考向36圆锥曲线中的定点、定值问题（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学

考向36圆锥曲线中的定点、定值问题（2022·全国乙理T20文T21）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过30,2,,12AB两点．（1）求E的方程；（2）设过点1,2P的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MTTH．证明：直线HN过定点．【答案】（1）22143yx；（2）(0,2)【解析】（1）设椭圆E的方程为221mxny，过30,2,,12AB，则41914nmn，解得13m，14n，所以椭圆E的方程为：22143yx.（2）3(0,2),(,1)2AB，所以2:23AByx，①若过点(1,2)P的直线斜率不存在，直线1x.代入22134xy，可得26(1,)3M，26(1,)3N，代入AB方程223yx，可得26(63,)3T，由MTTH得到26(265,)3H.求得HN方程：26(2)23yx，过点(0,2).②若过点(1,2)P的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kxykMxyNxy.联立22(2)0,134kxykxy得22(34)6(2)3(4)0kxkkxkk，可得1221226(2)343(4)34kkxxkkkxxk，12222228(2)344(442)34kyykkkyyk，且1221224(*)34kxyxyk联立1,223yyyx可得111113(3,),(36,).2yTyHyxy可求得此时1222112:()36yyHNyyxxyxx，将(0,2)，代入整理得12121221122()6()3120xxyyxyxyyy，将(*)代入，得222241296482448482436480,kkkkkkk显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,2).【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.1.求解定点问题常用的方法(1)特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关．(2)直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组fx，y＝0，gx，y＝0；③以②中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．1．已知椭圆x23＋y2＝1，直线l过点M(1，0)且与椭圆C相交于A，B两点．过点A作直线x＝3的垂线，垂足为D.则直线BD过x轴上的定点坐标为________．2．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴交于点M，点P在抛物线上，直线PF与抛物线交于另一点A，设直线MP，MA的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2的值为________．3.已知A，B分别为椭圆E：x2a2＋y2＝1(a1)的左、右顶点，G为E的上顶点，AG→·GB→＝8.P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点．4.设M点为圆C：x2＋y2＝4上的动点，点M在x轴上的投影为N.动点P满足2PN→＝3MN→，动点P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)设E的左顶点为D，若直线l：y＝kx＋m与曲线E交于A，B两点(A，B不是左、右顶点)，且满足|DA→＋DB→|＝|DA→－DB→|，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标.5.平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x24＋y2＝1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m＝x12，y1，n＝x22，y2，m·n＝0.(1)求证：k1·k2＝－14；(2)试探求△OPQ的面积S是否为定值，并说明理由．6.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)，其焦点为F，O为坐标原点，直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B，M为AB的中点.(1)若p＝2，M的坐标为(1，1)，求直线l的方程.(2)若直线l过焦点F，AB的垂直平分线交x轴于点N，求证：2|MN|2|FN|为定值.1．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知1l，2l是过点0,2的两条互相垂直的直线，且1l与椭圆22:14xy相交于A，B两点，2l与椭圆相交于C，D两点．(1)求直线1l的斜率k的取值范围；(2)若线段AB，CD的中点分别为M，N，证明直线MN经过一个定点，并求出此定点的坐标．2．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知抛物线C：214yx的焦点为1F，准线与坐标轴的交点为2F，1F、2F是离心率为12的椭圆S的焦点.(1)求椭圆S的标准方程；(2)设过原点O的两条直线1l和2l，12ll，1l与椭圆S交于A、B两点，2l与椭圆S交于M、N两点.求证：原点O到直线AM和到直线BN的距离相等且为定值.3．（2022·全国·模拟预测）设椭圆222:10416xyCbb的右焦点为F，左顶点为A．M是C上异于A的动点，过F且与直线AM平行的直线与C交于P，Q两点（Q在x轴下方），且当M为椭圆的下顶点时，2AMFQ．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设点S，T满足PSSQ，FSST，证明：平面上存在两个定点，使得T到这两定点距离之和为定值．4．（2022·山东潍坊·二模）已知M，N为椭圆2212:10xCyaa和双曲线2222:1xCya的公共顶点，1e，2e分别为1C和2C的离心率．(1)若12154ee．（ⅰ）求2C的渐近线方程；（ⅱ）过点4,0G的直线l交2C的右支于A，B两点，直线MA，MB与直线1x相交于1A，1B两点，记A，B，1A，1B的坐标分别为11,xy，22,xy，33,xy，44,xy，求证：12341111yyyy；(2)从2C上的动点000,Pxyxa引1C的两条切线，经过两个切点的直线与2C的两条渐近线围成三角形的面积为S，试判断S是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．5．（2022·河北保定·二模）已知抛物线2:4yx.(1)直线:1lykx与交于A、B两点，O为坐标原点.从下面的①②两个问题中任选一个作答，如果两个都作答，则按所做的第一个计分.①证明：49OAOBAB.②若23AOB，求2k的值；(2)已知点1,2P，直线m与交于C、D两点（均异于点P），且1PCPDkk.过P作直线m的垂线，垂足为Q，试问是否存在定点M，使得QM为定值？若存在，求出定值；若不存在，说明理由.6．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C的焦点在y轴上，中心在坐标原点，从下焦点1F射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点2F，这束光线的总长度为4，且反射点与焦点构成的三角形面积最大值为3，已知椭圆的离心率e22.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若从椭圆C中心O出发的两束光线OM、ON，分别穿过椭圆上的A、B点后射到直线4y上的M、N两点，若AB连线过椭圆的上焦点2F，试问，直线BM与直线AN能交于一定点吗？若能，求出此定点：若不能，请说明理由.7．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）圆O：224xy与x轴的两个交点分别为12,0A，22,0A，点M为圆O上一动点，过M作x轴的垂线，垂足为N，点R满足12NRNM(1)求点R的轨迹方程；(2)设点R的轨迹为曲线C，直线1xmy交C于P，Q两点，直线1AP与2AQ交于点S，试问：是否存在一个定点T，当m变化时，2ATS为等腰三角形8．（2022·江苏南通·模拟预测）已知F1（－6，0），F2（6，0）为双曲线C的焦点，点P（2，－1）在C上．(1)求C的方程；(2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若OM＋=0ON，PQAB＝0，证明：存在定点T，使得|QT|为定值．1．（2020·山东·高考真题）已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为22，且过点2,1A．（1）求C的方程：（2）点M，N在C上，且AMAN，ADMN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得DQ为定值．2．（2019·全国·高考真题（文））已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│=4，⊙M过点A，B且与直线x+2=0相切．（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径．（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．3．（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过30,2,,12AB两点．(1)求E的方程；(2)设过点1,2P的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MTTH．证明：直线HN过定点．4．（2020·全国·高考真题（理））已知A、B分别为椭圆E：2221xya（a1）的左、右顶点，G为E的上顶点，8AGGB，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.5．（2019·北京·高考真题（文））已知椭圆2222:1xyCab的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，直线:(1)lykxtt与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.6．（2019·全国·高考真题（理））已知曲线C：y=22x，D为直线y=12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，52)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.7．（2017·全国·高考真题（理））已知椭圆C：2222=1xyab（ab0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆C上.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.8．（2018·北京·高考真题（理））已知抛物线C：2y=2px经过点P（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O为原点，QMQO，QNQO，求证：11为定值．9．（2016·山东·高考真题（文））已知椭圆2222:1(0)xyCabab的长轴长为4，焦距为22（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过动点(0,)(0)Mmm的直线交x轴与点N，交C于点,AP(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.（ⅰ）设直线,PM