，则（A）()fx在()26,上单调递减（B）()fx在()412,上单调递增（C）()fx在(0)3,上单调递减（D）()fx在7()412,上单调递增【答案】C【解析】因为22cossincos2fxxxx.对于A选项，当26x时，23x，则fx在,26上单调递增，A错；对于B选项，当412x时，226x，则fx在,412上不单调，B错；对于C选项，当03x时，2023x，则fx在0,3上单调递减，C对；对于D选项，当7412x时，7226x，则fx在7,412上不单调，D错.故选：C.3．【2022年浙江卷第13题】若3sincos10,2，则sin，cos2．【答案】3104,105【解析】由题3sincos10,2，所以3sincos10，解得310sin10．所以24cos2cos(π2)cos212cos5．1.三角函数公式的应用策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反．”(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．2.三角函数公式活用技巧①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；②tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．3.三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；②注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式．4.三角公式求值中变角的解题思路①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．5.三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．1.降幂公式：cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.2.升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.3.tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)，1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝2sinα±π4.4.辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中tanφ＝ba.1.明确二倍角是相对的，如：α2是α4的2倍，3α是3α2的2倍．2.解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．3.运用公式时要注意公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变形．4.在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．特别是在(0，π)内，正弦值对应的角不唯一．1．sin2α－π6＋sin2α＋π6－sin2α＝()A．－12B．－32C.12D.32【答案】C【解析】原式＝1－cos2α－π32＋1－cos2α＋π32－sin2α＝1－12·[cos2α－π3＋cos2α＋π3]－sin2α＝1－cos2αcosπ3－sin2α＝1－cos2α2－1－cos2α2＝12.2．已知sinα＝35，α∈π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为()A．－211B.211C.112D．－112【答案】A【解析】因为sinα＝35，α∈π2，π，所以cosα＝－1－sin2α＝－45，所以tanα＝sinαcosα＝－34.因为tan(π－β)＝12＝－tanβ，所以tanβ＝－12，则tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝－211.3.已知3sinα＋cosα＝23，则cos2π3－2α＝()A．－1718B．1718C．－89D．89【答案】C【解析】由3sinα＋cosα＝23，得2cosπ3－α＝23，即cosπ3－α＝26，所以cos2π3－2α＝2cos2π3－α－1＝2×262－1＝－89.故选C.4．若2cos2θcosπ4＋θ＝3sin2θ，则sin2θ＝()A．13B．23C．－23D．－13【答案】C【解析】由题意知2（cos2θ－sin2θ）cosθ－sinθ＝3sin2θ，所以2(cosθ＋sinθ)＝3sin2θ，则4(1＋sin2θ)＝3sin22θ，解得sin2θ＝－23或sin2θ＝2(舍去)．5．(多选)下列各式的值等于32的是()A．2sin67.5°cos67.5°B．2cos2π12－1C．1－2sin215°D．2tan22.5°1－tan222.5°【答案】BC【解析】选项A，2sin67.5°cos67.5°＝sin135°＝22.选项B，2cos2π12－1＝cosπ6＝32.选项C，1－2sin215°＝cos30°＝32.选项D，2tan22.5°1－tan222.5°＝tan45°＝1.故选BC.6．(多选)下列四个命题中是真命题的是()A．∃x∈R，sin2x2＋cos2x2＝12B．∃x，y∈R，sin(x－y)＝sinx－sinyC．∀x∈[0，π],1－cos2x2＝sinxD．sinx＝cosy⇒x＋y＝π2【答案】BC【解析】.因为sin2x2＋cos2x2＝1≠12，所以A为假命题；当x＝y＝0时，sin(x－y)＝sinx－siny，所以B为真命题；因为1－cos2x2＝1－（1－2sin2x）2＝|sinx|＝sinx，x∈[0，π]，所以C为真命题；当x＝π2，y＝2π时，sinx＝cosy，但x＋y≠π2，所以D为假命题．故选BC.7．求4sin20°＋tan20°的值为________．【答案】3【解析】原式＝4sin20°＋sin20°cos20°＝2sin40°＋sin20°cos20°＝2sin（60°－20°）＋sin20°cos20°＝3cos20°－sin20°＋sin20°cos20°＝3.8．若cosα＝－45，α是第三象限的角，则sinα＋π4＝________．【答案】－7210【解析】因为α是第三象限角，所以sinα＝－1－cos2α＝－35，所以sinα＋π4＝－35×22＋－45×22＝－7210.9.已知α，β都是锐角，cos(α＋β)＝513，sin(α－β)＝35，则cos2α＝________．【答案】－1665.【解析】因为α，β都是锐角，所以0α＋βπ，－π2α－βπ2，又因为cos(α＋β)＝513，sin(α－β)＝35，所以sin(α＋β)＝1213，cos(α－β)＝45，则cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝513×45－1213×35＝－1665.10．已知sinα＝－45，α∈3π2，2π，若sin（α＋β）cosβ＝2，则tan(α＋β)＝________．【答案】613.【解析】因为sinα＝－45，α∈3π2，2π，所以cosα＝35.又因为sin（α＋β）cosβ＝2，所以sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]．展开并整理，得65cos(α＋β)＝135sin(α＋β)，所以tan(α＋β)＝613.一、单选题1．（2022·广西桂林·模拟预测（文））若1sin72，则3sin214（）A．35B．12C．12D．13【答案】C【解析】令7可得7，故1sin2，则33sin2sin21414721sin2cos212sin22故选：C2．（2022·广东汕头·二模）若sin160tan203，则实数的值为（）A．4B．43C．23D．433【答案】A【解析】由已知可得2sin60cos20cos60sin203tan203cos20sin201sin20cos20sin18020sin4024sin404sin40.故选：A.3．（2022·湖北武汉·二模）设sin32k，则1tan16tan16（）A．2kB．1kC．2kD．k【答案】A【解析】1sin16cos16tan16tan16cos16sin1622sin16cos16sin16cos1611sin3222k.故选：A.4．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知不等式21sincoscos02xxxmmR对,43x恒成立，则m的最小值为（）A．234B．12C．22D．22【答案】D【解析】因为不等式21sincoscos02xxxmmR对,43x恒成立，所以不等式2sin224mx对,43x恒成立，令2sin224fxx，因为,43x，所以352,4412x，则minsin214x，所以min22fx，所以22m，解得22m，所以m的最小值为22，故选：D5．（2022·福建省福州第一中学三模）若3sin5，且3ππ,2，则1tan21tan2（）A．12B．12C．2D．2【答案】D【解析】3sin2sincos225，故2222sincos2tan32225sincostan1222，可解得1tan23或tan32，又3ππ,2，故tan32，故1tan221tan2，故选：D6．（2022·河南·长葛市第一高级中学模拟预测（文））设sin203tan50m，8cos20cos40cos80n，在平面直角坐标系内，点,Pmn为角终边上任意一点，