第7节 离散型随机变量及其分布列和数字特征

第7节离散型随机变量及其分布列和数字特征考试要求1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征.1.离散型随机变量一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有唯一的实数X(w)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.2.离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.3.离散型随机变量的分布列的性质①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.4.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝∑ni＝1xipi为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)方差称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝∑ni＝1（xi－E（X））2pi为随机变量X的方差，并称D（X）为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度.5.均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).随机变量的线性关系若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.()(2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.()(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.()(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小.()答案(1)√(2)×(3)√(4)√解析对于(2)，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1，故不正确.2.(易错题)袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是()A.至少取到1个白球B.至多取到1个白球C.取到白球的个数D.取到球的个数答案C解析选项A，B表述的都是随机事件；选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0，1，2.3.(易错题)若随机变量X的分布列为X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是()A.(－∞，2]B.[1，2]C.(1，2]D.(1，2)答案C解析由随机变量X的分布列知P(X＜－1)＝0.1，P(X＜0)＝0.3，P(X＜1)＝0.5，P(X＜2)＝0.8，则当P(X＜a)＝0.8时，实数a的取值范围是(1，2].4.(2020·全国Ⅲ卷)在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且∑4i＝1pi＝1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是()A.p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4B.p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1C.p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3D.p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2答案B解析X的可能取值为1，2，3，4，四种情形的数学期望E(X)＝1×p1＋2×p2＋3×p3＋4×p4都为2.5，方差D(X)＝[1－E(X)]2×p1＋[2－E(X)]2×p2＋[3－E(X)]2×p3＋[4－E(X)]2×p4，标准差为D（X）.A选项的方差D(X)＝0.65；B选项的方差D(X)＝1.85；C选项的方差D(X)＝1.05；D选项的方差D(X)＝1.45.可知选项B的情形对应样本的标准差最大.5.(2022·郴州检测)设随机变量X的概率分布列为X1234P13m1416则P(|X－3|＝1)＝________.答案512解析由13＋m＋14＋16＝1，解得m＝14，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝14＋16＝512.6.(2021·浙江卷)袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为16，一红一黄的概率为13，则m－n＝________；E(ξ)＝________.答案189解析由题意可得P(ξ＝2)＝C24C24＋m＋n＝12（4＋m＋n）（3＋m＋n）＝16，化简得(m＋n)2＋7(m＋n)－60＝0，得m＋n＝5(m＋n＝－12舍去).又取出的两个球为一红一黄的概率P＝C14C1mC24＋m＋n＝4m36＝13，解得m＝3，故n＝2，所以m－n＝1.易知ξ的所有可能取值为0，1，2，且P(ξ＝2)＝16，P(ξ＝1)＝C14C15C29＝59，P(ξ＝0)＝C25C29＝518，所以E(ξ)＝0×518＋1×59＋2×16＝89.考点一分布列的性质例1(1)随机变量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________.答案23－13，13解析因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，所以b＝13，因此P(|X|＝1)＝a＋c＝23.又a＝13－d，c＝13＋d，根据分布列的性质，得0≤13－d≤23，0≤13＋d≤23，所以－13≤d≤13.(2)设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m①求2X＋1的分布列；②求随机变量η＝|X－1|的分布列.解①由分布列的性质知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.列表为X012342X＋113579从而2X＋1的分布列为2X＋113579P0.20.10.10.30.3②由①知m＝0.3，列表为X01234|X－1|10123所以P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3，故η＝|X－1|的分布列为η0123P0.10.30.30.3感悟提升分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性.(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.训练1(1)离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝an（n＋1）(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P12＜X＜52的值为()A.23B.34C.45D.56答案D解析因为P(X＝n)＝an（n＋1）(n＝1，2，3，4)，所以a2＋a6＋a12＋a20＝1，即a＝54，所以P12＜X＜52＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝54×12＋54×16＝56.(2)(多选)设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示：ξ－10123P110151101525则下列各式不正确的是()A.P(ξ3)＝25B.P(ξ1)＝45C.P(2ξ4)＝25D.P(ξ0.5)＝0答案ABD解析P(ξ3)＝110＋15＋110＋15＝35，A错误；P(ξ1)＝15＋25＝35，B错误；P(2ξ4)＝P(ξ＝3)＝25，C正确；P(ξ0.5)＝110＋15＝310，D错误.考点二分布列的求法例2有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入座编号为1，2，3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知X＝2时，共有6种坐法.(1)求n的值；(2)求随机变量X的分布列.解(1)因为当X＝2时，有C2n种方法，因为C2n＝6，即n（n－1）2＝6，也即n2－n－12＝0，解得n＝4或n＝－3(舍去)，所以n＝4.(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，由题意可知X的可能取值是0，2，3，4，所以P(X＝0)＝1A44＝124，P(X＝2)＝C24×1A44＝14，P(X＝3)＝C34×2A44＝13，P(X＝4)＝1－124－14－13＝38，所以X的概率分布列为X0234P124141338感悟提升离散型随机变量分布列的求解步骤训练2甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率依次为34，23，12.记甲同学三个项目中通过考试的个数为X，求随机变量X的分布列.解随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X＝0)＝1－34×1－23×1－12＝124，P(X＝1)＝14×13×12＋14×23×12＋34×13×12＝14，P(X＝2)＝14×23×12＋34×13×12＋34×23×12＝1124，P(X＝3)＝34×23×12＝14.∴随机变量X的分布列为X0123P12414112414考点三离散型随机变量的数字特征角度1期望、方差的计算例3为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E(ξ)，方差D(ξ).解(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为1－14－12＝14，1－16－23＝16.两人都付0元的概率为P1＝14×16＝124，两人都付40元的概率为P2＝12×23＝13，两人都付80元的概率为P3＝14×16＝124，则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝124＋13＋124＝512.(2)ξ的所有可能取值为0，40，80，120，160，则P(ξ＝0)＝14×16＝124，P(ξ＝40)＝14×23＋12×16＝14，P(ξ＝80)＝14×16＋12×23＋14×16＝512，P(ξ＝120)＝12×16＋14×23＝14，P(ξ＝160)＝14×16＝124.所以ξ的分布列为ξ04080120160P1241451214124E(ξ)＝0×124＋40×14＋80×512＋120×14＋160×124＝80.D(ξ)＝(0－80)2×124＋(40－80)2×14＋(80－80)2×512＋(120－80)2×14＋(160－80)2×124＝40003.角度2决策问题例4某投资公司在2023年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.解若按“项目一”投资，设获利为X1万元，X1的所有可能取值为300，－150.则X1的分布列为X1300－150P7929∴E(X1)＝300×79＋(－150)×29＝200(万元).若按“项目二”投资，设获利X2万元，X2的所有可能取值为500，－300，0.则X2的分布列为：X2500－3000P3513115∴E(X2)＝500×35＋(－300)×13＋0×115＝200(万元).D(X1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35000，D(X2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140000.所以E(X1)＝E(