重难点06三角恒等变换（3种考向）（解析版）

重难点06三角恒等变换（3种考向）【目录】考向1：给角求值问题考向2：给值求值问题考向3：给值求角问题本专题是高考常考内容，结合往年命题规律，命制三角函数恒等变换题目，诸如“给值求角”“给值求值”“给角求值”三种考向进行分类讲解。1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：＝tanα．2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sinα，tan（﹣α）＝cotα．公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα，tan（+α）＝﹣cotα．3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sinαcosα；二、命题规律与备考策略（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α＝．考向1：给角求值问题一、单选题1．（2023·重庆·统考模拟预测）式子222sin183cos9sin91cos63sin6化简的结果为（）A．12B．1C．2sin9D．2【答案】B【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式可化简所求代数式.【详解】原式22222sin183cos9sin9cos9sin92sin630222sin182cos92sin92sin18cos18sin3612sin36sin36sin36.故选：B.2．（2023·江苏南京·模拟预测）设22ππsinsin612a，πtan12b，πsin8c，则（）A．bacB．acbC．abcD．cab【答案】C【分析】先根据三角恒等变换求2,,abc的值，再利用作差法比较,,abc的大小.【详解】222π1cosππ1316sinsin0612224a，ππtantanπππ3134tantan230ππ1234131tantan34b，∵3153923044ab，则ab，又∵2πππ2sin0,cos12sin8482c，则22π22sin84c22222221.5230.3044cb，则22cb，即cb∴abc故选：C.3．（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）若sin160tan203，则实数的值为（）三、题型方法A．4B．43C．23D．433【答案】A【分析】利用辅助角公式以及二倍角的正弦公式、诱导公式化简可得的值.【详解】由已知可得2sin60cos20cos60sin203tan203cos20sin201sin20cos20sin18020sin4024sin404sin40.故选：A.4．（2022·四川成都·石室中学校考模拟预测）22sin110cos250cos25sin155的值为（）A．12B．12C．32D．32【答案】A【分析】根据诱导公式以及倍角公式求解即可.【详解】原式2211sin140sin40sin70cos70122cos25sin25cos50sin402.故选：A二、解答题5．（2021·浙江台州·统考二模）已知函数()3sincosfxxx.（Ӏ）求函数()fx的单调递增区间；（ӀӀ）若85(),[,]566f，求sin的值.【答案】（Ⅰ）22,233kk，kZ；（Ⅱ）43310.【分析】（1）先用辅助角公式变形函数为()2sin6fxx，再把6x带入函数单调递增区间，分离出x即可得解；（2）由8()5f，即4sin65，根据的范围求出3cos65，带入sinsin66即可得解.【详解】（Ⅰ）()3sincos2sin6fxxxx令22262kxk，kZ得22233kxk，kZ，()fx的单调增区间为22,233kk，kZ；（Ⅱ）8()5f，即4sin65，5,66，,63，又43sinsin6523，所以2,63，得3cos65sinsinsincoscossin66666643310.6．（2020·江苏南通·统考三模）已知函数sin0,0fxAxA的最小值是－2，其图象经过点(,1)3M．（1）求()fx的解析式；（2）已知,(0,)2，且8()5f，24()13f，求()f的值．【答案】（1）()2cosfxx（2）12665【详解】试题分析：（1）求三角函数解析式，一般是根据待定系数法求解：根据最小值是－2，确定A＝2．根据图象经过点(,1)3M，可得()13f，解得2（2）由已知得412cos,cos513，求()2cos()2(coscossinsin)f，利用同角三角函数关系得35sin,sin513，代入化简得()f的值12665试题解析：（1）因为()fx的最小值是－2，所以A＝2．又由()fx的图象经过点(,1)3M，可得()13f，1sin()32，所以或5236k，又0，所以2，故()2sin()2fxx，即()2cosfxx．（2）由（1）知()2cosfxx，又8()5f，24()13f，故8242cos,2cos513，即412cos,cos513，又因为,(0,)2，所以35sin,sin513，所以()2cos()2(coscossinsin)f412351262()51351365．考点：三角函数解析式，给值求值考向2：给值求值问题一、单选题1．（2023·湖北·统考二模）已知ππsinsin3cossin36，则πcos23（）A．32B．－1C．12D．32【答案】C【分析】应用诱导公式、商数关系可得πtan3tan6，再由和角正切公式展开求得tan3，最后由22π1tan(6)πcos(2)π31ta()6n求值即可.【详解】由πππππsinsinsinsin[()]sincos()3cossin32666，所以πtan3tan6，则πtantan3tan36tan3π31tantan1tan63，所以2tan23tan30，则tan3，故π3tan63，由2222226666πππcos()sin()1tan()π1cos(2)πππ32cos()sin()1tan()66.故选：C2．（2023·重庆·统考模拟预测）已知π3sin35，则πsin26（）A．2425B．2425C．725D．725【答案】D【分析】根据角的变换，结合三角函数恒等变换，即可求解.【详解】π2ππ2πsin2sin2cos263232π72sin1325.故选：D3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知4cos25，π3π,24，则1tan1tan=（）A．2B．2C．12D．12【答案】C【分析】根据已知及平方关系可得3sin25，再由1tan1sin21tancos2求值即可.【详解】由题设3π2π,2，则23sin21cos25，又221tancossin12sincos1sin211tancossincossincos22.故选：C4．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）十七世纪德国著名天文学家开普勒曾经说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，黄金分割就可以比作钻石矿”．如果把顶角为36的等腰三角形称为“黄金三角形”，那么我们常见的五角星则是由五个黄金三角形和一个正五边形组成．如图所示，512ABBC（黄金分割比），则cos2DBA（）A．354B．514C．354D．514【答案】D【分析】构造RtDEB△，根据题意推得51sin4BDE.然后根据诱导公式以及二倍角的余弦公式化简，即可得出答案.【详解】如图：过D作DEAB于E，则sinsin18BDE12BEABBDBD15124ABBC．71803226DBA，所以，cos2cos144cos18036DBA2cos3612sin18251511244.故选：D．5．（2023·上海奉贤·统考一模）已知a，b，，R，满足sincosa，cossinb，2204ab，有以下2个结论：①存在常数a，对任意的实数bR，使得sin的值是一个常数；②存在常数b，对任意的实数aR，使得cos的值是一个常数.下列说法正确的是（）A．结论①、②都成立B．结论①不成立、②成立C．结论①成立、②不成立D．结论①、②都不成立【答案】B【分析】根据三角恒等变换的知识，分别将sin和cos用a，b表示即可.【详解】对于结论①，∵sincosa，cossinb，∴222sin2sincoscosa，222cos2cossinsinb，∴2222sincos2cossin22sinab，∴222sin2ab，∴当a为常数，bR时，222sin2ab不是一个常数，故结论①不成立；对于结论②，方法一：∵sincoscossinabsincossinsincoscossincoscossincossincos又∵sincossincoscossincoscossi