高等数学讲义---一元函数微分学

24第二章一元函数微分学§2.1导数与微分（甲）内容要点一、导数与微分概念1、导数的定义设函数)(xfy在点0x的某领域内有定义，自变量x在0x处有增量x，相应地函数增量)()(00xfxxfy。如果极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000存在，则称此极限值为函数)(xf在0x处的导数（也称微商），记作0()fx，或0xxy，0xxdxdy，0)(xxdxxdf等，并称函数)(xfy在点0x处可导。如果上面的极限不存在，则称函数)(xfy在点0x处不可导。导数定义的另一等价形式，令xxx0，0xxx，则0000()()()limxxfxfxfxxx我们也引进单侧导数概念。右导数：0000000()()()()()limlimxxxfxfxfxxfxfxxxx左导数：0000000()()()()()limlimxxxfxfxfxxfxfxxxx则有)(xf在点0x处可导)(xf在点0x处左、右导数皆存在且相等。2．导数的几何意义与物理意义如果函数)(xfy在点0x处导数0()fx存在，则在几何上0()fx表示曲线)(xfy在点（)(,00xfx）处的切线的斜率。切线方程：000()()()yfxfxxx25法线方程：00001()()(()0)()yfxxxfxfx设物体作直线运动时路程S与时间t的函数关系为)(tfS，如果0()ft存在，则0()ft表示物体在时刻0t时的瞬时速度。3．函数的可导性与连续性之间的关系如果函数)(xfy在点0x处可导，则)(xf在点0x处一定连续，反之不然，即函数)(xfy在点0x处连续，却不一定在点0x处可导。例如，||)(xxfy，在00x处连续，却不可导。4．微分的定义设函数)(xfy在点0x处有增量x时，如果函数的增量)()(00xfxxfy有下面的表达式0()()yAxxox（0x）其中)(0xA为x为无关，()ox是0x时比x高阶的无穷小，则称)(xf在0x处可微，并把y中的主要线性部分xxA)(0称为)(xf在0x处的微分，记以0xxdy或0)(xxxdf。我们定义自变量的微分dx就是x。5．微分的几何意义)()(00xfxxfy是曲线)(xfy在点0x处相应于自变量增量x的纵坐标)(0xf的增量，微分0xxdy是曲线)(xfy在点))(,(000xfxM处切线的纵坐标相应的增量（见图）。6．可微与可导的关系)(xf在0x处可微)(xf在0x处可导。且000()()xxdyAxxfxdx一般地，)(xfy则()dyfxdx26所以导数()dyfxdx也称为微商，就是微分之商的含义。7．高阶导数的概念如果函数)(xfy的导数()yfx在点0x处仍是可导的，则把()yfx在点0x处的导数称为)(xfy在点0x处的二阶导数，记以0xxy，或0()fx，或022xxdxyd等，也称)(xf在点0x处二阶可导。如果)(xfy的1n阶导数的导数存在，称为)(xfy的n阶导数，记以)(ny，)()(xyn，nndxyd等，这时也称)(xfy是n阶可导。二、导数与微分计算1．导数与微分表（略）2．导数与微分的运算法则（1）四则运算求导和微分公式（2）反函数求导公式（3）复合函数求导和微分公式（4）隐函数求导法则（5）对数求导法（6）用参数表示函数的求导公式（乙）典型例题一、用导数定义求导数例设)()()(xgaxxf，其中)(xg在ax处连续，求()fa解：()()()()0()limlim()xaxafxfaxagxfagaxaxa二、分段函数在分段点处的可导性例1设函数1,1,)(2xbaxxxxf试确定a、b的值，使)(xf在点1x处可导。解：∵可导一定连续，∴)(xf在1x处也是连续的。由1lim)(lim)01(211xxffxx27babaxxffxx)(lim)(lim)01(11要使)(xf在点1x处连续，必须有1ba或ab1又2111()(1)1(1)limlimlim(1)211xxxfxfxfxxx111()(1)1(1)(1)limlimlim111xxxfxfaxbaxfaxxx要使)(xf在点1x处可导，必须(1)(1)ff，即a2.故当1211,2aba时，)(xf在点1x处可导.例2设1lim)()1()1(2xnxnnebaxexxf，问a和b为何值时，)(xf可导，且求()fx解：∵1x时，)1(limxnne，1x时，0lim)1(xnne∴，xbax，xba，xxxf1,1,211,)(2由1x处连续性，1lim)(lim211xxfxx，121)1(baf，可知1ba再由1x处可导性，21(1)(1)lim1xxffx存在1()(1)(1)lim1xaxbffx存在且(1)(1)ff根据洛必达法则12(1)lim21xxf1(1)lim1xafa，∴2a于是11ab28,1,12,1,1,1,)(2xxxxxxf2,1,()2,1,xxfxx三、运用各种运算法则求导数或微分例1设)(xf可微，)()