重难点07三角函数的图像与性质（4种考向）（解析版）

重难点07三角函数的图像与性质（4种考向）【目录】考向1：三角函数的图像考法1：图像的变换考法2：根据图像求解析式考向2：三角函数的周期性考向3：三角函数的单调性考向4：三角函数的最值与值域一．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤两种变换的差异先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．【解题方法点拨】1．一个技巧列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．二、命题规律与备考策略2．两个区别（1）振幅A与函数y＝Asin（ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A＝．（2）由y＝sinx变换到y＝Asin（ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sinx的图象变换到y＝Asin（ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．3．三点提醒（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（3）由y＝Asinωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．二．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式根据图象确定解析式的方法：在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝，k＝，ω由周期T确定，即由＝T求出，φ由特殊点确定．三．三角函数的周期性周期性①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T＝．【解题方法点拨】1．一点提醒求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sint的相应单调区间求解，否则将出现错误．2．两类点y＝sinx，x∈[0，2π]，y＝cosx，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．3．求周期的三种方法①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为．③利用图象．图象重复的x的长度．四．正弦函数的定义域和值域三角函数的定义域和值域的规律方法1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法．（1）形如y＝asinx+bcosx+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；（2）形如y＝asin2x+bsinx+c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；（3）形如y＝asinxcosx+b（sinx±cosx）+c的三角函数，可设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求解．五．正弦函数的单调性三角函数的单调性的规律方法1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．六．三角函数的最值三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．【例题解析】例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝+cos（2x+）．解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝﹣+2•＝+（cos2x﹣sin2x）＝+cos（2x+）．故答案为：+cos（2x+）．这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．例2：函数y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是．解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]∵二次函数y＝t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是t＝∴当t＝时函数有最小值，而函数的最大值为t＝﹣1时或t＝1时函数值中的较大的那个∵t＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1时，y＝12﹣1+3＝3∴函数的最大值为t＝﹣1时y的值即sinx＝﹣1时，函数的最大值为5．这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域．【考点点评】求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．考向1：三角函数的图像一．选择题（共6小题）1．（2023•韶关二模）函数的部分图象如图所示，将函数f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位得到y＝g（x）的图象，则下列说法不正确的是（）三、题型方法A．函数g（x）的最小正周期为πB．函数g（x）在上单调递增C．函数g（x）的一个极值点为D．函数g（x）的一个零点为【分析】根据图象确定f（x）的解析式，然后根据变换得到，对应y＝sinx的性质判断各个选项即可．【解答】解：由图可知，，所以T＝4，；一条对称轴为，所以，因为，所以，故，所以，所以g（x）的图象的最小正周期为T＝π，A正确；因为，所以，则g（x）在上单调不单调，B错误；对于C：令，k＝0时，函数g（x）的一个极值点为，所以C正确；对于D：令，令k＝0，则函数g（x）的一个零点为﹣，所以D正确．