立体几何题型的解题技巧适合总结提高用

第六讲立体几何新题型的解题技巧考点1点到平面的距离例1（2007年福建卷理）如图，正三棱柱111ABCABC的所有棱长都为2，D为1CC中点．（Ⅰ）求证：1AB⊥平面1ABD；（Ⅱ）求二面角1AADB的大小；（Ⅲ）求点C到平面1ABD的距离．例2.(2006年湖南卷)如图,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4.(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD；(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角；(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.QBCPADOMABCD1A1C1B考点2异面直线的距离例3已知三棱锥ABCS，底面是边长为24的正三角形，棱SC的长为2，且垂直于底面.DE、分别为ABBC、的中点，求CD与SE间的距离.考点3直线到平面的距离例4．如图，在棱长为2的正方体1AC中，G是1AA的中点，求BD到平面11DGB的距离.考点4异面直线所成的角例5（2007年北京卷文）如图，在RtAOB△中，π6OAB，斜边4AB．RtAOC△可以通过RtAOB△以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC的直二面角．D是AB的中点．（I）求证：平面COD平面AOB；（II）求异面直线AO与CD所成角的大小．BACDOGH1A1C1D1B1OOCADBEABCQP例6．（2006年广东卷）如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE//AD.(Ⅰ)求二面角B—AD—F的大小；(Ⅱ)求直线BD与EF所成的角.考点5直线和平面所成的角例7.（2007年全国卷Ⅰ理）四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD．已知45ABC∠，2AB，22BC，3SASB．（Ⅰ）证明SABC；（Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角的大小．考点6二面角例8．（2007年湖南卷文）如图，已知直二面角PQ，APQ，B，C，CACB，45BAP，直线CA和平面所成的角为30．（I）证明BCPQ⊥；（II）求二面角BACP的大小．DBCAS例9．(2006年重庆卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA底面ABCD,DAB为直角，AB‖CD，AD=CD=2AB,E、F分别为PC、CD的中点.（Ⅰ）试证：CD平面BEF；（Ⅱ）设PA＝k·AB,且二面角E-BD-C的平面角大于30,求k的取值范围.考点7利用空间向量求空间距离和角例10．（2007年江苏卷）如图，已知1111ABCDABCD是棱长为3的正方体，点E在1AA上，点F在1CC上，且11AEFC．（1）求证：1EBFD，，，四点共面；（2）若点G在BC上，23BG，点M在1BB上，GMBF⊥，垂足为H，求证：EM⊥平面11BCCB；（3）用表示截面1EBFD和侧面11BCCB所成的锐二面角的大小，求tan．CBAGHMDEF1B1A1D1C例11．（2006年全国Ⅰ卷）如图,l1、l2是互相垂直的两条异面直线，MN是它们的公垂线段，点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN（I）证明ACNB；（II）若60ACB，求NB与平面ABC所成角的余弦值.考点8简单多面体的有关概念及应用，主要考查多面体的概念、性质，主要以填空、选择题为主，通常结合多面体的定义、性质进行判断.例12.如图（1），将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱容器的底面边长为时容积最大.例13.如图左，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥后，GH与IJ所成角的度数为（）A、90°B、60°C、45°D、0°NMCBABACDEFGHIJ(A、B、C)DEFGHIJ例14.长方体ABCD－A1B1C1D1中，①设对角线D1B与自D1出发的三条棱分别成α、β、角求证：cos2α＋cos2β＋cos2＝1②设D1B与自D1出发的三个面成α、β、角，求证：cos2α＋cos2β＋cos2＝2考点9.简单多面体的侧面积及体积和球的计算例15.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2a，BC＝CA＝AA1＝a，A1在底面△ABC上的射影O在AC上①求AB与侧面AC1所成角；②若O恰好是AC的中点，求此三棱柱的侧面积.例16.等边三角形ABC的边长为4，M、N分别为AB、AC的中点，沿MN将△AMN折起，使得面AMN与面MNCB所成的二面角为30°，则四棱锥A—MNCB的体积为（）A、23B、23C、3D、3ABCADA1B1C1D1A1B1C1ABCDOABCMNKLABCMNKL例17.如图，四棱锥P—ABCD中，底面是一个矩形，AB＝3，AD＝1，又PA⊥AB，PA＝4，∠PAD＝60°①求四棱锥的体积；②求二面角P－BC－D的大小.例18.（2006年全国卷Ⅱ）已知圆O1是半径为R的球O的一个小圆，且圆O1的面积与球O的表面积的比值为92，则线段OO1与R的比值为.【专题训练与高考预测】一、选择题1．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在BB1上，且BD=1，若AD与侧面AA1CC1所成的角为，则的值为（）A.3B.4C.410arctanD.46arcsin2．直线a与平面成角，a是平面的斜线，b是平面内与a异面的任意直线，则a与b所成的角（）A.