考向29空间几何体的外接球和内切球问题（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）

考向29空间几何体的外接球和内切球问题1.（2022年乙卷理9文12）9.已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为A．13B．12C．33D．22【答案】C【解析】考虑与四棱锥的底面形状无关，不是一般性，假设底面是边长为a的正方形，底面所在圆面的半径为r，则22ra所以该四棱锥的高212ah，所以体积222222223311444144421(1)()()32344233339aaaaaaaVa„当且仅当22142aa，即243a时，等号成立所以该四棱锥的高22311233ah故选C2.（2022年新高考1卷）8．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3刲l33刲，则该正四棱雉体积的取值范围是A．81[18,]4B．2781[,]44C．27[,4643]D．[18,27]【答案】C【解析】记三棱锥高与侧棱夹角为，高为h，底面中心到各顶点的距离为m，2223313cos[,]23622lll，则6cosl，sin6sincosml，26sincos6cossintancosmh，212222Smmm底，故222112144(sincos)33VShmh底，令222313sincossin(1sin)(1),sin[,]22yxxxxx2'31yx，故13[,)23x，'0y，33(,]32x，'0y，即222maxmax3664144144[()]333Vy，22min3127144(())224V．3.（2022年新高考2卷）7．正三棱台高为1，上下底边长分别是33和43，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是A．100B．128C．144D．192【答案】A【解析】由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径是3，下底面所在平面截球所得圆的半径是4，则轴截面中由几何知识可得2222341RR，或2222341RR解得225R，因此球的表面积是24425100SR．故选A.OO2B2C2A2O1C1B1A133M1O1C1B1A143M2O2C2B2A2R242R23243RROA1O1M1A2O2M21.正方体内切球、外接球、棱切球的球心都是正方体的中心，若正方体棱长为a，则这三种球的半径分别为32,,222aaa.2.长方体的外接球的球心是其体的对角线的中点；若长方体的过同一顶点的三条棱长分别为,,abc则外接球的半径是2222abc；若长方体过同一顶点的三个面的对角线长分别为,,xyz则外接球的半径是22224xyz.3.直三棱柱的外接球球心是上、下底面三角形外心连线的中点.若直三棱柱的侧棱长为h，底面三角形外接圆半径为R（或可用正弦定理求得它）则外接球半径为224hR4.正四面体的内切球、外接球的球心都是正四面体的中心，它是高的一个四等分点，若四面体的棱长为a，则其内切球半径为612a，外接球半径为64a.5.正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.6.正四面体、三条侧棱两两垂直的三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥、相对棱相等的三棱锥，这些几何体的外接球问题可以补形成长方体或正方体来解决.7.一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球题，可补形为直三棱柱来解决问题.8.圆锥的内切球和外接球问题可作公共的轴截面，找出两个几何体的关系解决问题.9.多面体内切球问题可由公式多面体体积内切球半多面体表面积VRS31径来计算内切球半径.1.常用结论(1)正方体和长方体的外接球的球心为其体对角线的中点．(2)正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点．(3)直棱柱的外接球的球心是上、下底面多边形外心连线的中点．(4)正棱锥外接球的球心在其高上，具体位置通过构造直角三角形计算得到．(5)若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．2．构造正方体、长方体、直棱柱等用上述结论确定外接球的球心(1)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体，求其外接球问题可构造正方体或长方体．(2)相对的棱长相等的三棱锥，求其外接球问题可构造正方体或长方体．3.球的有关性质（1）球的任意一个截面都是圆.其中过球心的截面叫做球的大圆，其余的截面都叫做球的小圆.（2）球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在的平面.反之，球心在球的小圆所在平面上的射影是小圆的圆心.（3）球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为:R2=d2+r2.（4）球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且经过球心.（5）球的直径等于球的内接长方体的对角线长.（6）若直棱柱的所有顶点都在同一个球面上，则该球的球心O是直棱柱的两个底面的外接圆的圆心的连线的中点.一、单选题1．一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为20π，则该四棱柱的高为（）A．3B．2C．32D．192．圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，已知圆柱的体积为16π，则球O的体积为（）A．32π3B．64π3C．16πD．12π3．已知正方体1111ABCDABCD的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，则该球的表面积是（）A．6πB．12πC．18πD．24π4．已知一个棱长为2的正方体的顶点都在球面上，则该球体的体积为（）A．823B．43C．8D．125．