考点12复数（6种题型5个易错考点）（解析版）

考点12复数（6种题型5个易错考点）考题考点考向2022新高考1，第2题复数的运算复数的加法运算2022新高考2，第2题复数的运算复数的乘法运算2021新高考1，第2题复数的运算复数的乘法运算2021全国甲，理3文3复数的运算复数的乘除运算2021全国乙理，第1题复数的运算复数加，减运算2021全国乙文，第2题复数的运算复数的乘法运算2020新高考2，第2题复数的运算复数的乘法运算2020新高考1，第2题复数的运算复数的除法运算本章是高考的热点，一般出现在选择题前两题中，比较简单，分值为5分。高考命题主要集中于：（1）复数的相关概念，如虚数、纯虚数、共轭复数等；（2）复数的几何意义及复数的模的最值问题；（3）复数的四则运算，常考察乘、除运算；（4）虚数单位i的性质。备考时要掌握常见的知识与解题方法，加强对复数的概念的理解，提高运算求解能力。一．复数的代数表示法及其几何意义（共1小题）1．（2023•新高考Ⅱ）在复平面内，（1+3i）（3﹣i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：（1+3i）（3﹣i）＝3﹣i+9i+3＝6+8i，则在复平面内，（1+3i）（3﹣i）对应的点的坐标为（6，8），位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．二．复数的运算（共6小题）2．（2023•甲卷）若复数（a+i）（1﹣ai）＝2，a∈R，则a＝（）A．﹣1B．0C．1D．2一、真题多维细目表二、命题规律与备考策略三、2023真题抢先刷，考向提前知【分析】根据复数的运算法则和复数相等的定义，列方程组求出a的值．【解答】解：因为复数（a+i）（1﹣ai）＝2，所以2a+（1﹣a2）i＝2，即，解得a＝1．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则和复数相等的应用问题，是基础题．3．（2023•新高考Ⅰ）已知z＝，则z﹣＝（）A．﹣iB．iC．0D．1【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．【解答】解：z＝＝＝，则，故＝﹣i．故选：A．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．4．（2023•甲卷）＝（）A．﹣1B．1C．1﹣iD．1+i【分析】直接利用复数的运算法则化简求解即可．【解答】解：＝＝1﹣i．故选：C．【点评】本题考查复数的运算法则的应用，是基础题．5．（2023•乙卷）设z＝，则＝（）A．1﹣2iB．1+2iC．2﹣iD．2+i【分析】先对z进行化简，再根据共轭复数概念写出即可．【解答】解：∵i2＝﹣1，i5＝i，∴z＝＝＝1﹣2i，∴＝1+2i．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算及共轭复数的概念，属简单题．6．（2023•上海）已知复数z＝1﹣i（i为虚数单位），则|1+iz|＝．【分析】根据复数的基本运算，即可求解．【解答】解：∵z＝1﹣i，∴|1+iz|＝|1+i（1﹣i）|＝|2+i|＝．故答案为：．【点评】本题考查复数的基本运算，属基础题．7．（2023•天津）已知i是虚数单位，化简的结果为4+i．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求解即可．【解答】解：＝＝＝4+i．故答案为：4+i．【点评】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，属于基础题．三．共轭复数（共3小题）8．（2023•北京）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（﹣1，），则z的共轭复数＝（）A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i【分析】根据复数的几何意义、共轭复数的定义即可得出结论．【解答】解：∵在复平面内，复数z对应的点的坐标是（﹣1，），∴z＝﹣1+i，则z的共轭复数＝﹣1﹣i，故选：D．【点评】本题考查了复数的几何意义、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．（2023•全国）已知（2+i）＝5+5i，则|z|＝（）A．B．C．5D．5【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数即复数的模的概念得答案．【解答】解：由（2+i）＝5+5i，得＝＝＝＝3+i，则z＝3﹣i，|z|＝＝．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10．（2023•上海）已知z1，z2∈C且z1＝i（i为虚数单位），满足|z1﹣1|＝1，则|z1﹣z2|的取值范围为[0，]．【分析】引入复数的三角形式，将问题转化为三角函数的值域问题求解．【解答】解：设z1﹣1＝cosθ+isinθ，则z1＝1+cosθ+isinθ，因为z1＝i•，所以z2＝sinθ+i（cosθ+1），所以|z1﹣z2|＝＝＝，显然当＝时，原式取最小值0，当＝﹣1时，原式取最大值2，故|z1﹣z2|的取值范围为[0，]．故答案为：[0，]．【点评】本题考查复数的三角形式以及三角恒等变换，同时考查了复数的模长公式，属于中档题．四．复数的模（共1小题）11．（2023•乙卷）|2+i2+2i3|＝（）A．1B．2C．D．5【分析】直接利用复数的模的运算求出结果．【解答】解：由于|2+i2+2i3|＝|1﹣2i|＝．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：复数的运算，复数的模，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．1．复数的有关概念(1)复数的定义形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b．(2)复数的分类复数z＝a＋bi(a，b∈R)实数（b＝0），虚数（b≠0）纯虚数（a＝0，b≠0），非纯虚数（a≠0，b≠0）.