最小值，最大值B.最小值，最大值2C.最小值，无最大值D.无最小值，最大值4CBA1A1B1CDPAHEDBCRrAO1O3．在一个45的二面角的一平面内有一条直线与二面角的棱成45角，则此直线与二面角的另一平面所成的角为（）A.30B.45C.60D.904．如图，直平行六面体ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，60BAD，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成的角的正弦值为（）A.21B.23C.22D.435．已知在ABC中，AB=9，AC=15，120BAC，它所在平面外一点P到ABC三顶点的距离都是14，那么点P到平面ABC的距离为（）A.13B.11C.9D.76．如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、A1D1的中点，则点B到平面AMN的距离是（）A.29B.3C.556D.27．将60QMN，边长MN=a的菱形MNPQ沿对角线NQ折成60的二面角，则MP与NQ间的距离等于()A.a23B.a43C.a46D.a438．二面角l的平面角为120，在内，lAB于B，AB=2,在内，lCD于D，CD=3,BD=1,M是棱l上的一个动点，则AM+CM的最小值为()A.52B.22C.26D.629．空间四点A、B、C、D中,每两点所连线段的长都等于a,动点P在线段AB上,动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为()A.a21B.a22C.a23D.a10．在一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a，现有一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应为（）A.a)62(B.a262C.a)31(D.a231BACDD1C1B1A1ADBAD1C1B1A1MN11．已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A=AB=2，若棱AB上存在点P，使PCPD1，则棱AD的长的取值范围是()A.1,0B.2,0C.2,0D.2,112．将正方形ABCD沿对角线AC折起，使点D在平面ABC外，则DB与平面ABC所成的角一定不等于（）A.30B.45C.60D.90二、填空题1．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则下列四个命题：①E到平面ABC1D1的距离是21；②直线BC与平面ABC1D1所成角等于45；③空间四边形ABCD1在正方体六个面内的射影围成面积最小值为21；④BE与CD1所成的角为1010arcsin2．如图，在四棱柱ABCD---A1B1C1D1中，P是A1C1上的动点，E为CD上的动点，四边形ABCD满足___________时，体积AEBPV恒为定值（写上你认为正确的一个答案即可）3．边长为1的等边三角形ABC中,沿BC边高线AD折起,使得折后二面角B-AD-C为60°,则点A到BC的距离为_________,点D到平面ABC的距离为__________.4．在水平横梁上A、B两点处各挂长为50cm的细绳，AM、BN、AB的长度为60cm，在MN处挂长为60cm的木条，MN平行于横梁，木条的中点为O，若木条绕过O的铅垂线旋转60°，则木条比原来升高了_________.5．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的.如图正方体的一个顶点A在平面内.其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别是1、2和4.P是正方体其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：①3；②4；③5；④6；⑤7.以上结论正确的为.（写出所有正确结论的编号．．）DCBAED1A1C1B1ABDCPEA1D1C1B16.如图，棱长为1m的正方体密封容器的三个面上有三个锈蚀的小孔（不计小孔直径）O1、O2、O3它们分别是所在面的中心.如果恰当放置容器，容器存水的最大容积是_______m3.三、解答题1．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，底面边长为a,D为BC为中点，M在BB1上，且BM=13B1M，又CM⊥AC1;（1）求证：CM⊥C1D;（2）求AA1的长.2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是矩形且AD=2，AB=PA=2，PA⊥底面ABCD，E是AD的中点，F在PC上.(1)求F在何处时，EF⊥平面PBC；(2)在(1)的条件下，EF是不是PC与AD的公垂线段.若是，求出公垂线段的长度；若不是，说明理由；(3)在(1)的条件下，求直线BD与平面BEF所成的角.O1O2O33．如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=3．（1）求证BCSC；（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小．4．在直角梯形ABCD中，D=BAD=90,AD=DC=21AB=a,(如图一)将△ADC沿AC折起，使D到D．记面ACD为,面ABC为．面BCD为．（1）若二面角AC为直二面角（如图二），求二面角BC的大小;（2）若二面角AC为60（如图三），求三棱锥DABC的体积．5．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点．（1）求证AM//平面BDE；（2）求二面角ADFB的大小；（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60．