考向21数列综合运用（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学生版）

考向21数列综合运用1.（2022年乙卷理科第4题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造卫星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列nb:1111ba，212111baa，31231111baaa，，以此类推，其中其中kaN，1,2,k则A．15bbB．38bbC．62bbD．47bb【答案】D【解析】：由已知，1111ba，212111baa，112111aaa，故12bb；同理可得23bb,13bb，又因为22341111aaaa，故24bb；于是得1357bbbb，排除A，22361111aaaa，故26bb，排除C，而178bbb，排除B.故选择D.方法二：（取特殊值）取1na，于是有12b，232b，353b，485b，，分子分母分别构成斐波那契数列，于是有5138b，62113b，73421b，85534b.于是得15bb，382222111133334bb，628111132bb.对比选项，选D.2.（2022浙江卷第10题）已知数列na满足11a，Nnaaannn2131，则A．251002100aB．310025100aC．271003100aD．410027100a【答案】B【解析】03121nnnaaa，则数列na单调递减，10na.由nnnaaa3111，3131111nnnaaa，累加得naan311111，得341100a，得3100100a又根据naan311111得321nan，所以11131233131111nnaaannn，累加得1141312131311111nnaan，得409381621313410014131213113991100a，25100100a.3．（2021年上海卷第12题）已知函数*(1,2,,9)iaiN对于任意28k≤≤，11kkaa和11kkaa中有且只有一个成立196,9aa，求129aaa的最小值.【答案】31【解析】由题意得，①当2k时，若121aa，则27a.若想前9项和最小，则可取31a，42a，51a，62a，71a，82a，99a满足题意，此时931S；②当2k时，若321aa成立，若想前9项和最小，则可取21a，32a，41a，52a，61a，72a，88a，此时932S.综上可得：129aaa的最小值为314．（2021年浙江卷第120题）已知数列na满足Nnaaaannn1111，，记数列na的前n项和为nS，则A．321100SB．43100SC．294100SD．529100S【答案】A【解析】显然0na，由nnnaaa11知nnaa1，又由nnnaaa11得：nnnnaaaa11，1111122nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa，10099322111002aaaaaaaS33210010011aaaa．故选A．5.（2021年新高考1卷第17题）17．（10分）已知数列na满足11a，11,2,nnnanaan为奇数为偶数.（1）记2nnba，写出1b，2b，并求数列nb的通项公式；（2）求na的前20项和．【答案】（1）12b，25b，31nbn；（2）300．【解析】（1）由已知，11a，1212aa，2324aa，3415aa，数列na的奇数项构成以1为首项，3为公差的等差数列，所以当n为奇数时，13113122nann，数列na的偶数项构成以2为首项，3为公差的等差数列，所以3212322nann，而2nnba，所以212ba，425ba，2322312nnbnan，所以31nbn.（2）由（1）知：na的前20项和201220Saaa13192420aaaaaa1091091013102330022，所以na的前20项和为300.1.公式法求和中的常用公式有(1)等差、等比数列的前n项和①等差数列：Sn＝na1＋nn－2d(d为公差)或Sn＝na1＋an2.②等比数列：Sn＝na1，q＝1，a1－qn1－q＝a1－anq1－q，q≠1，其中q为公比．(2)四类特殊数列的前n项和①1＋2＋3＋…＋n＝12n(n＋1)．②1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.③12＋22＋32＋…＋n2＝16n(n＋1)(2n＋1)．④13＋23＋33＋…＋n3＝14n2(n＋1)2.2.解决数列与数学文化相交汇问题的关键一是读懂题意，即会“脱去”数学文化的背景，提取关键信息；二是构造模型，即由题意构建等差数列或等比数列或递推关系式的模型；三是“解模”，即把文字语言转化为求数列的相关信息，如求指定项、公差(或公比)、项数、通项公式或前n项和等．3.数列与函数综合问题的主要类型及求解策略(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形．4.数列与不等式的综合问题(1)判断数列问题的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小．(2)以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值．(3)考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题一般采用放缩法进行证明，有时也可以通过构造函数进行证明．1.等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋4S2＝0，则公比q＝()A．－1B．1C．－2D．22.