第3节 不等关系与不等式性质

第3节不等关系与不等式性质考试要求1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据.2.理解不等式的概念.3.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.1.两个实数比较大小的方法(1)作差法a－b0⇔ab，a－b＝0⇔a＝b，a－b0⇔ab.(2)作商法ab1（a∈R，b0）⇔ab（a∈R，b0），ab＝1⇔a＝b（a，b≠0），ab1（a∈R，b0）⇔ab（a∈R，b0）.2.不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)同向可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可开方性：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N，n≥2).1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.有关分式的性质(1)若ab0，m0，则bab＋ma＋m；bab－ma－m(b－m0).(2)若ab0，且ab⇔1a1b.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)a＞b⇔ac2＞bc2.()(2)a＝b⇔ac＝bc.()(3)若ab1，则ab.()(4)0axb或axb0⇒1b1x1a.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)由不等式的性质，ac2＞bc2⇒a＞b；反之，c＝0时，a＞b⇒ac2＞bc2.(2)由等式的性质，a＝b⇒ac＝bc；反之，c＝0时，ac＝bc⇒a＝b.(3)a＝－3，b＝－1，则ab1，但ab，故(3)错.2.(易错题)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有()A.ac－bd＞0B.ac－bd＜0C.ad＞bcD.ad＜bc答案D解析∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴－1d＞－1c＞0.故－ad＞－bc＞0，则ad＜bc＜0.3.(易错题)已知－1＜a＜2，－3＜b＜5，则a－b的取值范围是()A.(－3，2)B.(－6，5)C.(－4，7)D.(－5，－1)答案B解析∵－3＜b＜5，∴－5＜－b＜3，又－1＜a＜2，∴－6＜a－b＜5.4.(2021·厦门期末)实数x，y满足xy，则下列不等式成立的是()A.yx1B.2－x2－yC.lg(x－y)0D.x2y2答案B解析由xy，得－x－y，所以2－x2－y，故选B.5.(多选)(2022·湖北七市联考)设a，b，c，d为实数，且a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式正确的是()A.c2＜cdB.a－c＜b－dC.ac＞bdD.ca－db＞0答案AD解析对于A，c2－cd＝c(c－d)＜0，所以A正确；对于B，a－c－(b－d)＝(a－b)－(c－d)，无法判断与0的大小关系，所以B错误；对于C，不妨设a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ac＝bd，所以C错误；对于D，ca－db＝bc－adab＞ac－adab＝a（c－d）ab＞0，所以D正确.故选AD.6.比较两数的大小：7＋10________3＋14.答案＞解析(7＋10)2＝17＋270，(3＋14)2＝17＋242，∴(7＋10)2＞(3＋14)2，∴7＋10＞3＋14.考点一比较数(式)的大小1.若a，b∈[0，＋∞)，A＝a＋b，B＝a＋b，则A，B的大小关系是()A.A≤BB.A≥BC.A＜BD.A＞B答案B解析由题意得，B2－A2＝－2ab≤0，又A≥0，B≥0，所以A≥B.2.若a＝ln33，b＝ln44，c＝ln55，则()A.abcB.cbaC.cabD.bac答案B解析法一易知a，b，c都是正数，ba＝3ln44ln3＝log81641，所以ab；bc＝5ln44ln5＝log62510241，所以bc.即cba.法二构造函数f(x)＝lnxx，则f′(x)＝1－lnxx2，由f′(x)0，得0xe；由f′(x)0，得xe.∴f(x)在(0，e)为增函数，在(e，＋∞)为减函数.∴f(3)f(4)f(5)，即abc.3.已知等比数列{an}中，a10，q0，前n项和为Sn，则S3a3与S5a5的大小关系为________.答案S3a3S5a5解析当q＝1时，S3a3＝3，S5a5＝5，所以S3a3S5a5；当q0且q≠1时，S3a3－S5a5＝a1（1－q3）a1q2（1－q）－a1（1－q5）a1q4（1－q）＝q2（1－q3）－（1－q5）q4（1－q）＝－q－1q40，所以S3a3S5a5.综上可知S3a3S5a5.4.eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________.答案eπ·πe＜ee·ππ解析eπ·πeee·ππ＝eπ－eππ－e＝eππ－e，又0＜eπ＜1，0＜π－e＜1，∴eππ－e＜1，即eπ·πeee·ππ＜1，即eπ·πe＜ee·ππ.感悟提升1.作差法一般步骤：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.2.作商法一般步骤：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论.3.函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系.4.特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小.考点二不等式的基本性质例1(1)(多选)(2021·长沙调研)若1a＜1b＜0，则下列不等式中正确的是()A.1a＋b＜1abB.|a|＋b＞0C.a－1a＞b－1bD.lna2＞lnb2答案AC解析由1a＜1b＜0，可知b＜a＜0.A中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以1a＋b＜0，1ab＞0.