综合训练09空间向量与立体几何（13种题型60题专练）（解析版）

综合训练09空间向量与立体几何（13种题型60题专练）一．空间中的点的坐标（共1小题）1．（2023•东城区校级模拟）在空间直角坐标系O﹣xyz中．正四面体P﹣ABC的顶点A，B分别在x轴，y轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则|OP|的取值范围是（）A．[﹣1，+1]B．[1，3]C．[﹣1，2]D．[1，+1]【分析】根据题意画出图形，结合图形，固定正四面体P﹣ABC的位置，则原点O在以AB为直径的球面上运动，原点O到点P的最近距离等于PM减去球的半径，最大距离是PM加上球的半径．【解答】解：如图所示，若固定正四面体P﹣ABC的位置，则原点O在以AB为直径的球面上运动，设AB的中点为M，则PM＝＝；所以原点O到点P的最近距离等于PM减去球M的半径，最大距离是PM加上球M的半径；所以﹣1≤|OP|≤+1，即|OP|的取值范围是[﹣1，+1]．故选：A．【点评】本题主要考查了点到直线以及点到平面的距离与应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题，是综合题．二．空间向量及其线性运算（共2小题）2．（2023•湖南模拟）如图，M在四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，且，设，，，则下列向量与相等的向量是（）A．B．C．D．【分析】利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可．【解答】解：∵M在四面体OABC的棱BC的中点，，∴＝﹣＝﹣＝×（+）﹣＝+﹣＝﹣++，故选：A．【点评】本题考查空间向量的线性运算，空间向量基本定理，属于基础题．3．（2023•鼓楼区校级模拟）在三棱锥P﹣ABC中，点O为△ABC的重心，点D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC的中点，若，，，则＝（）A．B．C．D．【分析】根据空间向量的线性运算，结合重心的性质即可求解．【解答】解：取BC中点为M，如图所示：则，，相加可得，所以＝．故选：D．【点评】本题主要考查空间向量及其运算，考查运算求解能力，属于基础题．三．共线向量与共面向量（共1小题）（多选）4．（2023•蕉城区校级模拟）已知空间单位向量，，两两夹角均为60°，，，则下列说法中正确的是（）A．P、A、B、C四点可以共面B．C．D．【分析】根据向量共面即可判断点共面，进而可判断A，根据数量积的运算律即可求解B，根据模长的计算公式即可判断C，根据夹角公式即可求解D．【解答】解：对于A：单位向量，，两两夹角均为60°，所以，假设P、A、B、C四点可以共面，则共面，所以存在x，y，使得，分别用，，与数量积，则，由于该方程组无解，所以不存在x，y，使得共面，故P、A、B、C四点不共面，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，由得，由得，所以，则＝＝，故C正确；对于D，，所以，故，故D错误．故选：BC．【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的数量积，向量的模，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．四．空间向量的数量积运算（共2小题）5．（2023•海安市校级一模）设向量＝（3，5，2），＝（﹣2，1，3），当数m与n满足下列哪种关系时，向量m+n与x轴垂直（）A．3m＝2nB．3m＝nC．m＝2nD．m＝n【分析】根据向量的坐标运算得到关于m，n的关系即可．【解答】解：∵＝（3，5，2），＝（﹣2，1，3），∴m+n＝（3m﹣2n，5m+n，2m+3n），取x轴的方向向量为＝（1，0，0），若向量m+n与x轴垂直，则3m﹣2n＝0，解得：3m＝2n，故选：A．【点评】本题考查了向量的坐标运算，考查向量的垂直关系，是基础题．6．（2023•滁州模拟）已知向量，，若，则x＝（）A．﹣3B．3C．﹣1D．6【分析】根据已知条件，结合空间向量的数量积运算，即可求解．【解答】解：向量，，则＝（2，2，2x）﹣（﹣2，2，3）＝（4，0，2x﹣3），，则﹣8+3（2x﹣3）＝1，解得x＝3．故选：B．【点评】本题主要考查空间向量的数量积运算，属于基础题．