考点15圆锥曲线（15种题型9个易错考点）(解析版）

考点15圆锥曲线（15种题型9个易错考点）圆锥曲线综合是高考必考的解答题，难度较大．考查圆锥曲线标准方程的求解，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查定值、定直线、面积最值、存在性与恒成立等问题．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想．1．（2023•新高考Ⅰ•第5题）设椭圆C1：𝑥2𝑎2+y2＝1（a＞1），C2：𝑥24+y2＝1的离心率分别为e1，e2．若e2=√3e1，则a＝（）A．2√33B．√2C．√3D．√6【答案】A解：由椭圆C2：𝑥24+y2＝1可得a2＝2，b2＝1，∴c2=√4−1=√3，∴椭圆C2的离心率为e2=√32，∵e2=√3e1，∴e1=12，∴𝑐1𝑎1=12，∴𝑎12=4𝑐12=4（𝑎12−𝑏12）＝4（𝑎12−1），考题考点考向2022新高考直线与圆锥曲线的位置关系抛物线的准线2022新高考直线与圆锥曲线的位置关系求直线斜率，三角形面积2022新高考直线与圆锥曲线的位置关系求直线斜率2022新高考圆锥曲线的综合问题求双曲线的方程2021新高考椭圆的定义和标准方程椭圆的定义，椭圆中的线段之积的最大值2021新高考抛物线的定义和标准方程抛物线的标准方程2021新高考双曲线的几何性质双曲线的渐进线方程2021新高考圆锥曲线的综合问题椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，三点共线的证明一、真题多维细目表二、命题规律与备考策略三、2023真题抢先刷，考向提前知∴a=2√33或a=−2√33（舍去）．2．（2023•新高考Ⅱ•第5题）已知椭圆C：𝑥23+𝑦2=1的左焦点和右焦点分别为F1和F2，直线y＝x+m与C交于点A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的两倍，则m＝（）A．23B．√23C．−√23D．−23【答案】C解：记直线y＝x+m与x轴交于M（﹣m，0），椭圆C：𝑥23+𝑦2=1的左，右焦点分别为F1（−√2，0），F2（√2，0），由△F1AB面积是△F2AB的2倍，可得|F1M|＝2|F2M|，∴|−√2−xM|＝2|√2−xM|，解得xM=√23或xM＝3√2，∴﹣m=√23或﹣m＝3√2，∴m=−√23或m＝﹣3√2，联立{𝑥23+𝑦2=1𝑦=𝑥+𝑚可得，4x2+6mx+3m2﹣3＝0，∵直线y＝x+m与C相交，所以Δ＞0，解得m2＜4，∴m＝﹣3√2不符合题意，故m=−√23．3．（多选）（2023•新高考Ⅱ•第10题）设O为坐标原点，直线y=−√3（x﹣1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（）A．p＝2B．|MN|=83C．以MN为直径的圆与l相切D．△OMN为等腰三角形【答案】AC解：直线y=−√3（x﹣1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，可得𝑝2=1，所以p＝2，所以A正确；抛物线方程为：y2＝4x，与C交于M，N两点，直线方程代入抛物线方程可得：3x2﹣10x+3＝0，xM+xN=103，所以|MN|＝xM+xN+p=163，所以B不正确；M，N的中点的横坐标：53，中点到抛物线的准线的距离为：1+53=83，所以以MN为直径的圆与l相切，所以C正确；3x2﹣10x+3＝0，不妨可得xM＝3，xN=13，yM＝﹣2√3，xN=2√33，|OM|=√9+12=√21，|ON|=√19+129=√133，|MN|=163，所以△OMN不是等腰三角形，所以D不正确．4．（2023•新高考Ⅰ•第16题）已知双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．点A在C上，点B在y轴上，𝐹1𝐴→⊥𝐹1𝐵→，𝐹2𝐴→=−23𝐹2𝐵→，则C的离心率为．