考点09二分法与求方程近似解（5种题型与基础、易错专练）（解析版）

考点09二分法与求方程近似解（5种题型与基础、易错专练）一．选择题（共1小题）1．（2020•天津）已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k∈R）恰有4个零点，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣）∪（0，2）C．（﹣∞，0）∪（0，2）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）【分析】问题转化为f（x）＝|kx2﹣2x|有四个根，⇒y＝f（x）与y＝h（x）＝|kx2﹣2x|有四个交点，再分三种情况当k＝0时，当k＜0时，当k＞0时，讨论两个函数是否能有4个交点，进而得出k的取值范围．【解答】解：若函数g（x）＝f（x）﹣|kx2﹣2x|（k∈R）恰有4个零点，则f（x）＝|kx2﹣2x|有四个根，即y＝f（x）与y＝h（x）＝|kx2﹣2x|有四个交点，当k＝0时，y＝f（x）与y＝|﹣2x|＝2|x|图象如下：两图象只有两个交点，不符合题意，当k＜0时，y＝|kx2﹣2x|与x轴交于两点x1＝0，x2＝（x2＜x1）图象如图所示，一、2022真题抢先刷，考向提前知当x＝时，函数y＝|kx2﹣2x|的函数值为﹣，当x＝时，函数y＝﹣x的函数值为﹣，所以两图象有4个交点，符合题意，当k＞0时，y＝|kx2﹣2x|与x轴交于两点x1＝0，x2＝（x2＞x1）在[0，）内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，只需y＝x3与y＝kx2﹣2x在（，+∞）还有两个交点，即可，即x3＝kx2﹣2x在（，+∞）还有两个根，即k＝x+在（，+∞）还有两个根，函数y＝x+≥2，（当且仅当，即x＝时，取等号），所以，且k＞2，所以k＞2，综上所述，k的取值范围为（﹣∞，0）∪（2，+∞）．故选：D．【点评】本题考查函数的零点，参数的取值范围，关键利用分类讨论思想，分析函数的交点，属于中档题．二．填空题（共2小题）2．（2020•上海）设a∈R，若存在定义域为R的函数f（x）同时满足下列两个条件：（1）对任意的x0∈R，f（x0）的值为x0或x02；（2）关于x的方程f（x）＝a无实数解，则a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）．【分析】根据条件（1）可知x0＝0或1，进而结合条件（2）可得a的范围【解答】解：根据条件（1）可得f（0）＝0或f（1）＝1，又因为关于x的方程f（x）＝a无实数解，所以a≠0或1，故a∈（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞），故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞）．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，属于基础题．3．（2022•天津）设a∈R，对任意实数x，记f（x）＝min{|x|﹣2，x2﹣ax+3a﹣5}．若f（x）至少有3个零点，则实数a的取值范围为[10，+∞）．【分析】设g（x）＝x2﹣ax+3a﹣5，h（x）＝|x|﹣2，分析可知函数g（x）至少有一个零点，可得出Δ≥0，求出a的取值范围，然后对实数a的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数a的不等式，综合可求得实数a的取值范围．【解答】解：设g（x）＝x2﹣ax+3a﹣5，h（x）＝|x|﹣2，由|x|﹣2＝0可得x＝±2．要使得函数f（x）至少有3个零点，则函数g（x）至少有一个零点，则Δ＝a2﹣4（3a﹣5）≥0，解得a≤2或a≥10．①当a＝2时，g（x）＝x2﹣2x+1，作出函数g（x）、h（x）的图象如图所示：此时函数f（x）只有两个零点，不满足题意；②当a＜2时，设函数g（x）的两个零点分别为x1、x2（x1＜x2），要使得函数f（x）至少有3个零点，则x2≤﹣2，所以，，解得a∈∅；③当a＝10时，g（x）＝x2﹣10x+25，作出函数g（x）、h（x）的图象如图所示：由图可知，函数f（x）的零点个数为3，满足题意；④当a＞10时，设函数g（x）的两个零点分别为x3、x4（x3＜x4），要使得函数f（x）至少有3个零点，则x3≥2，可得，解得a＞4，此时a＞10．综上所述，实数a的取值范围是[10，+∞）．故答案为：[10，+∞）．【点评】本题考查了函数的零点、转化思想、分类讨论思想及数形结合思想，属于中难题．三．解答题（共2小题）4．（2022•上海）已知函数f（x）的定义域为R，现有两种对f（x）变换的操作：φ变换：f（x）﹣f（x﹣t）；ω变换：|f（x+t）﹣f（x）|，其中t为大于0的常数．（1）设f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换后的结果，解方程：g（x）＝2；（2）设f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，解不等式：f（x）≥h（x）；（3）设f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x）；f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x）．若h1（x）＝h2（x）恒成立，证明：函数f（x）在R上单调递增．【分析】（1）推导出g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1）＝2x﹣2x﹣1＝2x﹣1＝2，由此能求出x．（2）推导出x2≥|（x+t）2﹣x2|＝|2tx+t2|，当x≤﹣时，f（x）≥h（x）恒成立；当x＞﹣时，2tx+t2≤x2，由此能求出f（x）≥h（x）的解集．（3）先求出u（x）＝f（x）﹣f（x﹣t），从而h1（x）＝|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|，先求出v（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|，从而h2（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，由h1（x）＝h2（x），得|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，再由f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，能证明函数f（x）在R上单调递增．