第05讲 椭圆及其性质（练习）（解析版）

第05讲椭圆及其性质（模拟精练+真题演练）1．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知离心率为53的椭圆C的方程为221(0)xymnmn，则mnmn（）A．2B．125C．135D．3【答案】C【解析】由题意，53cmneam，即59mnm-=，可得94mn，则9134954nnmnmnnn.故选：C2．（2023·福建厦门·统考模拟预测）比利时数学家旦德林发现：两个不相切的球与一个圆锥面都相切，若一个平面在圆锥内部与两个球都相切，则平面与圆锥面的交线是以切点为焦点的椭圆．如图所示，这个结论在圆柱中也适用．用平行光源照射一个放在桌面上的球，球在桌面上留下的投影区域内（含边界）有一点A，若平行光与桌面夹角为30，球的半径为R，则点A到球与桌面切点距离的最大值为（）A．43RB．3RC．23RD．23R【答案】D【解析】由题意，如图所示，则30,15,15BACBAOAOB，所以A到球与桌面切点距离的最大值为：tan75tan3045ABRR，tan45tan301tan45tan30R，31323313RR，故选：D3．（2023·青海西宁·统考二模）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆：22221xyab（0ab）的蒙日圆为2224:3Cxya，则椭圆Γ的离心率为（）A．22B．32C．33D．63【答案】D【解析】如图，,ACBC分别与椭圆相切，显然ACBC.所以点,Cab在蒙日圆22243xya上，所以22243aba，所以223ab，即33ba，所以椭圆的离心率2613cbeaa.故选：D4．（2023·广东韶关·统考模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段AB，且AB过椭圆的下焦点，44AB米，桥塔最高点P距桥面110米，则此椭圆的离心率为（）A．13B．25C．23D．45【答案】D【解析】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系，设椭圆方程为22221(0)yxabab，令yc，即22221cxab，解得2bxa，依题意可得2110244acba，所以2211022acaca，所以22110aca，所以45cea．故选：D．5．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）P为椭圆22162xy上一点，曲线12xy与坐标轴的交点为A，B，C，D，若46PAPBPCPD，则P到x轴的距离为（）A．913B．813C．21913D．7813【答案】D【解析】12xy中，令0x得1y，令0y得2x，不妨设2,0A，2,0B，0,1C，0,1D，则A，B为椭圆22162xy的焦点，则26PAPB，因为46PAPBPCPD，所以26PCPD，又2CD，PCPDCD，由椭圆定义可知，P点在以0,1C，0,1D为焦点的椭圆上，其中226,22ac，故6,1ac，2615b，所以P为椭圆22156xy上一点，由2222162156xyxy，解得2613y，则7813y，故P到x轴的距离为7813．故选：D6．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形G的四边均与椭圆22:164xyM相切，则下列说法错误的是（）A．椭圆M的离心率为33B．椭圆M的蒙日圆方程为2210xyC．若G为正方形，则G的边长为25D．长方形G的面积的最大值为18【答案】D【解析】由椭圆方程知6a，2b，则642c，离心率为2336e，A正确；当长方形G的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为26和4，其对角线长为2416210，因此蒙日圆半径为10，圆方程为2210xy，B正确；设矩形的边长分别为,mn，因此22402mnmn，即20mn，当且仅当mn时取等号，所以长方形G的面积的最大值是20，此时该长方形G为正方形，边长为25，C正确，D错误．故选：D．7．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知1F、2F是椭圆22:132xyE的左右焦点，点00,Pxy为E上一动点，且01x，若I为12PFF△的内心，则12IFF△面积的取值范围是（）A．32,32B．2,3C．3362,32D．62,33【答案】C【解析】由椭圆的方程可得3a，2b，1c，设内切圆的半径为r，则1201122222PFFScyacr，可得0031231yry，而2200132xy，所以200213xy，所以2062123xr，所以1222001162622211222323IFFxxScr，因为01x，所以1262662,232IFFS，即123362,32IFFS．故选：C．8．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左､右焦点分别为12,FF.