第3章　§3.3　导数与函数的极值、最值

§3.3导数与函数的极值、最值考试要求1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题．知识梳理1．函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧，右侧，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为，极小值和极大值统称为．2．函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的；②将函数y＝f(x)的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．常用结论对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的极值可能不止一个，也可能没有．()(2)函数的极小值一定小于函数的极大值．()(3)函数的极小值一定是函数的最小值．()(4)函数的极大值一定不是函数的最小值．()教材改编题1．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()A．1B．2C．3D．42．函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是________________．3．若函数f(x)＝13x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝________.题型一利用导数求解函数的极值问题命题点1根据函数图象判断极值例1(多选)(2023·华南师大附中模拟)如图是y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是()A．当x＝－1时，f(x)取得极小值B.f(x)在[－2,1]上单调递增C．当x＝2时，f(x)取得极大值D.f(x)在[－1,2]上不具备单调性听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2求已知函数的极值例2(2022·西南大学附中模拟)已知函数f(x)＝lnx＋2ax2＋2(a＋1)x(a≠0)，讨论函数f(x)的极值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________命题点3已知极值(点)求参数例3(1)(2023·福州质检)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则c的值为()A．2B．4C．6D．2或6(2)(2023·威海模拟)若函数f(x)＝ex－ax2－2ax有两个极值点，则实数a的取值范围为()A.－12，0B.－∞，－12C.0，12D.12，＋∞听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华根据函数的极值(点)求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)验证：求解后验证根的合理性．跟踪训练1(1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则a＋b的值为()A．－1或3B．1或－3C．3D．－1(2)(2022·哈师大附中模拟)已知函数f(x)＝exx2＋2klnx－kx，若x＝2是函数f(x)的唯一极值点，则实数k的取值范围是()A．(0,2]B．[2，＋∞)C.－∞，e2D.－∞，e24题型二利用导数求函数最值命题点1不含参函数的最值例4(2022·全国乙卷)函数f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为()A．－π2，π2B．－3π2，π2C．－π2，π2＋2D．－3π2，π2＋2听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2含参函数的最值例5已知函数f(x)＝x－ax－lnx(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)求f(x)在1e，e上的最大值g(a)．________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．跟踪训练2(1)(2021·新高考全国Ⅰ)函数f(x)＝|2x－1|－2lnx的最小值为________．(2)已知函数h(x)＝x－alnx＋1＋ax(a∈R)在区间[1，e]上的最小值小于零，求a的取值范围．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________