故选：B．【点评】本题考查三角函数的性质，三角函数的图象，属于中档题．2．（2023•江西模拟）已知直线是函数图像相邻的两条对称轴，将f（x）的图像向右平移个单位长度后，得到函数g（x）的图像．若g（x）在（﹣m，m）上恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】根据题意先求出ω＝2，再结合图像得出关于m的不等式组，即可求得m的范围．【解答】解：由题意得，即，解得ω＝2，则，f（x）的图像向右平移个单位长度后，得到函数，又g（x）在（﹣m，m）上恰有三个不同的零点，所以转化为h（x）＝4sinx在上有三个不同的零点，其中，m＞0，则，要使h（x）＝4sinx在上有三个不同的零点，则或，解之得＜m≤．故选：A．【点评】本题考查三角函数的性质，考查函数零点问题，属于中档题．3．（2023•南关区校级模拟）已知函数，将y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，若g（x）的图象关于y轴对称，则的最小值为（）A．B．﹣2C．D．0【分析】根据已知有g（x）＝2cos2x，利用换元法的思想求函数的最小值．【解答】解：将y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，则g（x）＝2sin[2（x+）+φ]＝2sin（2x++φ），又g（x）的图象关于y轴对称，|φ|＜，则φ＝，g（x）＝2cos2x，则＝2cos2x+2cosx＝4cos2x+2cosx﹣2，设h（x）＝4cos2x+2cosx﹣2＝4（cosx+）2﹣，cosx∈[﹣1，1]，当cosx＝﹣时，h（x）取得最小值﹣．故选：A．【点评】本题考查三角函数的平移变换，考查二倍角公式，考查三角函数的值域问题，属于中档题．4．（2023•乌鲁木齐模拟）如图所示的曲线为函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，将y＝f（x）图象上的所有点的横坐标伸长到原来的倍，再将所得曲线向左平移个单位长度．得到函数y＝g（x）的图象，则（）A．直线为g（x）图象的一条对称轴B．点（，0）为g（x）图象的一个对称中心C．函数g（x）的最小正周期为2πD．函数g（x）在[，]上单调递减【分析】由函数图象可得A＝2，可求f（x）的周期，利用周期公式可求ω的值，由f（）＝2，可解得φ＝2kπ+，k∈Z，结合|φ|＜，可求φ的值，可得函数解析式为f（x）＝2sin（3x+），进而利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换以及余弦函数的性质即可求解．【解答】解：由函数图象可得A＝2，由＝，可得图中f（x）的最低点为（，﹣2），由＝，可得图中f（x）的左边最高点为（，2），所以f（x）的周期T＝2（﹣）＝＝，解得ω＝3，所以f（x）＝2sin（3x+φ），因为f（）＝2sin（3×+φ）＝2，可得sin（+φ）＝1，可得+φ＝2kπ+，k∈Z，解得φ＝2kπ+，k∈Z，又因为|φ|＜，所以φ＝，可得f（x）＝2sin（3x+），将y＝f（x）图象上的所有点的横坐标伸长到原来的倍，得到y＝2sin（2x+）的图象；再将所得曲线向左平移个单位长度，得到y＝2sin[2（x+）+]＝2sin（2x+）＝2cos2x＝g（x）的图象，对于A，g（）＝2cosπ＝﹣1，故直线为g（x）图象的一条对称轴，故正确；对于B，g（）＝﹣2cos＝﹣≠0，故错误；对于C，函数g（x）的最小正周期T＝＝π，故错误；对于D，令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，解得kπ≤x≤kπ+，k∈Z，当k＝0时，可得g（x）的一个单调递减区间为[0，]，又＜＜，故错误．故选：A．【点评】本题考查了根据部分三角函数图象确定三角函数解析式，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换以及余弦函数的性质，考查了函数思想，属于中档题．5．（2023•武汉模拟）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜0．在已知的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为（）A．ωB．φC．D．Asinφ【分析】令f（x）＝Asin（ωx+φ）＝0，找到零点的关系，观察可得．【解答】解：令f（x）＝Asin（ωx+φ）＝0，根据“五点法”可得：ωx1+φ＝2k1π，k1∈Z，ωx2+φ＝2k2π+π，k2∈Z，则ωx1＝2k1π﹣φ，k1∈Z，ωx2＝2k2π+π﹣φ，k2∈Z，则＝，k1，k2∈Z，设＝m（m为常数），则φ＝，k∈Z，再根据﹣＜φ＜0确定φ的取值．故选：B．【点评】本题考查三角函数的图象，属于中档题．6．（2023•江西模拟）设函数在[﹣π，π]的图像大致如图，则f（π）＝（）A．B．C．D．【分析】结合图象中标的数据得到关于最小正周期满足不等关系和等量关系，据此求解ω的值，可求函数解析式，进而利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可求解．【解答】解：据图可知：π＜T＜π−（−），即π＜T＜，所以ω＝∈（，2）……①，结合图像可知f（−）＝cos（﹣ω+）＝0，则−ω+＝−+2kπ，k∈Z，所以ω＝−k，k∈Z，结合①式可知，k＝0时，ω＝符合题意，可得f（x）＝cos（x+），可得f（π）＝cos（+）＝．故选：D．【点评】本题考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析，余弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想和函数思想的应用，属于中档题．二．多选题（共2小题）（多选）7．（2023•鼓楼区校级模拟）已知函数在上单调，且f（x）