在三棱锥PABC，若PA平面ABC，ACBC，5AC，11BC，8PA，则三棱锥PABC外接球的表面积是（）A．100πB．50πC．144πD．72π6．矩形ABCD中，4AB，3BC，沿AC将ABCD矩形折起，使面BAC面DAC，则四面体ABCD的外接球的体积为（）A．1256B．1259C．12512D．12537．已知点,,ABC是球O的小圆1O上的三点，若133,4ABBCCAOO，则球O的表面积为（）A．64πB．100πC．144πD．200π8．已知四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是矩形，33ADABPA，若四棱锥P-ABCD外接球的表面积为11，则四棱锥P-ABCD的体积为（）A．3B．2C．2D．1二、多选题9．设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球)，已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1，若某正方体的所有顶点均在外球面上､所有面均与内球相切，则（）A．该正方体的棱长为2B．该正方体的体对角线长为33C．空心球的内球半径为31D．空心球的外球表面积为1263π10．正方体1111ABCDABCD中，12AA，点P在线段1BC上运动，点Q在线段1AA上运动，则下列说法中正确的有（）A．三棱锥1ADPC的体积为定值B．线段PQ长度的最小值为2C．当P为1BC的中点时，三棱锥1PABB的外接球表面积为2D．平面BPQ截该正方体所得截面可能为三角形､四边形､五边形三、填空题11．已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中ABC是正三角形，AD平面ABC，2AD，3AB，则该球的表面积为______.12．已知球O的一个截面面积为3，若球O上的点到该截面的最大距离为3，则球O的表面积为__________．13．已知ABC的顶点都是球O的球面上的点，2AB，90ACB，30BAC，若三棱锥OABC的体积为63，则球O的表面积为___________.14．已知四棱锥PABCD的底面为矩形，1PAPDAB，2PBPCBC，则其外接球的表面积为________．一、单选题1．（2022·广东佛山·二模）如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面和圆锥的顶点均在体积为36π的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为（）A．26πB．46πC．16πD．1632．（2022·海南·模拟预测）“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型.如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱面去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个牟合方盖（如图2）.已知这个牟合方盖与正方体内切球的体釈之比为4:，则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为（）A．483B．283C．83D．1633．（2022·山东青岛·二模）《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，EF∥平面ABCD，2EF，其余棱长都为1，则这个几何体的外接球的体积为（）A．2π3B．4π3C．82π3D．4π4．（2022·江苏南京·模拟预测）足球运动成为当今世界上开展最广、影响最大、最具魅力、拥有球迷数最多的体育项目之一，2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛．比赛于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔境内7座城市中的12座球场举行．已知某足球的表面上有四个点A，B，C，D满足2dmABBCADBDCD，二面角ABDC的大小为23，则该足球的体积为（）A．3742dm27B．3352dm27C．314dm27D．3322dm275．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos)Sr（单位：2km），则S占地球表面积的百分比约为（）A．26%B．34%C．42%D．50%6．（2021·辽宁丹东·二模）球O的两个相互垂直的截面圆1O与2O的公共弦AB的长度为2，若1OAB△是直角三角形，2OAB△是等边三角形，则球O的表面积为（）A．9πB．12πC．16πD．20π7．（2022·山东潍坊·三模）我国古代数学名著《九章算术》中给出了很多立体几何的结论，其中提到的多面体“鳖臑”是四个面都是直角三角形的三棱锥．若一个“鳖臑”的所有顶点都在球O的球面上，且该“鳖臑”的高为2，底面是腰长为2的等腰直角三角形．则球O的表面积为（）A．12B．43C．6D．268．（2022·山西吕梁·二模（文））已知球O的表面积为100，平面,分别截球O，得截面圆M与圆N，圆M的面积为16，圆N的面积为9，M，N分别为圆M和圆N的圆心，有下列四个命题：①||MN的最大值为7；②点N可以在平面内；③点M可以在平面内；④当圆M和圆N相交时，相交弦的最大值为6.其中为真命题的是（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④二、多选题9．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，12OO，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆1O的一条直径，若球的半径2r，则（）A．球与圆柱的表面积之比为12：B．平面DEF截得球的截面面积最小值为165C．四面体CDEF的体积的取值范围为3203，D．若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PEPF的取值范围为22543，10．（2022·全国·模拟预测）已知正三棱锥SABC的底面ABC的面积为33，体积为3，球1O，2O分别是三棱锥SABC的外接球与内切球，则下列说法