【答案】3√55解：（法一）如图，设F1（﹣c，0），F2（c，0），B（0，n），设A（x，y），则𝐹2𝐴→=(𝑥−𝑐，𝑦)，𝐹2𝐵→=(−𝑐，𝑛)，又𝐹2𝐴→=−23𝐹2𝐵→，则{𝑥−𝑐=23𝑐𝑦=−23𝑛，可得𝐴(53𝑐，−23𝑛)，又𝐹1𝐴→⊥𝐹1𝐵→，且𝐹1𝐴→=(83𝑐，−23𝑛)，𝐹1𝐵→=(𝑐，𝑛)，则𝐹1𝐴→⋅𝐹1𝐵→=83𝑐2−23𝑛2=0，化简得n2＝4c2．又点A在C上，则259𝑐2𝑎2−49𝑛2𝑏2=1，整理可得25𝑐29𝑎2−4𝑛29𝑏2=1，代n2＝4c2，可得25𝑐2𝑎2−16𝑐2𝑏2=9，即25𝑒2−16𝑒2𝑒2−1=9，解得𝑒2=95或15（舍去），故𝑒=3√55．（法二）由𝐹2𝐴→=−23𝐹2𝐵→，得|𝐹2𝐴→||𝐹2𝐵→|=23，设|𝐹2𝐴→|=2𝑡，|𝐹2𝐵→|=3𝑡，由对称性可得|𝐹1𝐵→|=3𝑡，则|𝐴𝐹1→|=2𝑡+2𝑎，|𝐴𝐵→|=5𝑡，设∠F1AF2＝θ，则𝑠𝑖𝑛𝜃=3𝑡5𝑡=35，所以𝑐𝑜𝑠𝜃=45=2𝑡+2𝑎5𝑡，解得t＝a，所以|𝐴𝐹1→|=2𝑡+2𝑎=4𝑎，|𝐴𝐹2→|=2𝑎，在△AF1F2中，由余弦定理可得𝑐𝑜𝑠𝜃=16𝑎2+4𝑎2−4𝑐216𝑎2=45，即5c2＝9a2，则𝑒=3√55．5．（2023•新高考Ⅱ•第21题）已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为（﹣2√5，0），离心率为√5．（1）求C的方程；（2）记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点（﹣4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于P，证明P在定直线上．解：（1）双曲线C中心为原点，左焦点为（﹣2√5，0），离心率为√5，则{𝑐2=𝑎2+𝑏2𝑐=2√5𝑒=𝑐𝑎=√5，解得{𝑎=2𝑏=4，故双曲线C的方程为𝑥24−𝑦216=1；（2）证明：过点（﹣4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，则可设直线MN的方程为x＝my﹣4，M（x1，y1），N（x2，y2），记C的左，右顶点分别为A1，A2，则A1（﹣2，0），A2（2，0），联立{𝑥=𝑚𝑦−44𝑥2−𝑦2=16，化简整理可得，（4m2﹣1）y2﹣32my+48＝0，故Δ＝（﹣32m）2﹣4×48×（4m2﹣1）＝264m2+192＞0且4m2﹣1≠0，𝑦1+𝑦2=32𝑚4𝑚2−1，𝑦1𝑦2=484𝑚2−1，直线MA1的方程为𝑦=𝑦1𝑥1+2(𝑥+2)，直线NA2方程y=𝑦2𝑥2−2(𝑥−2)，故𝑥+2𝑥−2=𝑦2(𝑥1+2)𝑦1(𝑥2−2)=𝑦2(𝑚𝑦1−2)𝑦1(𝑚𝑦2−6)=𝑚𝑦1𝑦2−2(𝑦1+𝑦2)+2𝑦1𝑚𝑦1𝑦2−6𝑦1=𝑚⋅484𝑚2−1−2⋅32𝑚4𝑚2−1+2𝑦1𝑚⋅484𝑚2−1−6𝑦1=−16𝑚4𝑚2−1+2𝑦148𝑚4𝑚2−1−6𝑦1=−13，故𝑥+2𝑥−2=−13，解得x＝﹣1，所以xP＝﹣1，故点P在定直线x＝﹣1上运动．6．（2023•新高考Ⅰ•第22题）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点（0，）的距离，记动点P的轨迹为W．（1）求W的方程；（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3．解：（1）设点P点坐标为（x，y），由题意得|y|＝，两边平方可得：y2＝x2+y2﹣y+，化简得：y＝x2+，符合题意．故W的方程为y＝x2+．（2）解法一：不妨设A，B，C三点在W上，且AB⊥BC．设A（a，a2），B（b，），C（c，），则，．由题意，＝0，即（b﹣a）（c﹣b）+（b2﹣a2）（c2﹣b2）＝0，显然（b﹣a）（c﹣b）≠0，于是1+（b+a）（c+b）＝0．此时，|b+a|．|c+b|＝1．于是min{|b+a|，|c+b|}≤1．