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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 第5节 指数与指数函数
第5节指数与指数函数考试要求1.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握指数幂的运算性质.2.通过实例,了解指数函数的实际意义,能用描点法或借助计算工具画出指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性,特殊点等性质,并能简单应用.1.根式的概念及性质(1)概念:式子na叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.(2)①负数没有偶次方根.②0的任何次方根都是0,记作n0=0.③(na)n=a(n∈N*,且n1).④nan=a(n为大于1的奇数).⑤nan=|a|=a,a≥0,-a,a0(n为大于1的偶数).2.分数指数幂规定:正数的正分数指数幂的意义是amn=nam(a0,m,n∈N*,且n1);正数的负分数指数幂的意义是a-mn=1nam(a0,m,n∈N*,且n1);0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义.3.指数幂的运算性质实数指数幂的运算性质:aras=ar+s;(ar)s=ars;(ab)r=arbr,其中a0,b0,r,s∈R.4.指数函数及其性质(1)概念:函数y=ax(a0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.(2)指数函数的图象与性质a10a1图象定义域R值域(0,+∞)性质过定点(0,1),即x=0时,y=1当x0时,y1;当x0时,0y1当x0时,y1;当x0时,0y1在(-∞,+∞)上是增函数在(-∞,+∞)上是减函数y=ax与y=1ax的图象关于y轴对称1.画指数函数y=ax(a0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),-1,1a.2.指数函数y=ax(a0,且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关,要特别注意应分a1与0a1来研究.3.在第一象限内,指数函数y=ax(a0,且a≠1)的图象越高,底数越大.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)4(-4)4=-4.()(2)分数指数幂amn可以理解为mn个a相乘.()(3)函数y=2x-1是指数函数.()(4)函数y=ax2+1(a1)的值域是(0,+∞).()答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析(1)由于4(-4)4=444=4,故(1)错误.(2)当mn1时,不可以,故(2)错误.(3)由于指数函数解析式为y=ax(a>0,且a≠1),故y=2x-1不是指数函数,故(3)错误.(4)由于x2+1≥1,又a>1,∴ax2+1≥a.故y=ax2+1(a>1)的值域是[a,+∞),(4)错误.2.(多选)下列函数中,值域为(0,+∞)的是()A.y=x2B.y=2xC.y=2xD.y=3x-1答案CD解析y=x2的值域为[0,+∞);y=2x的值域为(-∞,0)∪(0,+∞);y=2x的值域为(0,+∞);y=3x-1的值域为(0,+∞).3.(2021·日照检测)函数f(x)=1-e|x|的图象大致是()答案A解析易知f(x)为偶函数,且f(x)=1-e|x|≤0,A正确.4.(易错题)若函数f(x)=(a2-3)·ax为指数函数,则a=________.答案2解析依题意a2-3=1,a>0且a≠1,解得a=2.5.已知a=35-13,b=35-14,c=32-34,则a,b,c的大小关系是________.答案c<b<a解析∵y=35x是R上的减函数,∴35-13>35-14>350,即a>b>1,又c=32-34<320=1,∴c<b<a.6.(2022·重庆月考)计算:32-13×-760+814×42-=________.答案2解析原式=2313×1+234×214-2313=2.考点一指数幂的运算1.(2020·新高考全国Ⅰ卷)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天答案B解析由R0=1+rT,R0=3.28,T=6,得r=R0-1T=3.28-16=0.38.由题意,累计感染病例数增加1倍,则I(t2)=2I(t1),即e0.38t2=2e0.38t1,所以e0.38(t2-t1)=2,即0.38(t2-t1)=ln2,∴t2-t1=ln20.38≈0.690.38≈1.8.2.[(0.06415)-2.5]23-3338-π0=________.答案0解析=410315×-52×23-32313-1=52-32-1=0.3.计算:14-12·(4ab-1)3(0.1)-1·(a3·b-3)12=________(a>0,b>0).答案85解析原式=2·432a32b-3210a32b-32=85.4.若x12+x-12=3,则x32+x-32-3x2+x-2-2=________.答案13解析由x12+x-12=3,两边平方,得x+x-1=7,再平方得x2+x-2=47.∴x2+x-2-2=45.x32+x-32=(x12)3+(x-12)3=(x12+x-12)(x-1+x-1)=3×(7-1)=18.∴x32+x-32-3x2+x-2-2=13.感悟提升(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意:①必须同底数幂相乘,指数才能相加.②运算的先后顺序.(2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.