第3节 二项式定理

第3节二项式定理考试要求能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)；(2)通项公式：Tk＋1＝Cknan－kbk，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，Cnn.2.二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即Cmn＝Cn－mn增减性二项式系数Ckn当k＜n＋12(n∈N*)时，是递增的当k＞n＋12(n∈N*)时，是递减的二项式系数最大值当n为偶数时，中间的一项取得最大值当n为奇数时，中间的两项与相等且取得最大值3.各二项式系数和(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n.(2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.(a＋b)n的展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式系数从C0n，C1n，一直到Cn－1n，Cnn.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)Cknan－kbk是二项展开式的第k项.()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.()(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.()(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.()答案(1)×(2)×(3)√(4)√解析二项展开式中Cknan－kbk是第k＋1项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，故(1)(2)均不正确.2.(易错题)已知x＋a3xn(a为常数)的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为()A.1B.±1C.2D.±2答案C解析根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n＝32，可得n＝5，则二项式的展开式通项为Tk＋1＝Ck5(x)5－k·a3xk＝akCk5x15－5k6，令15－5k6＝0，得k＝3，则其常数项为C35a3，根据题意，有C35a3＝80，可得a＝2.3.(多选)(2022·淄博调研)对于二项式1x＋x3n(n∈N*)，以下判断正确的有()A.存在n∈N*，展开式中有常数项B.对任意n∈N*，展开式中没有常数项C.对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项D.存在n∈N*，展开式中有x的一次项答案AD解析该二项展开式的通项为Tk＋1＝Ckn1xn－k(x3)k＝Cknx4k－n，当n＝4k时，展开式中存在常数项，A正确，B错误；当n＝4k－1时，展开式中存在x的一次项，D正确，C错误.4.(2020·全国Ⅰ卷)x＋y2x(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为()A.5B.10C.15D.20答案C解析法一∵x＋y2x(x＋y)5＝x＋y2x(x5＋5x4y＋10x3y2＋10x2y3＋5xy4＋y5)，∴x3y3的系数为10＋5＝15.法二当x＋y2x中取x时，x3y3的系数为C35，当x＋y2x中取y2x时，x3y3的系数为C15，∴x3y3的系数为C35＋C15＝10＋5＝15.5.(易错题)在2x2－1xn的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为________.答案1解析因为所有二项式系数的和是32，所以2n＝32，解得n＝5.在2x2－1x5中，令x＝1可得展开式中各项系数的和为(2－1)5＝1.6.(2021·浙江卷)已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝________；a2＋a3＋a4＝________.答案510解析(x－1)3展开式的通项Tr＋1＝Cr3x3－r·(－1)r，(x＋1)4展开式的通项Tk＋1＝Ck4x4－k，则a1＝C03＋C14＝1＋4＝5；a2＝C13(－1)1＋C24＝3；a3＝C23(－1)2＋C34＝7；a4＝C33(－1)3＋C44＝0，所以a2＋a3＋a4＝3＋7＋0＝10.考点一展开式中的通项问题角度1求二项展开式的特定项例1(1)(2020·全国Ⅲ卷)x2＋2x6的展开式中常数项是________(用数字作答).答案240解析x2＋2x6的展开式的通项为Tr＋1＝Cr6(x2)6－r·2xr＝Cr62rx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4，得常数项为C4624＝240.(2)3x－123x10的展开式中所有的有理项为________.答案454x2，－638，45256x－2解析二项展开式的通项公式为Tk＋1＝Ck10－12kx10－2k3.由题意10－2k3∈Z，且0≤k≤10，k∈N.令10－2k3＝r(r∈Z)，则10－2k＝3r，k＝5－32r.∵k∈N，∴r应为偶数，∴r可取2，0，－2，即k可取2，5，8，∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为454x2，－638，45256x－2.角度2两个二项式之积、三项展开式问题例2(1)1＋1x2(1＋x)6的展开式中x2的系数为()A.15B.20C.30D.35答案C解析因为(1＋x)6的通项为Ck6xk，所以1＋1x2(1＋x)6的展开式中含x2的项为1·C26x2和1x2·C46x4.因为C26＋C46＝2C26＝2×6×52×1＝30，所以1＋1x2(1＋x)6的展开式中x2的系数为30.(2)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60答案C解析法一(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C25(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x4·x＝C13x5.所以x5y2的系数为C25C13＝30.法二(x2＋x＋y)5表示5个x2＋x＋y之积.