故有1a＋b＜1ab，即A正确；B中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故B错误；C中，因为b＜a＜0，又1a＜1b＜0，则－1a＞－1b＞0，所以a－1a＞b－1b，故C正确；D中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝lnx在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以lnb2＞lna2，故D错误.由以上分析，知A，C正确.(2)(多选)(2021·石家庄模拟)已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式不成立的是()A.xy＞yzB.xy＞xzC.xz＞yzD.x|y|＞|y|z答案ACD解析因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0，y的符号无法确定.对于A，由题意得x＞z，若y＜0，则xy＜0＜yz，故A错误；对于B，因为y＞z，x＞0，所以xy＞xz，故B正确；对于C，因为x＞y，z＜0，所以xz＜yz，故C错误；对于D，当|y|＝0时，x|y|＝|y|z，故D错误.感悟提升解决此类题目常用的三种方法：(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件；(2)利用特殊值法排除错误答案；(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断.训练1(1)若2m＞2n，则下列结论一定成立的是()A.1m＞1nB.m|m|＞n|n|C.ln(m－n)＞0D.πm－n＜1答案B解析∵2m＞2n，∴可取m＝2，n＝1，可得ACD不成立.(2)(多选)设b＞a＞0，c∈R，则下列不等式中正确的是()A.a12＜b12B.1a－c＞1b－cC.a＋2b＋2＞abD.ac2＜bc2答案ABC解析∵y＝x12在(0，＋∞)上是增函数，∴a12＜b12.∵y＝1x－c在(0，＋∞)上是减函数，∴1a－c＞1b－c.∵a＋2b＋2－ab＝2（b－a）（b＋2）b＞0，∴a＋2b＋2＞ab.当c＝0时，ac2＝bc2，∴D不成立.故选ABC.考点三不等式性质的综合应用例2(1)已知－1x4，2y3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________.答案(－4，2)(1，18)解析因为－1x4，2y3，所以－3－y－2，所以－4x－y2.由－1x4，2y3，得－33x12，42y6，所以13x＋2y18.(2)已知－1x－y4，2x＋y3，则3x＋2y的取值范围为________.答案92，192解析设3x＋2y＝λ(x－y)＋μ(x＋y)，即3x＋2y＝(λ＋μ)x＋(μ－λ)y，于是λ＋μ＝3，μ－λ＝2，解得λ＝12，μ＝52，∴3x＋2y＝12(x－y)＋52(x＋y).∵－1x－y4，2x＋y3，∴－1212(x－y)2，552(x＋y)152，∴9212(x－y)＋52(x＋y)192.故3x＋2y的取值范围是92，192.感悟提升利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.训练2(1)已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，则ca的取值范围是________.答案(－3，－1)解析因为a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，所以a＞0，c＜0，b＝－2a－c.因为a＞b＞c，所以－2a－c＜a，即3a＞－c，解得ca＞－3，将b＝－2a－c代入b＞c中，得－2a－c＞c，即c＜－a，得ca＜－1，所以－3＜ca＜－1.(2)已知a∈(－3，－2)，b∈(2，4)，则ba的取值范围是________.答案－2，－23解析∵a∈(－3，－2)，∴1a∈－12，－13，故13＜－1a＜12，又∵2＜b＜4，∴23＜－ba＜2，则－2＜ba＜－23.1.(2021·深圳调研)若a，b∈R，且a＞|b|，则()A.a＜－bB.a＞bC.a2＜b2D.1a＞1b答案B解析由a＞|b|可知，当b≥0时，a＞b；当b＜0时，a＞－b，则a＞0＞b，综上可知，当a＞|b|时，a＞b恒成立，故选B.2.已知a＋b＜0，且a＞0，则()A.a2＜－ab＜b2B.b2＜－ab＜a2C.a2＜b2＜－abD.－ab＜b2＜a2答案A解析法一令a＝1，b＝－2，则a2＝1，－ab＝2，b2＝4，从而a2＜－ab＜b2，选A.法二由a＋b＜0，且a＞0可得b＜0，且a＜－b.因为a2－(－ab)＝a(a＋b)＜0，所以0＜a2＜－ab.又因为0＜a＜－b，所以0＜－ab＜(－b)2，所以0＜a2＜－ab＜b2，选A.3.设a＝2，b＝7－3，c＝6－2，则a，b，c的大小关系为()A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.b＞a＞cD.b＞c＞a答案B解析因为(7＋2)2－(6＋3)2＝9＋214－9－218＜0，所以7＋2＜6＋3，所以7－3＜6－2，即b＜c.又a－c＝22－6＝8－6＞0，故a＞c.综上，a＞c＞b.4.(多选)对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为()A.若a＞b，则ac＜bcB.若ac2＞bc2，则a＞bC.若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2D.若a＞0＞b，则|a|＜|b|答案BC解析当c＞0时，ac＞bc，A错误；当a＝3，b＝－1时，|a|＞|b|，D错误；B，C正确.5.(多选)下面四个选项能推出1a＜1b的有()A.b＞0＞aB.0＞a＞bC.a＞0＞bD.a＞b＞0答案ABD解析1a＜1b⇔b－aab＜0⇔ab(a－b)＞0.对于A，ab＜0，a－b＜0，ab(a－b)＞0，符合题意；对于B，ab＞0，a－b＞0，ab(a－b)＞0，符合题意；对于C，ab＜0，a－b＞0，ab(a－b)＜0，不符合题意；对于D，ab＞0，a－b＞0，ab(a－b)＞0，符合题意.6.