中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，问丙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七个人，所分钱数为等差数列，甲、乙两人共分77文，戊、己、庚三人共分75文，则丙、丁两人各分多少文钱？则下列说法正确的是()A．丙分34文，丁分31文B．丙分37文，丁分40文C．丙分40文，丁分37文D．丙分31文，丁分34文3.在等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15的值为()A．1B．2C．3D．54．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d0，a6和a8是函数f(x)＝154lnx＋12x2－8x的极值点，则S8＝()A．－38B．38C．－17D．175.已知数列{an}是公比不等于1的正项等比数列，且lga1＋lga2021＝0，若函数f(x)＝21＋x2，则f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a2021)＝()A．2020B．4040C．2021D．40426.已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn＋3)(n∈N*)在函数y＝3×2x的图象上，等比数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n项和为Tn，则下列结论正确的是()A．Sn＝2TnB．Tn＝2bn＋1C．Tn＞anD．Tn＜bn＋17.(多选)已知数列{an}满足2an≤an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)，则()A．a5≥4a2－3a1B．a2＋a7≤a3＋a6C．3(a7－a6)≥a6－a3D．a2＋a3≥a6＋a78.(多选)已知各项均为正数的等比数列{an}，a1＞1，0＜q＜1，其前n项和为Sn，下列说法正确的是()A．数列{lnan}为等差数列B．若Sn＝Aqn＋B，则A＋B＝0C．SnS3n＝S22nD．记Tn＝a1a2·…·an，则数列{Tn}有最大值9．若数列{an}满足1an＋1－2an＝0，则称{an}为“梦想数列”．已知正项数列{1bn}为“梦想数列”，且b1＋b2＋b3＝1，则b6＋b7＋b8＝________．10.数列{an}的前n项和为Sn，定义{an}的“优值”为Hn＝a1＋2a2＋…＋2n－1ann，现已知{an}的“优值”Hn＝2n，则Sn＝________．11．等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＋a4＝48，a5＝28，若Sn＋30＞nλ对任意n∈N*恒成立，则λ的取值范围为________．12．数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1)．(1)求{an}的通项公式；(2)等差数列{bn}的各项为正数，其前n项和为Tn且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.13．给定一个数列{an}，在这个数列中，任取m(m≥3，m∈N*)项，并且不改变它们在数列{an}中的先后次序，得到的数列称为数列{an}的一个m阶子数列．已知数列{an}的通项公式为an＝1n＋a(n∈N*，a为常数)，等差数列a2，a3，a6是数列{an}的一个3阶子数列．(1)求a的值；(2)设等差数列b1，b2，…，bm是{an}的一个m(m≥3，m∈N*)阶子数列，且b1＝1k(k为常数，k∈N*，k≥2)，求证：m≤k＋1.1．（2022·山东青岛·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为a斤，设101,115,01xxfxxx，则fa（）A．5B．7C．13D．262．（2021·海南海口·模拟预测）随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2020年底，我国已累计开通5G基站超70万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进5G网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G网络覆盖.2021年1月计划新建设5万个5G基站，以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通500万个5G基站时要到（）A．2022年12月B．2023年2月C．2023年4月D．2023年6月3．（2019·广东江门·一模（理））根据市场调查，预测某种日用品从年初开始的  n个月内累计的需求量 nS（单位：万件）大约是2 21527nnSnn（1,?2,? ,1?2n）．据此预测，本年度内，需求量超过 5?万件的月份是A．5月、6月B．6月、7月C．7月、8月D．8月、9月4．（2022·四川凉山·二模（文））在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元.余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第n月月底小王手中有现款为na，则下列结论正确的是（）（参考数据：111.27.5，121.29）①112000a②11.21000nnaa③2020年小王的年利润约为40000元④两年后，小王手中现款约达41万A．②③④B．②④C．①②④D．②③5．（2022·湖