第5章　§5.3　平面向量的数量积

§5.3平面向量的数量积考试要求1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．知识梳理1．向量的夹角已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA→＝a，OB→＝b，则＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．2．平面向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量叫做向量a与b的数量积，记作.3．平面向量数量积的几何意义设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，AB→＝a，CD→＝b，过AB→的起点A和终点B，分别作CD→所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1—→，我们称上述变换为向量a向向量b，A1B1—→叫做向量a在向量b上的．记为.4．向量数量积的运算律(1)a·b＝.(2)(λa)·b＝＝．(3)(a＋b)·c＝.5．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝__________模|a|＝_______|a|＝_________夹角cosθ＝_____cosθ＝___________a⊥b的充要条件a·b＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤x21＋y21x22＋y22常用结论1．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．有关向量夹角的两个结论(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b0；若a·b0，则a与b的夹角为锐角或0.(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b0；若a·b0，则a与b的夹角为钝角或π.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是0，π2.()(2)若a，b共线，则a·b＝|a|·|b|.()(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．()(4)若a·b＝a·c，则b＝c.()教材改编题1．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，且a与b的夹角为30°，那么a·b等于()A．1B.3C．3D．332．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.3．若向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，则a·b的值等于________；a与b夹角的余弦值等于________．题型一平面向量数量积的基本运算例1(1)(2023·广州模拟)在平面四边形ABCD中，已知AB→＝DC→，P为CD上一点，CP→＝3PD→，|AB→|＝4，|AD→|＝3，AB→与AD→的夹角为θ，且cosθ＝23，则AP→·PB→等于()A．8B．－8C．2D．－2(2)(2023·六安模拟)在等边△ABC中，AB＝6，BC→＝3BD→，AM→＝2AD→，则MC→·MB→＝________.听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用基底法求数量积．(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．跟踪训练1(1)(2022·岳阳模拟)已知正方形ABCD的对角线AC＝2，点P在另一条对角线BD上，则AP→·AC→的值为()A．－2B．2C．1D．4(2)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4，若AB→·AC→＝2AB→·AD→，则AD→·AC→＝________.题型二平面向量数量积的应用命题点1向量的模例2已知向量a和b的夹角为30°，|a|＝1，|b|＝3，则|a＋2b|等于()A．1＋23B.19C.13＋43D．32听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2向量的夹角例3若e1，e2是夹角为π3的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点3向量的垂直例4(2022·全国甲卷)已知向量a＝(m,3)，b＝(1，m＋1)．若a⊥b，则m＝________.听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a|＝a·a及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；②几何法：利用向量的几何意义．(2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cosθ＝a·b|a||b|；②坐标法．(3)两个向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．跟踪训练2(1)(多选)已知e1，e2是单位向量，且e1·e2＝12，若向量a满足e1·a＝2，则下列选项正确的是()A．|e1－e2|＝1B．e1在e2上的投影向量的模为12C．e1与e1－e2的夹角为5π12D．a在e1上的投影向量为2e1(2)(2022·新高考全国Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t等于()A．－6B．－5C．5D．6题型三平面向量的实际应用例5在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为G，两个拉力分别为F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1与F2的夹角为θ，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是()A．|G|＝|F1|＋|F2|B．当θ＝π2时，|F1|＝22|G|C．当θ角越大时，用力越省D．当|F1|＝|G|时，θ＝π3听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华用向量方法解决实际问题的步骤跟踪训练3(2022·长春模拟)长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|＝10km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝4km/h，设v1和v2所成的角为θ(0θπ)，若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cosθ等于()A．－215B．－25C．－35D．－45