∴x5y2可从其中5个因式中，两个取因式中x2，剩余的3个因式中1个取x，其余因式取y，因此x5y2的系数为C25C13C22＝30.感悟提升(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可.(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解.(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解.训练1(1)(x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系数为()A.－3B.－2C.1D.4答案B解析(x－1)4的通项为Tk＋1＝Ck4x4－k(－1)k，(x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系数为C34(－1)3＋C24(－1)2＋C14(－1)＝－2.(2)2x＋1x－35的展开式中常数项是________.答案－1683解析2x＋1x－35表示五个2x＋1x－3相乘，则展开式中的常数项由三种情况产生，第一种是从五个2x＋1x－3中分别抽取2x，2x，1x，1x，－3，则此时的常数项为C25·C23·22·(－3)＝－360；第二种情况是从五个2x＋1x－3中都抽取－3，则此时的常数项为(－3)5＝－243；第三种情况是从五个2x＋1x－3中分别抽取2x，1x，－3，－3，－3，则此时的常数项为C15·C14·21·(－3)3＝－1080，则展开式中常数项为－360－243－1080＝－1683.考点二二项式系数的和与各项系数的和问题角度1二项式系数和与系数和例3(1)(2022·广州模拟)若二项式x2－2xn的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为()A.－1B.1C.27D.－27答案A解析依题意得2n＝8，解得n＝3.取x＝1得，该二项展开式每一项的系数之和为(1－2)3＝－1.(2)(多选)(2022·济南调研)若(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则下列结论中正确的是()A.a0＝1B.a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2C.a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35D.a0－|a1|＋a2－|a3|＋a4－|a5|＝－1答案ACD解析令x＝0，则a0＝15＝1，故A正确；令x＝1得－1＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1－a0＝－2，故B错误；令x＝－1得35＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，故C正确；因为二项式(1－2x)5的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝Cr5(－2)rxr，所以当r为奇数时，Cr5(－2)r为负数，即ai＜0(其中i为奇数)，所以a0－|a1|＋a2－|a3|＋a4－|a5|＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1，故D正确.感悟提升1.“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法.2.若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f（1）＋f（－1）2，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f（1）－f（－1）2.角度2展开式的逆用例4已知－C1100(2－x)＋C2100(2－x)2－C3100(2－x)3＋…＋C100100(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，则a1＋a2＋a3＋…＋a99＝()A.－1B.－2C.299－1D.299－12答案B解析记f(x)＝1－C1100(2－x)＋C2100(2－x)2－C3100(2－x)3＋…＋C100100(2－x)100－1＝[1－(2－x)]100－1＝(x－1)100－1，即(x－1)100－1＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100.令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝－1.令x＝0，得a0＝0.又易知a100＝1，所以a1＋a2＋a3＋…＋a99＝－2.感悟提升根据所给式子的特点结合二项式展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解.训练2(1)(2022·山西八校联考)已知(1＋x)n的展开式中第5项和第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A.29B.210C.211D.212答案A解析由题意知C4n＝C6n，由组合数性质得n＝10，则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.(2)(多选)(2021·武汉模拟)若(1－2x)2021＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2021x2021(x∈R)，则()A.a0＝1B.a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝32021＋12C.a0＋a2＋a4＋…＋a2020＝32021－12D.a12＋a222＋a323＋…＋a202122021＝－1答案ACD解析由题意，当x＝0时，a0＝12021＝1；当x＝1时，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2021＝(－1)2021＝－1，当x＝－1时，a0－a1＋a2－a3＋…－a2021＝32021，所以a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝－32021＋12，a0＋a2＋a4＋…＋a2020＝32021－12；a12＋a222＋…＋a202122021＝a1×12＋a2×122＋…＋a2021×122021，当x＝12时，0＝a0＋a1×12＋a2×122＋…