第1节 数列的概念与简单表示法

第1节数列的概念与简单表示法考试要求1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.1.数列的定义按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an＋1＞an其中n∈N*递减数列an＋1＜an常数列an＋1＝an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是表格法、图象法和解析式法.4.数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.5.数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.2.在数列{an}中，若an最大，则an≥an－1，an≥an＋1.若an最小，则an≤an－1，an≤an＋1.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.()(2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.()(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.()(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列.(2)数列中的数是可以重复的，可以构成数列.(3)数列可以是常数列或摆动数列.2.(多选)(2021·长沙月考)已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项可能是()A.an＝(－1)n－1＋1B.an＝2，n为奇数，0，n为偶数C.an＝2sinnπ2D.an＝cos(n－1)π＋1答案ABD解析对n＝1，2，3，4进行验证，an＝2sinnπ2不合题意，其他都可能.3.(2022·湘豫名校联考)已知数列{an}满足：对任意m，n∈N*，都有anam＝an＋m，且a2＝2，那么a20＝()A.240B.230C.220D.210答案D解析由anam＝an＋m，a2＝2，得a20＝a2a18＝a2a2a16＝a102＝210.故选D.4.(易错题)已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋3，则{an}的通项公式为________.答案an＝4，n＝12n－1，n≥2解析当n＝1时，a1＝S1＝4，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，又a1＝4不适合上式，所以an＝4，n＝1，2n－1，n≥2.5.若an＝－n2＋9n＋10，则当数列{an}的前n项和Sn最大时，n的值为________.答案9或10解析要使Sn最大，只需要数列中正数的项相加即可，即需an＞0，－n2＋9n＋10＞0，得－1＜n＜10，又n∈N*，所以1≤n＜10.又a10＝0，所以n＝9或10.6.已知an＝n2＋λn，且对于任意的n∈N*，数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________.答案(－3，＋∞)解析因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N*，都有an＋1＞an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)＞n2＋λn，整理，得2n＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n＋1).(*)因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.考点一由an与Sn的关系求通项例1(1)(多选)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则下列结论正确的是()A.an＝1n（n－1）B.an＝－1，n＝1，1n（n－1），n≥2C.Sn＝－1nD.数列1Sn是等差数列答案BCD解析∵an＋1＝Sn·Sn＋1＝Sn＋1－Sn，两边同除以Sn＋1·Sn，得1Sn＋1－1Sn＝－1.∴1Sn是以－1为首项，d＝－1的等差数列，即1Sn＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－1n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－1n＋1n－1＝1n（n－1），又a1＝－1不符合上式，∴an＝－1，n＝1，1n（n－1），n≥2.(2)设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N＋.①求a1的值；②求数列{an}的通项公式.解①令n＝1时，T1＝2S1－1，∵T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.②n≥2时，Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2，则Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2(Sn－Sn－1)－2n＋1＝2an－2n＋1.因为当n＝1时，a1＝S1＝1也满足上式，所以Sn＝2an－2n＋1(n≥1)，当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2(n－1)＋1，两式相减得an＝2an－2an－1－2，所以an＝2an－1＋2(n≥2)，所以an＋2＝2(an－1＋2)，因为a1＋2＝3≠0，所以数列{an＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列.所以an＋2＝3×2n－1，∴an＝3×2n－1－2，当n＝1时也成立，所以an＝3×2n－1－2.感悟提升(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2，转化为关于an的关系式，再求通项公式.(2)Sn与an关系问题的求解思路方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解.方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解.训练1(1)已知数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________.答案－2n－1解析当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，∴a1＝－1.当n≥2时，Sn＝2an＋1，①Sn－1＝2an－1＋1.