专题二 第3讲　三角恒等变换与解三角形

第3讲三角恒等变换与解三角形一、选择题1．(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝19，AB＝2，则BC等于()A．1B.2C.5D．32．(2021·全国乙卷)cos2π12－cos25π12等于()A.12B.33C.22D.323．(2022·榆林模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为3154，b－c＝1，cosA＝14，则a等于()A．10B．3C.10D.34．已知cosα＝55，sin(β－α)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于()A.π12B.π6C.π4D.π35．设角α，β的终边均不在坐标轴上，且tan(α－β)＋tanβ＝tanα，则下列结论正确的是()A．sin(α＋β)＝0B．cos(α－β)＝1C．sin2α＋sin2β＝1D．sin2α＋cos2β＝16．(2022·张家口质检)下列命题中，不正确的是()A．在△ABC中，若AB，则sinAsinBB．在锐角△ABC中，不等式sinAcosB恒成立C．在△ABC中，若acosA＝bcosB，则△ABC是等腰直角三角形D．在△ABC中，若B＝π3，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形7．故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群，故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴．已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75°，冬至前后正午太阳高度角约为30°.图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB的长度(单位：米)约为()A．3米B．4米C．6(3－1)米D．3(3＋1)米8．(2022·运城模拟)已知sinπ2＋α＋2sinα＝3，则tan2α等于()A．－22B．22C．－2D.2二、填空题9．(2022·烟台模拟)若sinα＝cosα＋π6，则tan2α的值为________．10．(2022·泰安模拟)已知sinπ3－α＝14，则sinπ6－2α＝________.11.(2022·开封模拟)如图，某直径为55海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距5海里，cos∠BAD＝－45.则小岛B与小岛D之间的距离为________海里；小岛B，C，D所形成的三角形海域BCD的面积为________平方海里．12．(2022·汝州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2，cos2C＝cos2A＋4sin2B，则△ABC面积的最大值为________．三、解答题13．(2022·新高考全国Ⅱ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1－S2＋S3＝32，sinB＝13.(1)求△ABC的面积；(2)若sinAsinC＝23，求b.14．(2022·抚顺模拟)在①(2c－a)sinC＝(b2＋c2－a2)sinBb；②cos2A－C2－cosAcosC＝34；③3cbcosA＝tanA＋tanB这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中．问题：在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，b＝23，________.(1)求角B；(2)求2a－c的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．