第1节 任意角和弧度制及三角函数的概念

第1节任意角和弧度制及三角函数的概念考试要求1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形.(2)分类按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.2.弧度制的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝lr(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°＝π180rad；1rad＝180π°弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝12lr＝12|α|r23.任意角的三角函数(1)定义前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)定义正弦y叫做α的正弦函数，记作sinα，即sinα＝y余弦x叫做α的余弦函数，记作cosα，即cosα＝x正切yx叫做α的正切函数，记作tanα，即tanα＝yx(x≠0)三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数(2)定义的推广设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r0)，那么sinα＝yr；cosα＝xr，tanα＝yx(x≠0).1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用.3.象限角4.轴线角1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.()(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.()(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.()(4)若α为第一象限角，则sinα＋cosα1.()答案(1)×(2)×(3)√(4)√解析(1)锐角的取值范围是0，π2.(2)第一象限角不一定是锐角.2.(多选)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案AC解析因为角2α的终边在x轴的上方，所以k·360°＜2α＜k·360°＋180°，k∈Z，则有k·180°＜α＜k·180°＋90°，k∈Z.故当k＝2n，n∈Z时，n·360°＜α＜n·360°＋90°，n∈Z，α为第一象限角；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋180°＜α＜n·360°＋270°，n∈Z，α为第三象限角.故选AC.3.(2021·肇庆二模)已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与以O为圆心的单位圆相交于A点.若A的横坐标为66，则()A.sinα＝66B.cos2α＝－23C.sin2α＝－53D.tan2α＝－52答案B解析由三角函数的定义，可得cosα＝66，则sinα＝±306，cos2α＝2cos2α－1＝－23，sin2α＝2sinαcosα＝±53，tan2α＝±52，所以选B.4.(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则()A.cos2α0B.cos2α0C.sin2α0D.sin2α0答案D解析∵α是第四象限角，∴sinα0，cosα0，∴sin2α＝2sinαcosα0，故选D.5.在0到2π范围内，与角－4π3终边相同的角是________.答案2π3解析与角－4π3终边相同的角是2kπ＋－4π3(k∈Z)，令k＝1，可得与角－4π3终边相同角是2π3.6.(易错题)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上的一点，且sinθ＝－31010，则y＝________.答案－3解析因为sinθ＝－31010＜0，A(－1，y)是角θ终边上一点，所以y＜0，由三角函数的定义，得yy2＋1＝－31010.解得y＝－3.考点一象限角及终边相同的角1.集合α|kπ＋π4≤α≤kπ＋π2，k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是()答案C解析当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋π4≤α≤2nπ＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋π4≤α≤2nπ＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C.2.设集合M＝x|x＝k2·180°＋45°，k∈Z，N＝{x|x＝k4·180°＋45°，k∈Z}，那么()A.M＝NB.M⊆NC.N⊆MD.M∩N＝∅答案B解析由于M中，x＝k2·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝k4·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N.3.已知角θ在第二象限，且sinθ2＝－sinθ2，则角θ2在()A.第一象限或第三象限B.第二象限或第四象限C.第三象限D.第四象限答案C解析∵角θ是第二象限角，∴θ∈2kπ＋π2，2kπ＋π，k∈Z，∴θ2∈kπ＋π4，kπ＋π2，k∈Z，∴角θ2在第一或第三象限.∵sinθ2＝－sinθ2，∴sinθ2＜0，∴角θ2在第三象限.4.终边在直线y＝3x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________________.答案－53π，－23π，π3，43π解析在坐标系中画出直线y＝3x，可以发现它与x轴的夹角π3，在[0，2π)内，终边在直线y＝3x上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为－53π，－23π，π3，43π.