五．空间向量的夹角与距离求解公式（共1小题）7．（2023•小店区校级模拟）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P、Q分别在线段C1D、AC上，则线段PQ长度的最小值是（）A．B．C．D．【分析】设，，（λ，μ∈[0，1]）．可得＝（0，λ，2λ），＝+μ＝（1﹣μ，μ，0）．利用向量模的计算公式可得＝|（1﹣μ，μ﹣λ，﹣2λ）|＝，再利用实数的性质、二次函数的单调性即可得出．【解答】解：设，，（λ，μ∈[0，1]）．∴＝（0，λ，2λ），＝+μ＝（1，0，0）+μ（﹣1，1，0）＝（1﹣μ，μ，0）．∴＝|（1﹣μ，μ﹣λ，﹣2λ）|＝＝＝，当且仅当，，即λ＝，时取等号．∴线段PQ长度的最小值为．故选：C．【点评】本题考查了向量共线定理、坐标运算、实数的性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．六．空间向量基本定理、正交分解及坐标表示（共2小题）8．（2023•新乡模拟）已知点O、A、B、C为空间不共面的四点，且向量＝++，向量＝+﹣，则与、不能构成空间基底的向量是（）A．B．C．D．或【分析】利用空间向量的基底的意义即可得出．【解答】解：∵＝（﹣）＝（++）﹣（+﹣），∴与、不能构成空间基底；故选：C．【点评】本题考查了向量的基本定理及其意义，正确理解空间向量的基底的意义是解题的关键．9．（2023•西安模拟）空间四边形ABCD中，AC与BD是四边形的两条对角线，M，N分别为线段AB，CD上的两点，且满足，，若点G在线段MN上，且满足，若向量满足，则x+y+z＝．【分析】直接利用向量的线性运算求出结果．【解答】解：空间四边形ABCD中，AC与BD是四边形的两条对角线，M，N分别为线段AB，CD上的两点，且满足，，若点G在线段MN上，且满足，如图所示：由于，故，整理得＝＝＝＝，所以，故，，z＝，所以．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：空间向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．七．向量的数量积判断向量的共线与垂直（共1小题）10．（2023•湖北模拟）已知向量的夹角为60°，若，则＝（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用向量垂直的条件及向量数量积的定义即可求解．【解答】解：∵，，向量的夹角为60°，∴，即，∴，即，解得．故选：D．【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题，八．直线的方向向量、空间直线的向量参数方程（共2小题）11．（2023•琼山区校级三模）直线x﹣3y+1＝0的一个方向向量是（）A．（1，3）B．（3，1）C．（1，﹣3）D．（3，﹣1）【分析】求出直线x﹣3y+1＝0的斜率k，即可写出直线的一个方向向量．【解答】解：直线x﹣3y+1＝0可化为y＝x+，所以直线x﹣3y+1＝0的斜率为k＝，所以直线x﹣3y+1＝0的一个方向向量为＝（1，），与共线的向量都是该直线的方向向量．故选：B．【点评】本题考查了直线方程的方向向量应用问题，是基础题．12．（2023•固镇县三模）直线x﹣3y+1＝0的一个方向向量是（）A．（1，﹣3）B．（1，3）C．（3，﹣1）D．（3，1）【分析】根据题意，求出直线的斜率，分析可得直线的一个方向向量为（1，），由此分析选项，即可得答案．【解答】解：根据题意，直线x﹣3y+1＝0的斜率k＝，则直线的一个方向向量为（1，），又由（3，1）＝3（1，），故（3，1）也是直线x﹣3y+1＝0的一个方向向量，故选：D．【点评】本题考查直线的方向向量，涉及直线的方程，属于基础题．九．平面的法向量（共4小题）13．（2023•盱眙县校级四模）已知平面α内有一个点A（2，﹣1，2），α的一个法向量为＝（3，1，2），则下列点P中，在平面α内的是（）A．（1，﹣1，1）B．C．D．【分析】由题意可知符合条件的点P应满足，逐个选项验证即可．【解答】解：由题意可知符合条件的点P应满足，选项A，＝（2，﹣1，2）﹣（1，﹣1，1）＝（1，0，1），＝3×1+1×0+2×1＝5≠0，故不在平面α内；同理可得：选项B，＝（1，﹣4，），＝0，故在平面α内；选项C，＝（1，2，），＝6≠0，故不在平面α内；选项D，＝（3，﹣4，），＝12≠0，故不在平面α内；故选：B．