(3)复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)复数的模向量OZ→的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝a2＋b2(r≥0，a，b∈R)．2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量OZ→．3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝（a＋bi）（c－di）（c＋di）（c－di）＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．常用结论1．三个易误点四、考点清单(1)两个虚数不能比较大小．(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．(3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z21＋z22＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z20在复数范围内有可能成立．2．复数代数运算中常用的三个结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．(1)(1±i)2＝±2i；1＋i1－i＝i；1－i1＋i＝－i.(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.一．虚数单位i、复数（共5小题）1．（2023•阿拉善盟一模）已知复数z满足（z﹣2）i＝1+i，那么复数z的虚部为（）A．1B．﹣1C．iD．﹣i【分析】利用复数Z的代数形式，根据复数根据等于实部，乘除运算化简复数为a+bi即可得到结果．【解答】解：复数z满足（z﹣2）i＝1+i，z＝＝﹣i（1+i）+2＝﹣i+3；故选：B．【点评】本题是基础题，考查复数的基本概念，复数的乘除运算，考查计算能力．2．（2023•芦溪县校级一模）设复数＝a+bi（a，b∈R）则a+b＝（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【分析】利用两个复数相等的充要条件，先利用复数的除法化简，得到a、b的值，从而可求a+b．【解答】解：，∴，∴a+b＝1，故选：A．【点评】本题考查两个复数相等的充要条件，考查复数的概念，属于基础题．3．（2023•琼山区校级一模）设a，b为实数，若复数，则（）A．B．a＝3，b＝1C．D．a＝1，b＝3【分析】先化简，然后用复数相等的条件，列方程组求解．【解答】解：由可得1+2i＝（a﹣b）+（a+b）i，所以，解得，，五、题型方法故选：A．【点评】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查计算能力．是基础题．4．（2023•绵阳模拟）复数z＝2﹣i（i是虚数单位）的虚部为（）A．﹣iB．iC．﹣1D．2【分析】直接利用复数的基本概念得答案．【解答】解：复数z＝2﹣i的虚部为﹣1．故选：C．【点评】本题考查复数的基本概念，是基础的概念题．5．（2023•南关区校级模拟）已知a，b∈R，a+3i＝（b+i）i（i为虚数单位），则（）A．a＝1，b＝﹣3B．a＝﹣1，b＝3C．a＝﹣1，b＝﹣3D．a＝1，b＝3【分析】利用复数的乘法运算化简，再利用复数的相等求解．【解答】解：∵a+3i＝（b+i）i＝﹣1+bi，a，b∈R，∴a＝﹣1，b＝3，故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的相等，是基础题．二．复数的代数表示法及其几何意义（共15小题）6．（2023•长宁区二模）设复平面上表示2﹣i和3+4i的点分别为点A和点B，则表示向量的复数在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据条件可写出表示向量的复数，然后即可得出该复数所位于的象限．【解答】解：根据题意知，表示向量的复数为1+5i，∴在复平面上所对应的点为（1，5）位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数和复平面内的点的对应关系，复数和向量的对应关系，考查了计算能力，属于基础题．7．（2023•秀英区校级三模）复数z＝在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先利用复数的运算法则求出复数z，然后得到对应的点的坐标，从而可判断点所在的象限．【解答】解：复数z＝＝复平面内对应的点为，故复数z＝在复平面内对应的点位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算和复数的几何意义，属于基础题．8．（2023•广西模拟）在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标，看出所在的象限．【解答】解：∵复数z＝i（2﹣i）＝﹣i2+2i＝1+2i∴复数对应的点的坐标是（1，2）这个点在第一象限，故选：A．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，本题解题的关键是写成标准形式，才能看出实部和虚部的值．9．（2023•天津模拟）已知复数z＝（i是虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于第一象限．【分析】先化简复数z，进而判断其在复平面内对应的点所在的象限．【解答】解：，其在复平面内对应的点为（2，1），位于第一象限．故答案为：一．【点评】本题考查复数的运算以及复数的几何意义，属于基础题．10．（2023•河南模拟）已知a为实数，若复数z＝a2﹣3a﹣4+（a+1）i为纯虚数，则复数a﹣ai在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用纯虚数的定义求出a，即可判断作答．【解答】解：因为复数z＝a2﹣3a﹣4+（a+1）i为纯虚数，则，解得a＝4，所以复数4﹣4i在复平面内对应的点（4，﹣4）位于第四象限．故选：D．【点评】本题主要考查纯虚数的定义，属于基础