感悟提升(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.(2)确定kα，αk(k∈N*)的终边位置的方法先写出kα或αk的范围，然后根据k的可能取值确定kα或αk的终边所在的位置.考点二弧度制及其应用例1已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝π3，R＝10cm，求扇形的弧长l.(2)若扇形的周长是20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若α＝π3，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积.解(1)因为α＝π3，R＝10cm，所以l＝|α|R＝π3×10＝10π3(cm).(2)由已知得，l＋2R＝20，所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.所以当R＝5时，S取得最大值，此时l＝10，α＝2.(3)设弓形面积为S弓形，由题意知l＝2π3cm，所以S弓形＝12×2π3×2－12×22×sinπ3＝2π3－3cm2.感悟提升应用弧度制解决问题时应注意：(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.训练1(1)(多选)(2022·青岛质检)已知扇形的周长是6，面积是2，下列选项可能正确的有()A.圆的半径为2B.圆的半径为1C.圆心角的弧度数是1D.圆心角的弧度数是2答案ABC解析设扇形半径为r，圆心角弧度数为α，则由题意得2r＋αr＝6，12αr2＝2，解得r＝1，α＝4或r＝2，α＝1，可得圆心角的弧度数是4或1.(2)中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图，在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1，扇形OAB的面积为S2，当S1与S2的比值为5－12时，扇面的形状较为美观，则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为()A.5＋14B.5－12C.3－5D.5－2答案B解析设∠AOB＝θ，半圆的半径为r，扇形OCD的半径为r1，依题意，有12θr2－12θr2112θr2＝5－12，即r2－r21r2＝5－12，所以r21r2＝3－52＝6－254＝5－122，从而得r1r＝5－12.考点三三角函数的定义及应用角度1三角函数的定义例2(1)已知角α的终边上一点P(－3，m)(m≠0)，且sinα＝2m4，则cosα＝________，tanα＝________.答案－64－153或153解析设P(x，y).由题设知x＝－3，y＝m，所以r2＝OP2＝(－3)2＋m2(O为原点)，即r＝3＋m2，所以sinα＝mr＝2m4＝m22，所以r＝3＋m2＝22，即3＋m2＝8，解得m＝±5.当m＝5时，cosα＝－322＝－64，tanα＝－153；当m＝－5时，cosα＝－322＝－64，tanα＝153.(2)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－45，则m的值为()A.－12B.－32C.12D.32答案C解析由题意得点P(－8m，－3)，r＝64m2＋9，所以cosα＝－8m64m2＋9＝－45，所以m0，解得m＝12.角度2三角函数值符号的判定例3(1)已知点P(cosα，tanα)在第二象限，则角α在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案C解析点P(cosα，tanα)在第二象限，则cosα＜0，tanα＞0，所以角α在第三象限.(2)sin2·cos3·tan4的值()A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在答案A解析因为π2＜2＜3＜π＜4＜3π2，所以2rad和3rad的角是第二象限角，4rad的角是第三象限角，所以sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0，所以sin2·cos3·tan4＜0.感悟提升1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.训练2(1)已知角α的终边经过点(3，－4)，则sinα＋1cosα等于()A.－15B.3715C.3720D.1315答案D解析因为角α的终边经过点(3，－4)，所以sinα＝－45，cosα＝35，所以sinα＋1cosα＝－45＋53＝1315.故选D.(2)设θ是第三象限角，且cosθ2＝－cosθ2，则θ2是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案B解析由θ是第三象限角知，θ2为第二或第四象限角，又cosθ2＝－cosθ2，所以cosθ20，综上可知，θ2为第二象限角.(3)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点M的坐标为sin3π4，cos3π4，则角α的最小正角为()A.π4B.3π4C.5π4D.7π4答案D解析角α的终边上一点M的坐标为sin3π4，cos3π4，即M22，－22，故点M在第四象限，且tanα＝－2222＝－1，则角α的最小正角为7π4，故选D.1.下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2kπ＋45°(k∈Z)B.k·360°＋9π4(k∈Z)C.k·360°－315°(k∈Z)D.kπ＋5π4(k∈Z)答案C解析与角9π4的终边相同的角可以写成2kπ＋9π4(k∈Z)或k·360°＋45°(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，排除A、B，易知D错误，C正确.2.给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.其中正确