②①－②，Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，即an＝2an－1(n≥2)，∴{an}是首项a1＝－1，q＝2的等比数列.∴an＝a1·qn－1＝－2n－1.(2)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝________.答案22n－1解析因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，两式相减得(2n－1)an＝2，所以an＝22n－1(n≥2)，又由题设可得a1＝2，满足上式，故an＝22n－1.考点二由数列的递推关系式求通项公式角度1累加法——形如an＋1－an＝f(n)，求an例2在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln1＋1n，则an等于()A.2＋lnnB.2＋(n－1)lnnC.2＋nlnnD.1＋n＋lnn答案A解析因为an＋1－an＝lnn＋1n＝ln(n＋1)－lnn，所以a2－a1＝ln2－ln1，a3－a2＝ln3－ln2，a4－a3＝ln4－ln3，……an－an－1＝lnn－ln(n－1)(n≥2).把以上各式分别相加得an－a1＝lnn－ln1，则an＝2＋lnn(n≥2)，且a1＝2也适合，因此an＝2＋lnn(n∈N*).角度2累乘法——形如an＋1an＝f(n)，求an例3在数列{an}中，an＋1＝nn＋2an(n∈N*)，且a1＝4，则数列{an}的通项公式an＝________.答案8n（n＋1）解析由an＋1＝nn＋2an，得an＋1an＝nn＋2，故a2a1＝13，a3a2＝24，…，anan－1＝n－1n＋1(n≥2)，以上式子累乘得，ana1＝13·24·…·n－3n－1·n－2n·n－1n＋1＝2n（n＋1）.因为a1＝4，所以an＝8n（n＋1）(n≥2).因为a1＝4满足上式，所以an＝8n（n＋1）.角度3构造法——形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0)，求an例4(1)若a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式an＝________.答案2n＋1－3解析设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1＋t＝2(an＋t)，即an＋1＝2an＋t，解得t＝3.故an＋1＋3＝2(an＋3).令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且bn＋1bn＝an＋1＋3an＋3＝2.所以{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列.∴bn＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.(2)(2022·广州调考)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为________.答案an＝2n－1，n∈N*解析因为Sn＋1－2Sn＝1，所以Sn＋1＝2Sn＋1.因此Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)，因为a1＝S1＝1，S1＋1＝2，所以{Sn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列.所以Sn＋1＝2n，Sn＝2n－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，a1＝1也满足此式，所以an＝2n－1，n∈N*.感悟提升(1)形如an＋1＝an＋f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项.(2)形如an＋1＝an·f(n)的递推关系式可化为an＋1an＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝anan－1·an－1an－2·…·a2a1·a1代入求出通项.(3)形如an＋1＝pan＋q的递推关系式可以化为(an＋1＋x)＝p(an＋x)的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x是关键.(4)形如an＋1＝AanBan＋C(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.训练2(1)已知数列{an}满足a1＝2，an－an－1＝n(n≥2，n∈N*)，则an＝________.答案n2＋n＋22解析由题意可知，a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)，以上式子累加，得an－a1＝2＋3＋…＋n.因为a1＝2，所以an＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋（n－1）（2＋n）2＝n2＋n＋22(n≥2).因为a1＝2满足上式，所以an＝n2＋n＋22.(2)若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2anan＋2，则数列{an}的通项公式an＝________.答案2n＋1解析因为an＋1＝2anan＋2，a1＝1，所以an≠0，所以1an＋1＝1an＋12，即1an＋1－1an＝12.又a1＝1，则1a1＝1，所以1an是以1为首项，12为公差的等差数列.所以1an＝1a1＋(n－1)×12＝n2＋12，所以an＝2n＋1.(3)已知数列{an}中，a1＝3，且点Pn(an，an＋1)(n∈N＋)在直线4x－y＋1＝0上，则数列{an}的通项公式an＝________.答案103×4n－1－13解析因为点Pn(an，an＋1)(n∈N＋)在直线4x－y＋1＝0上，所以4an－an＋1＋1＝0.所以an＋1＋13＝4an＋13.因为a1＝3，所以a1＋13＝103.故数列an＋13是首项为103，公比为4的等比数列.所以an＋13＝103×4n－1，故数列{an}的通项公式为an＝103×4n－1－13.考点三数列的性质角度1数列的周期性例5(2022·衡水联考)若P(n)表示正整数n的个位数字，an＝P(n2)－P(2n)，数列{an}的前n项和为Sn，则S2022＝()A.－1B.0C.1009D.1011答案C解析由题意得a1＝－1，a2＝0，a3＝3，a4＝－2，a5＝5，a6＝4，a7＝5，a8＝－2，a9＝－7，a10＝0，a11＝－1，a12＝0……所以数列{an}为周期数列，且周期为10.因为S10＝5，所以S2022＝5×202＋(－1)＋0＝1009.角度2数列的单调性例6已知数列{an}的通项公式为an＝3n＋k2n，若数列{an}为递减数列，则实数