【解答】解：（1）∵f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换后的结果，g（x）＝2，∴g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1）＝2x﹣2x﹣1＝2x﹣1＝2，解得x＝2．（2）∵f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，f（x）≥h（x），∴x2≥|（x+t）2﹣x2|＝|2tx+t2|，当x≤﹣时，f（x）≥h（x）恒成立；当x＞﹣时，2tx+t2≤x2，解得x≥（1+）t，或x≤（1﹣）t，综上，不等式：f（x）≥h（x）的解集为（﹣∞，（1﹣）t]∪[（1+）t，+∞）．（3）证明：f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x），∴u（x）＝f（x）﹣f（x﹣t），h1（x）＝|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|，f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x），∴v（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|，h2（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，∵h1（x）＝h2（x），f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，∴|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，∴对t＞0恒成立，∴函数f（x）在R上单调递增．【点评】本题考查方程、不等式的解的求法，考查函数是增函数的证明，考查函数变换的性质、抽象函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5．（2022•乙卷）已知函数f（x）＝ln（1+x）+axe﹣x．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）若f（x）在区间（﹣1，0），（0，+∞）各恰有一个零点，求a的取值范围．【分析】（1）将a＝1代入，对函数f（x）求导，求出f′（0）及f（0），由点斜式得答案；（2）对函数f（x）求导，分a≥0及a＜0讨论，当a≥0时容易判断不合题意，当a＜0时，设g（x）＝ex+a（1﹣x2），利用导数判断g（x）的性质，进而判断得到函数f（x）的单调性并结合零点存在性定理即可得解．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝ln（1+x）+xe﹣x，则，∴f′（0）＝1+1＝2，又f（0）＝0，∴所求切线方程为y＝2x；（2）＝，若a≥0，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，则f（x）＜f（0）＝0，不合题意；设g（x）＝ex+a（1﹣x2），g′（x）＝ex﹣2ax，当﹣1≤a＜0时，在（0，+∞）上，g（x）＞e0+a≥0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，无零点，不合题意；当a＜﹣1时，当x＞0时，g′（x）＞0，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（0）＝1+a＜0，g（1）＝e＞0，所以存在唯一的x0∈（0，1），使得g（x0）＝0，且f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，f（x0）＜f（0）＝0，先证当x＞0时，，设，则，易知当0＜x＜2时，h′（x）＜0，h（x）单减，当x＞2时，h′（x）＞0，h（x）单增，所以，则当x＞0时，，所以，再证，设，则，易知当0＜x＜1时，m′（x）＜0，m（x）单减，当x＞1时，m′（x）＞0，m（x）单增，所以m（x）≥m（1）＝0，即，则由a＜﹣1，可得，则当x＞1+a2时，＞0，此时f（x）在（0，+∞）上恰有一个零点，当﹣1＜x＜0时，g′（x）在（﹣1，0）上单调递增，，故存在唯一的x1∈（﹣1，0），使得g′（x1）＝0，且g（x）在（﹣1，x1）上单调递减，在（x1，0）上单调递增，，故存在唯一的x2∈（﹣1，x1），使得g（x2）＝0，所以f（x）在（﹣1，x2）上单调递增，在（x2，0）上单调递减，x→﹣1时，f（x）→﹣∞，f（0）＝0，此时f（x）在（﹣1，0）上恰有一个零点，综上，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）．【点评】本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，零点问题，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于难题．一．函数的零点二、考点清单一般地，对于函数y＝f（x）（x∈R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f（x）（x∈D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．【解法——二分法】①确定区间[a，b]，验证f（a）*f（b）＜0，给定精确度；②求区间（a，b）的中点x1；③计算f（x1）；④若f（x1）＝0，则x1就是函数的零点；⑤若f（a）f（x1）＜0，则令b＝x1（此时零点x0∈（a，x1））；⑥若f（x1）f（b）＜0，则令a＝x1．（此时零点x0∈（x1，b）⑦判断是否满足条件，否则重复（2）～（4）【总结】零点其实并没有多高深，简单的说，就是某个函数的零点其实就是这个函数与x轴的交点的横坐标，另外如果在（a，b）连续的函数满足f（a）•f（b）＜0，则（a，b）至少有一个零点．这个考点属于了解性的，知道它的概念就行了．二．函数零点的判定定理1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；②函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．三．函数的零点与方程根的关系函数的零点