不妨设|c+b|≤1，则a＝﹣b﹣，则|AB|+|BC|＝|b﹣a|+|c﹣b|＝|b﹣a|+|c﹣b|≥|b﹣a|+|c﹣b|≥|c﹣a|＝|b+c+|．设x＝|b+c|，则f（x）＝（x+），即f（x）＝，又f′（x）＝＝．显然，x＝为最小值点．故f（x）≥f（）＝，故矩形ABCD的周长为2（|AB|+|BC|）≥2f（x）≥3．注意这里有两个取等条件，一个是|b+c|＝1，另一个是|b+c|＝，这显然是无法同时取到的，所以等号不成立，命题得证．解法二：不妨设A，B，D在抛物线W上，C不在抛物线W上，欲证命题为|AB|+|AD|＞．由图象的平移可知，将抛物线W看作y＝x2不影响问题的证明．设A（a，a2）（a≥0），平移坐标系使A为坐标原点，则新抛物线方程为y′＝x′2+2ax′，写为极坐标方程，即ρsinθ＝ρ2cos2θ+2aρcosθ，即ρ＝．欲证明的结论为||+||＞，也即|﹣|+|+|＞．不妨设||≥||，将不等式左边看成关于a的函数，根据绝对值函数的性质，其最小值当即a＝时取得，因此欲证不等式为||＞，即||＞，根据均值不等式，有|cosθsin2θ|＝.≤.＝，由题意，等号不成立，故原命题得证．1．圆锥曲线的定义（1）椭圆定义：12||||2PFPFa．（2）双曲线定义：12|||-|||2PFPFa．（3）抛物线定义：|𝑃𝐹|=𝑑．2．圆锥曲线的标准方程及几何性质（1）椭圆的标准方程与几何性质标准方程𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎𝑏0)𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(𝑎𝑏0)图形几何性质范围−𝑎≤𝑥≤𝑎,−𝑏≤𝑦≤𝑏−𝑏≤𝑥≤𝑏,−𝑎≤𝑦≤𝑎对称性对称轴：𝑥轴、𝑦轴.对称中心：原点.焦点𝐹1(−𝑐,0),𝐹2(𝑐,0).𝐹1(0,−𝑐),𝐹2(0,𝑐).顶点𝐴1(−𝑎,0)，𝐴2(𝑎,0)，𝐵1(0,−𝑏),𝐵2(0,𝑏).𝐴1(0,−𝑎),𝐴2(0,𝑎)，𝐵1(−𝑏,0),𝐵2(𝑏,0).轴线段𝐴1𝐴2，𝐵1𝐵2分别是椭圆的长轴和短轴，长轴长为2𝑎，短轴长为2𝑏.焦距|𝐹1𝐹2|=2𝑐.离心率𝑒=𝑐𝑎=√1−𝑏2𝑎2∈(0,1).𝑎,𝑏,𝑐的关系𝑐2=𝑎2−𝑏2.（2）双曲线的标准方程与几何性质标准方程𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1（a＞0,b＞0）𝑦2𝑎2−𝑥2𝑏2=1（a＞0,b＞0）四、考点清单图形性质焦点F1（﹣c,0），F2（c,0）F1（0,﹣c），F2（0,c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称关于x轴，y轴和原点对称顶点（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）轴实轴长2a，虚轴长2b离心率e=𝑐𝑎（e＞1）准线x＝±𝑎2𝑐y＝±𝑎2𝑐渐近线𝑥𝑎±𝑦𝑏=0𝑥𝑏±𝑦𝑎=0（3）抛物线的标准方程与几何性质标准方程𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝0)𝑦2=−2𝑝𝑥(𝑝0)𝑥2=2𝑝𝑦(𝑝0)𝑥2=−2𝑝𝑦(𝑝0)图形几何性质对称轴𝑥轴𝑦轴顶点𝑂(0,0)焦点𝐹(𝑝2,0)𝐹(−𝑝2,0)𝐹(0,𝑝2)𝐹(0,−𝑝2)准线方程𝑥=−𝑝2𝑥=𝑝2𝑦=−𝑝2𝑦=𝑝2范围𝑥≥0,𝑦∈𝐑𝑥≤0,𝑦∈𝐑𝑦≥0,𝑥∈𝐑𝑦≤0,𝑥∈𝐑离心率𝑒=1焦半径（𝑃(𝑥0,𝑦0)为抛物线上一点）𝑝2+𝑥0𝑝2−𝑥0𝑝2+𝑦0𝑝2−𝑦03.圆锥曲线中最值与范围的求解方法几何法若题目的条件和结论明显能体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决.代数法若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.4.求解直线或曲线过定点问题的基本思路（1）把直线或曲线方程中的变量𝑥,𝑦当作常数看待,把方程一端化为零，既然是过定点