考点二指数函数的图象及应用例1(1)已知函数f(x)=|2x-1|,abc且f(a)f(c)f(b),则下列结论中一定成立的是()A.a0,b0,c0B.a0,b≥0,c0C.2-a2cD.2a+2c2答案D解析作出函数f(x)=|2x-1|的图象,如图,∵abc且f(a)f(c)f(b),结合图象知,0f(a)1,a0,c0,∴02a1.∴f(a)=|2a-1|=1-2a,∴f(c)1,∴0c1.∴12c2,∴f(c)=|2c-1|=2c-1,又∵f(a)f(c),∴1-2a2c-1,∴2a+2c2.(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是________.答案[-1,1]解析曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示,由图象可得:如果曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b应满足的条件是b∈[-1,1].感悟提升1.对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.2.有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解.训练1(1)(2020·北京卷)已知函数f(x)=2x-x-1,则不等式f(x)>0的解集是()A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(0,1)D.(-∞,0)∪(1,+∞)答案D解析在同一平面直角坐标系中画出h(x)=2x,g(x)=x+1的图象如图.由图象得交点坐标为(0,1)和(1,2).又f(x)>0等价于2x>x+1,结合图象,可得x<0或x>1.故f(x)>0的解集为(-∞,0)∪(1,+∞).(2)(多选)(2021·济南调研)已知实数a,b满足等式2022a=2023b,则下列关系式成立的是()A.0baB.ab0C.0abD.a=b答案ABD解析如图,观察易知a,b的关系为ab0或0ba或a=b=0.考点三指数函数的性质及应用角度1比较指数式的大小例2(1)已知a=243,b=425,c=2513,则()A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b答案A解析a=243=1613,b=425=1615,c=2513,∵幂函数y=x13在R上单调递增,所以a<c,∵指数函数y=16x在R上单调递增,∴b<a,即b<a<c.(2)若ea+πb≥e-b+π-a,下列结论一定成立的是()A.a+b≤0B.a-b≥0C.a-b≤0D.a+b≥0答案D解析∵ea+πb≥e-b+π-a,∴ea-π-a≥e-b-πb,①令f(x)=ex-π-x,则f(x)是R上的增函数,①式即为f(a)≥f(-b),∴a≥-b,即a+b≥0.角度2解简单的指数方程或不等式例3(1)已知实数a≠1,函数f(x)=4x,x≥0,2a-x,x0,若f(1-a)=f(a-1),则a的值为______.答案12解析当a1时,41-a=21,解得a=12;当a1时,2a-(1-a)=4a-1,无解,故a的值为12.(2)(2022·湖南五市联考)设函数f(x)=12x-7,x<0,x,x≥0,若f(a)<1,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-3)B.(1,+∞)C.(-3,1)D.(-∞,-3)∪(1,+∞)答案C解析当a<0时,不等式f(a)<1可化为12a-7<1,即12a<8,即12a<12-3,因为0<12<1,所以a>-3,此时-3<a<0;当a≥0时,不等式f(a)<1可化为a<1,即0≤a<1.故a的取值范围是(-3,1).角度3与指数函数有关的复合函数的单调性例4(1)已知函数f(x)=2|2x-m|(m为常数),若f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,则m的取值范围是________.答案(-∞,4]解析令t=|2x-m|,则t=|2x-m|在区间m2,+∞上单调递增,在区间-∞,m2上单调递减.而y=2t为R上的增函数,所以要使函数f(x)=2|2x-m|在[2,+∞)上单调递增,则有m2≤2,即m≤4,所以m的取值范围是(-∞,4].(2)函数f(x)=12-x2+2x+1的单调递减区间为________.答案(-∞,1]解析设u=-x2+2x+1,因为y=12u在R上为减函数,所以函数f(x)=12-x2+2x+1的单调递减区间即为函数u=-x2+2x+1的单调递增区间.又u=-x2+2x+1的单调递增区间为(-∞,1],所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,1].(3)已知定义域为R的函数f(x)=-12+12x+1,则关于t的不等式f(t2-2t)+f(2t2-1)<0的解集为________.答案-∞,-13∪(1,+∞)解析由题意知f(x)是奇函数,且在R上为减函数,则f(t2-2t)+f(2t2-1)<0,即f(t2-2t)<-f(2t2-1)=f(1-2t2).所以t2-2t>1-2t2,解得t>1或t<-13.角度4函数的最值(值域)问题例5(1)(2021·沈阳期末)函数y=14x-12x+1在区间[-3,2]上的值域是________.答案34,57解析因为x∈[-3,2],所以若令t=12x,则t∈14,8,故y=t2-t+1=t-122+34.当t=12时,ymin=34;当t=8时,ymax=57.故所求函数值域为34,57.(2)若函数f(x)=13ax2+2x+3的值域是0,19,则f(x)的单调递增区间是________.答案(
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