第1节 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积

第1节基本立体图形、简单几何体的表面积与体积考试要求1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图.1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面矩形等腰三角形等腰梯形圆面侧面展开图矩形扇形扇环2.直观图(1)画法：常用斜二测画法.(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l4.柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝13Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S＝4πR2V＝43πR31.正方体与球的切、接常用结论：正方体的棱长为a，球的半径为R，(1)若球为正方体的外接球，则2R＝3a；(2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；(3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.2.长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.3.正四面体的外接球的半径R＝64a，内切球的半径r＝612a，其半径R∶r＝3∶1(a为该正四面体的棱长).4.直观图与原平面图形面积间关系S直观图＝24S原图形.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()(3)菱形的直观图仍是菱形.()(4)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析(1)反例：由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件，但不是棱柱.(2)反例：如图所示的图形满足条件但不是棱锥.(3)用斜二测画法画水平放置的菱形的直观图是平行四边形，但邻边不一定相等，(3)错误.(4)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.2.(2021·新高考Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()A.2B.22C.4D.42答案B解析设圆锥的母线长为l，因为该圆锥的底面半径为2，侧面展开图为一个半圆，所以2π×2＝πl，解得l＝22.3.(2021·益阳调考)如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA′B′C′的面积为4，则该平面图形的面积为()A.2B.42C.82D.22答案C解析由S原图形＝22S直观图，得S原图形＝22×4＝82.4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A.12πB.323πC.8πD.4π答案A解析由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线为23即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π.5.(多选)(2022·青岛一模)下列说法中正确的是()A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.过球面上任意两点可作球的一个大圆或无数个大圆C.三棱锥的四个面都可以是直角三角形D.梯形的直观图可以是平行四边形答案BC解析对于A，如两个同底的三棱锥构成的六面体，不是三棱锥，故错误；对于B，球面上任意两点与球心共线时，可以作球的无数个大圆，与球心不共线时，可以作球的一个大圆，故正确；对于C，一条侧棱垂直于底面直角三角形的一个锐角顶点的三棱锥满足题意，故正确；对于D，作直观图时，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半，故错误.6.(2021·北京卷)对24小时内降水在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义：0～1010～2525～5050～100小雨中雨大雨暴雨小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级()A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨答案B解析由相似关系可得，雨水形成的小圆锥的底面半径r＝20022＝50(mm)，故V小圆锥＝13×π×502×150＝503·π(mm3)，从而可得积水厚度h＝V小圆锥S大圆＝503·ππ·1002＝12.5(mm)，属于中雨.考点一基本立体图形角度1空间几何体的结构特征例1(1)(多选)(2021·潍坊调研)下面关于空间几何体的叙述正确的是()A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥B.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形C.长方体是直平行六面体D.存在每个面都是直角三角形的四面体答案CD解析A中，当顶点在底面的投影是正多边形的中心才是正棱锥，不正确；B中，当平面与圆柱的母线平行或垂直时，截得的截面才为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分，B不正确；C正确；D正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形.(2)(多选)给出下列四个命题，不正确的是()A.有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥C.侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D.底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱答案ABC解析对于A，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故A错；对于B，等腰三角形的腰不是侧棱时不一定成立(如图)，故B错；对于C，若底面不是矩形，则C错；对于D，可知侧棱垂直于底面，故D正确.综上，命题ABC不正确.感悟提升空间几何体结构特征的判断技巧(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.角度2直观图例2一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于()A.24a2B.22a2C.22a2D.223a2答案B解析根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则可知，在x轴上(或与x轴平行)的线段，其长度保持不变；在y轴上(或与y轴平行)的线段，其长度变为原来的一半，且∠x′O′y′＝45°(或135°)，所以若设原平面图形的面积为S，则其直观图的面积为S′＝12·22·S＝24S.可以提出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是S′＝24S，本题中直观图的面积为a2，所以原平面四边形的面积S＝a224＝22a2.感悟提升(1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半.”(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝24S原图形.角度3展开图例3如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处.若该小虫爬行的最短路程为43m，则圆锥底面圆的半径等于______m.答案43解析圆锥顶点记为O，把圆锥侧面沿母线OP展开成如图所示的扇形，由题意OP＝4，PP′＝43，则cos∠POP′＝42＋42－（43）22×4×4＝－12，又∠POP′为△POP′一内角，所以∠POP′＝2π3.设底面圆的半径为r，则2πr＝2π3×4，所以r＝43.感悟提升几何体的表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状.训练1(1)给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3答案A解析①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.(2)(2020·浙江卷)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________.答案1解析如图，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则圆锥的侧面积S侧＝πrl＝2π，即r·l＝2.由于侧面展开图为半圆，可知12πl2＝2π，可得l＝2，因此r＝1.(3)已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝2，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________.答案22解析如图(1)和(2)的实际图形和直观图所示.因为OE＝（2）2－1＝1，由斜二测画法可知O′E′＝12，E′F＝24，D′C′＝1，A′B′＝3，则直观图A′B′C′D′的面积S′＝1＋32×24＝22.考点二表面积与体积角度1表面积和侧面积例4(1)(多选)已知正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，若θ＝30°，侧棱长为21，则()A.正四棱锥的底面边长为6B.正四棱锥的底面边长为3C.正四棱锥的侧面积为243D.正四棱锥的侧面积为123答案AC解析如图，在正四棱锥S－ABCD中，O为正方形ABCD的中心，SH⊥AB，设底面边长为2a(a＞0)，因为∠SHO＝30°，所以OH＝a，OS＝33a，SH＝233a，在Rt△SAH中，a2＋233a2＝21，所以a＝3，底面边长为6，侧面积为S＝12×6×23×4＝243.故选AC.(2)(2022·重庆诊断)已知圆锥的顶点为A，过母线AB，AC的截面面积是23.若AB，AC的夹角是60°，且AC与圆锥底面所成的角是30°，则该圆锥的表面积为________.答案(6＋43)π解析如图所示，∵AB，AC的夹角是60°，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴34×AC2＝23，解得AC＝22.∵AC与圆锥底面所成的角是30°，∴圆锥底面半径r＝OC＝ACcos30°＝22×32＝6.则该圆锥的表面积＝π×(6)2＋12×2π×6×22＝(6＋43)π.角度2体积例5(1)(2020·新高考全国Ⅱ卷)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为________.答案1解析如图，由正方体棱长为2及M，N分别为BB1，AB的中点，得S△A1MN＝2×2－2×12×2×1－12×1×1＝32，又易知D1A1为三棱锥D1－A1MN的高，且D1A1＝2，∴VA1－D1MN＝VD1－A1MN＝13·S△A1MN·D1A1＝13×32×2＝1.(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________.答案23解析如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH.则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱.依题意，三棱锥E－ADG的高EG＝12，直三棱柱AGD－BHC的高AB＝1.则AG＝AE2－EG2＝12－122＝32.取AD的中点M，则MG＝22，所以S△AGD＝12×1×22＝24，∴V多面体＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD