重难点05函数与方程中的零点问题（2种考向6种考法）（解析版）

重难点05函数与方程中的零点问题（2种考向6种考法）【目录】考向一：函数零点个数的判断考法1：方程法判断零点个数考法2：数形结合法判段函数零点个数考法3：转化法判断函数零点个数考法4：零点存在定理与函数性质结合判断零点个数考向二：利用零点求参数的值（范围）考法5：利用函数零点（方程有根）求参数值或参数范围考法6：利用函数的交点（交点个数）求参数一、函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．二、利用零点求参数的值（范围）常用的方法已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．考向一：函数零点个数的判断考法1：方程法判断零点个数一、单选题1．（2023秋·新疆喀什·高三统考期末）已知函数22sin23sinπcoscosfxxxxx，xR，则()fx在区间(0,π)上的零点个数为（）二、命题规律与备考策略三、题型方法A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据三角恒等变换的化简可得π2sin26fxx，令2x-π6=kπ求得x=π2k+π12，k∈Z，列举k的值即可求解.【详解】2222()sin23sin()cos()cossin23sincoscosfxxxxxxxxxπ3sin2cos22sin26xxx，当2x-π6=kπ，k∈Z时，x=π2k+π12，k∈Z，所以当k=0时，x=π12，当k=1时，x=7π12，所以f(x)在区间(0,π)上有2个零点.故选：B.2．（2023·江西·统考模拟预测）函数sin23cos21fxxx在区间0,π内的零点个数是（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【分析】利用辅助角公式可得π2sin213fxx，令()0fx，从而解得()fx在[0,]的零点个数.【详解】由π2sin2103fxx，得π1sin232x，又0πx，所以ππ5π2333x，所以ππ236x或7π6解得π12t或3π4.所以函数()fx在0,π的零点个数是2.故选：A.二、多选题3．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知函数210fxaxbxa，下列说法正确的有（）A．若1,ayfx与21yx图象至多有2个公共点B．若1,ayfx与21yx图象至少有2个公共点C．若1,byfx与112yx图象至多有2个公共点D．若1,byfx与112yx图象至少有2个公共点【答案】ACD【分析】对于选项AC，联立方程利用判别式判断该选项正确；对于选项B,假设0b，可以判断该选项错误；对于选项D，说明21112axxx有两个解即可判断该选项真假.【详解】对于选项A.222211,20,0xbxxxbxb，所以()fx与21yx图象至多有2个公共点，所以该选项正确；对于选项B,2|||1|,fxxbx假设0b，则2|||1|,fxx令22|1||1|xx，所以22221|1|,11xxxx或21x，所以0x.所以此时yfx与21yx图象只有1个公共点，所以该选项错误；对于选项C，21,1byfxaxx，令221111,022axxxaxx，所以104，此时()yfx与112yx图象至多有2个公共点，所以该选项正确；对于选项D,21,|||1|byfxaxx,令21|1||1|2axxx，假设2111,2axxx210,02axxx或12xa，所以0x和12xa是21|1||1|2axxx的两个解，所以yfx与112yx图象至少有2个公共点，所以该选项正确.故选：ACD三、填空题4．（2022秋·江苏南通·高三江苏省通州高级中学校考阶段练习）写出一个同时满足下列3个条件的函数()fx=__．①()fx是R上偶函数；②()fx在R上恰有三个零点；③()fx在1,上单调递增．【答案】22(2)xx（答案不唯一）【分析】根据条件①②可令函数()fx为两个偶函数的积，其中一个有唯一零点0，另两个零点互为相反数，再验证单调性作答.【详解】因为()fx是R上偶函数，且()fx在R上恰有三个零点，于是()fx的一个零点为0，另两个零点互为相反数且不为0，不妨令22()(2)fxxx，显然()fx是R上偶函数，且有3个零点分别为0,2，求导得3()444(1)(1)fxxxxxx，当1x时，()0fx恒成立，因此函数()fx在1,上单调递增，所以函数22()(2)fxxx符合题意.故答案为：22(2)xx5．（2021·北京·统考高考真题）已知函数()lg2fxxkx，给出下列四个结论：①若0k，()fx恰有2个零点；②存在负数k，使得()fx恰有1个零点；③存在负数k，使得()fx恰有3个零点；④存在正数k，使得()fx恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是_______．【答案】①②④【分析】由0fx可得出lg2xkx，考查直线2ykx与曲线lggxx的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.【详解】对于①，当0k时，由lg20fxx，可得1100x或100x，①正确；对于②，考查直线2ykx与曲线lg01yxx相切于点,lgPtt，对函数lgyx求导得1ln10yx，由题意可得2lg1ln10kttkt，解得100100lgetkee，所以，存在100lg0kee，使得fx只有一个零点，②正确；对于③，当直线2ykx过点1,0时，20k，解得2k，所以，当100lg2eke时，直线2ykx与曲线lg01yxx有两个交点，若函数fx有三个零点，则直线2ykx与曲线lg01yxx有两个交点，直线2ykx与曲线lg1yxx有一个交点，所以，100lg220ekek，此不等式无解，因此，不存在0k，使得函数fx有三个零点，③错误；对于④，考查直线2ykx与曲线lg1yxx相切于点,lgPtt，对函数lgyx求导得1ln10yx，由题意可得2lg1ln10kttkt，解得100lg100teeke，所以，当lg0100eke时，函数fx有三个零点，④正确.故答案为：①②④.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．四、解答题6．（2023·全国·高三专题练习）已知fx是定义在R上的函数，4fxfx，77fxfx，00f，求在区间1000,1000上0fx至少有几个根？【答案】401【分析】依题意可求得10fxfx，再求得在区间0,10上，方程0fx至少两个根，结合周期函数性质求解即可．【详解】由77fxfx，则14fxfx，又4fxfx，则414fxfx，所以10fxfx，则1000ff，又400ff，所以在区间0,10上，方程0fx至少两个根，又fx是周期为10的函数，则在每个周期上至少有两个根，所以方程0fx在区间1000,1000上至少有1+20001240110个根．7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2exfxaxxa.(1)讨论fx的单调性；(2)当102a时，证明fx在R上有且仅有两个零点.【分析】（1）求得11exfxaxax，分0a、a0、0a三种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数fx的增区间和减区间；（2）由0fx可得出20axxa，由102a结合判别式可判断出方程20axxa的根的个数，由此可证得结论成立.（1）解：函数fx的定义域为R，2211e11exxfxaxaxaaxax.当0a时，则1exfxx，由0fx可得1x，由()0fx¢可得1x，此时函数fx的单调递增区间为,1，单调递减区间为1,；当0a时，由0fx可得11xa或=1x.①当a0时，111a，由0fx可得11xa或1x，由()0fx¢可得111xa，此时函数fx的单调递减区间为1,1a、1,，单调递增区间为11,1a；②当0a时，111a，由0fx可得111xa，由()0fx¢可得1x或11xa，此时函数fx的单调递增区间为,1、11,a，单调递减区间为11,1a.综上所述，当a0时，函数fx的单调递减区间为1,1a、1,，单调递增区间为11,1a；当0a时，函数fx的单调递增区间为,1，单调递减区间为1,；当0a时，函数fx的单调递增区间为,1、11,a，单调递减区间为11,1a.（2）解：由0fx可得20axxa，因为102a，则21412120aaa，即关于x的方程20axxa有两个不等的实根，所以，当102a时，fx在R上有且仅有两个零点.【点睛】思路点睛：讨论含参函数的单调性，通常注意以下几个方面：（1）求导后看最高次项系数是否为0，须需分类讨论；（2）若最高次项系数不为0，通常是二次函数，若二次函数开口方向确定时，再根据判别式讨论无根或两根相等的情况；（3）再根据判别式讨论两根不等时，注意两根大小比较，或与定义域比较.8．（2023·全国·高三专题练习）某同学用“五点法”画函数sin0,2fxAx在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：x233103x02322sinx010-10fx0300(1)请填写上表的空格处，并画出函数()fx图像(2)写出函数()fx的解析式，将函数()fx的图像向右平移23个单位，再所得图像上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()gx的图像，求()gx的解析式．(3)在（2）的条件下，若2313Fxgxagx在(0,20