【点评】本题考查平面法向量的定义，属基础题．（多选）14．（2023•锡山区校级一模）已知平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则（）A．l∥αB．α⊥βC．l与m为相交直线或异面直线D．在向量上的投影向量为【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量之间的关系，判断选项中的命题是否正确即可．【解答】解：对于A，因为＝（1，0，2），＝（1，﹣2，﹣），且•＝1+0﹣1＝0，所以⊥，l∥α或l⊂α，选项A错误；对于B，因为，，计算•＝﹣1+0+1＝0，所以⊥，平面α⊥β，选项B正确；对于C，因为，，与不共线，所以直线l与m相交或异面，选项C正确；对于D，在向量上的投影向量为＝（0，1，﹣2）＝（0，﹣，），选项D错误．故选：BC．【点评】本题考查了利用空间向量研究直线与平面之间的位置关系应用问题，是基础题．（多选）15．（2023•定远县校级一模）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的有（）A．B．向量与所成角的余弦值为C．平面AEF的一个法向量是（4，﹣1，2）D．A1D⊥BD1【分析】根据题中所建立的空间直角坐标系，进一步利用向量的坐标运算，向量的数量积，向量垂直的充要条件，法向量判断A、B、C、D的结论．【解答】解：根据空间直角坐标系D﹣xyz，所以：D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（2，2，2），C1（0，2，2），D1（0，0，2），由于E为BB1的中点，F为A1D1的中点，所以E（2，2，1），F（1，0，2）；故，故A错误；对于B：由于，，所以，，故＝＝，故B正确；对于C：设平面AEF的法向量为，由于，，所以，整理得，故，故C正确；对于D：由于，，故，故A1D⊥BD1，故D正确．故选：BCD．【点评】本题考查的知识要点：空间直角坐标系，向量的坐标运算，向量的数量积，向量垂直的充要条件，法向量，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．（多选）16．（2023•抚松县校级模拟）下列命题是真命题的有（）A．A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面B．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直C．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥αD．平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），是平面α的法向量，则u+t＝1【分析】由基底的概念以及空间位置关系的向量证明依次判断4个选项即可．【解答】解：对于A，A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一个基底，则共面，可得A，B，M，N共面，故A正确；对于C，，故，可得在α内或l∥α，故C错误；对于B，，故，可得l与m垂直，故B正确；对于D，，易知，故﹣1+u+t＝0，故u+t＝1，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查基底的概念以及空间位置关系的向量证明，属于中档题．一十．直线与平面所成的角（共11小题）17．（2023•保定二模）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，对角线B1D与平面A1BC1交于E点．则A1E与面AA1D1D所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】建立空间直角坐标系，解得平面A1BC1的法向量为＝（x，y，z），＝（1，1，2），设＝λ，则E（λ，λ，2λ），•＝0，解得λ，可得坐标，平面AA1D1D的法向量为＝（0，1，0），设A1E与平面AA1D1D所成角为α，则sinα＝||，进而可得答案．【解答】解：如图，建立空间直角坐标系：＝（0，1，﹣2），＝（﹣1，1，0），设平面A1BC1的法向量为＝（x，y，z），则，令z＝1，则y＝2，x＝2，所以