(lnxfexfy，求dy解：)(ln)(ln)()(xdfedexfdyxfxf()()1()(ln)(ln)fxfxfxefxdxfxedxx()1[()(ln)(ln)]fxefxfxfxdxx例2设xxxy)0(x，求dxdy解：xxyxlnln对x求导，得11()lnxxyxxxyx再令xxy1，xxylnln1，对x求导，111ln1yxy，∴()(ln1)xxxxx于是xxxxxxxxxdxdy1ln)1(ln（0x）例3设)(xyy由方程xyyx所确定，求dxdy解：两边取对数，得yxxylnln，对x求导，lnlnyxyxyyxy(ln)lnxyyxyyx，22nlnyxyyyxxyx29例4设tuttuduueyuduex20)1ln(sin22求dydx解：)21ln(2sinsin22224tetettedtdydtdxdydxttt四、求切线方程和法线方程例1已知两曲线)(xfy与2arctan0xtyedt在点（0，0）处的切线相同，写出此切线方程，并求2lim()nnfn。解：由已知条件可知0)0(f，2(arctan)02(0)11xxefx故所求切线方程为xy2()(0)2lim()lim22(0)22nnffnnffnn例2已知曲线的极坐标方程cos1r，求曲线上对应于6处的切线与法线的直角坐标方程。解：曲线的参数方程为cossinsinsin)cos1(coscoscos)cos1(2yx1sincos2sinsincoscos62266ddxddydxdy故切线方程)4323(14321xy即045343yx法线方程1333()2424yx即041341yx30例3设)(xf为周期是5的连续函数，在0x邻域内，恒有(1sin)3(1sin)8()fxfxxx。其中0)(lim0xxx，)(xf在1x处可导，求曲线)(xfy在点（)6(,6f）处的切线方程。解：由题设可知)1()6(ff，(6)(1)ff，故切线方程为(1)(1)(6)yffx所以关键是求出)1(f和(1)f由)(xf连续性)1(2)]sin1(3)sin1([lim0fxfxfx由所给条件可知0)1(2f，∴0)1(f再由条件可知8)sin)(sin8(limsin)sin1(3)sin1(lim00xxxxxxfxfxx令8)1(3)1(lim,sin0ttftftxt，又∵0)1(f∴上式左边=)()1()1(lim3)]1()1([lim00tftftftftt=(1)3(1)4(1)fff则4(1)8f(1)2f所求切线方程为)6(20xy即0122yx五、高阶导数1．求二阶导数例1设)ln(22axxy，求''y解：22221'()yxxaxxa2222221)1(1axaxxaxx3222322)(2)(21''axxxaxy例2设2ln(1)xarctantyt求22dxyd31解：ttttdtdxdtdydxdy21112222222()()2/2(1)11dydydddydxdxdxtdxdxdtdtt例3设)(xyy由方程122yx所确定，求''y解：0'22yyx，yxy'2221''xyyxyyyyy22331yxyy2．求n阶导数（2n，正整数）先求出,,yy，总结出规律性，然后写出)(ny，最后用归纳法证明。有一些常用的初等函数的n阶导数公式（1）xeyxney)(（2）)1,0(aaayxnxnaay)(ln)(（3）xysin)2sin()(nxyn（4）xycos)2cos()(nxyn（5）xylnnnnxny)!1()1(1)(两个函数乘积的n阶导数有莱布尼兹公式)()()]()([0)()()(xvxuCxvxunkknkknn其中)!(!!knknCkn，)()()0(xuxu，)()()0(xvxv假设)(xu和)(xv都是n阶可导32例1设kxy（k正整数），求)(ny（n正整数）解：knknxnkkkynkn,0,,)1()1()(例2设xxyn1，求)(ny（n正整数）解：)1(1111)1(21xxxxxxynnn1)(1)()1(!])1[(nnnxnxy例3设2132yxx，求)(ny（n正整数）解：11)1()2(1121)2)(1(1xxxxxxy22[(2)(1)]yxx33(1)(2)[(2)(1)]yxx……()(1)(1)(1)![(2)(1)]nnnnynxx例4设xxy44cossin，求)(ny（n正整数）解：22)22cos1()22cos1(xxyxx4cos4143)2cos22(412)24cos(4)24cos(4411)(nxnxynnn例5设xexy23，求)(ny（n正整数）解：用莱布尼兹公式)(2)(30)()()(knxknkknnexCy33)3(2)2(2)1(22)(23)(66)2)(1()(62)1()(3)(nxnxnxnxennnexnnenxex)]2)(1()1(6128[22323nnnxnnnxxexn§2.2微分中值定理本节专门讨论考研数学中经常考的四大定