若点1F关于直线2yx的对称点P恰好在C上，且直线1PF与C的另一个交点为Q，则12cosFQF（）A．23B．45C．57D．1213【答案】D【解析】设1,0Fc关于直线2yx的对称点11,Pxy，由111121222yxcyxc，得34,55ccP．可知124525,55PFcPFc，又知122FFc，所以2221212PFPFFF，则12FPF为直角，由题意，点P恰好在C上，根据椭圆定义122PFPFa，得355ac，122QFQFa，设1QFm，则26525QFamcm，在直角三角形2QPF△中，222452565555mcccm，解得4525mc，从而2265245,2525QFcQPc，所以22112cos13FQPQFFQ.故选：D．9．（多选题）（2023·广东韶关·统考模拟预测）曲线C的方程为2240yx，则（）A．当0时，曲线C是焦距为41的双曲线B．当1时，曲线C是焦距为41的双曲线C．曲线C不可能为圆D．当10时，曲线C是焦距为41的椭圆【答案】AD【解析】对于A，当0时，方程2240yx化为22144xy，曲线C是焦距为24441的双曲线，A正确；对于B，当1时，方程2240yx化为22144()xy，曲线C是焦点在y轴上，焦距为24()441的椭圆，B错误；对于C，当1时，曲线C表示圆224xy，C错误；对于D，当10时，方程2240yx化为22144()xy，曲线C是焦点在x轴上，焦距为244()41的椭圆，D正确.故选：AD10．（多选题）（2023·云南·校联考二模）已知椭圆22:142xyC，12,FF为C的左、右焦点，P为C上一点，且112PFFF，若2PF交C点于点Q，则（）A．1PFQ△周长为8B．12π3FPFC．12QFF面积为24D．1175FQ【答案】AD【解析】由题意，在椭圆22:142xyC中，2,2abc，不妨设P在x轴上方，则1212,1,1,23PPFPFaPF，1211cos32FPF，所以1260FPF，故B错；1PFQ△的周长为48a，A正确；设21,4FQmFQm，在1PFQ△中，2221111||2||3FPPQFPPQFQ得22131(3)21(3)(4)35mmmm，所以1175FQ，D正确；2215QFPF，所以121211122215525QFFPFFSS△△，故C不正确，故选：AD．11．（多选题）（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）已知椭圆2222:1(0),xyCabCab的上顶点为A，两个焦点为12,FF，离心率为12．过1F且垂直于2AF的直线与C交于,DE两点，若ADEV的周长是26，则（）A．132aB．33bC．直线DE的斜率为33D．12DE【答案】ACD【解析】如图所示：∵椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为12，∴不妨设椭圆2222:1,2,343xyCacbccc．∵C的上顶点为A，两个焦点为12,FF，∴12AFF△为等边三角形，∵过1F且垂直于2AF的直线与C交于,DE两点，∴3tan303DEk．故C项正确．由等腰三角形的性质可得22,ADDFAEEF．由椭圆的定义可得ADEV的周长为22426DEDFEFa，∴1313,324ab．故A项正确，B项错误．对于D项，设313:34DElyx，联立22:116950741631334xyCyx，消去y得：22260xx，则2Δ24260，由韦达定理得12122,26xxxx，所以2221212321424261233DExxxx，故D项正确．故选：ACD12．（多选题）（2023·广东·校联考模拟预测）已知椭圆22:11xyCmm的焦点在x轴上，且12,FF分别为椭圆C的左、右焦点，P为椭圆C上一点，则下列结论正确的是（）A．112mB．C的离心率为1mC．存在m，使得1290FPFD．12FPF△面积的最大值为24【答案】ACD【解析】A选项，椭圆22:11xyCmm的焦点在x轴上，故10mm，解得112m，A正确；B选项，设12,0,,0FcFc，则2121cmmm，故C的离心率为2112mmm，B错误；C选项，以12FF为直径的圆的方程为2221xym，与椭圆22:11xyCmm联立得，222111xmxmm，整理得221223mxmm，因为112m，所以22312mmxm，当213m时，230,120mm，故223012mmxm，满足要求，故存在m，使得1290FPF，C正确；D选项，因为12221FFm，故当P点位于上顶点或下顶点时，12FPF△面积取得最大值，故最大面积为221231121123124812FFmmmmmm，因为112m，所以当34m时，12FPF△面积取得最大值，最大值为24，D正确.故选：ACD13．（多选题）（2023·湖南岳阳·统考三模）已知椭圆C：22184xy的左、右焦点分别为1F，2F，直线02ytt，与椭圆C交于A，B两点（其中A在B的左侧），记1ABF面积为S，则（）A．1142FAFBB．11AFBF时，233tC．S的最大值为42D．当12π3FAF时，83S