重难点突破01 圆中的范围与最值问题（八大题型）（解析版）

重难点突破01圆中的范围与最值问题目录1、涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：（1）形如axby的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．（2）形如byaxt的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如22)()(byaxm的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题.2、解决圆中的范围与最值问题常用的策略：（1）数形结合（2）多与圆心联系（3）参数方程（4）代数角度转化成函数值域问题题型一：斜率型例1．（2023·江苏·高二专题练习）已知点,Pxy在圆22113xy上运动，则43yx的最大值为（）A．630B．630C．630D．630【答案】C【解析】43yx看作圆上的点,Pxy到点3,4A的直线的斜率的相反数.当经过点3,4A的直线与上半圆相切时，切线斜率最小，设切线方程为34ykx，所以圆心到切线的距离等于半径，故22331kk，解得630,k故当630k时，切线斜率最小，此时43yx最大，最大值为630，故选：C例2．（多选题）（2023·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）已知点Pxy，在圆22(1)1xy上运动，则下列选项正确的是（）A．12yx的最大值为13，最小值为1;3B．12yx的最大值为33，最小值为33；C．2xy的最大值为15，最小值为15；D．2xy的最大值为25，最小值为25；【答案】BC【解析】（1）设12ykx，整理得210kxyk，则k表示点(,)Pxy与点(2,1)连线的斜率．当该直线与圆相切时，k取得最大值与最小值，所以2|2|11kk，解得33k，所以12yx的最大值为33，最小值为33；（2）设2mxy，整理得20xym，则m表示直线20xym在y轴上的截距．当该直线与圆相切时，m取得最大值与最小值，所以|1|15m，解得15m，2xy的最大值为15，最小值为15．故选：BC.例3．（2023·全国·高三专题练习）已知,Pmn为圆C：22111xy上任意一点，则11nm的最大值为.【答案】33【解析】由于111(1)nnmm，故11nm表示,Pmn和1,1连线的斜率，设1,1M，如图所示，当MP与圆相切时，11nm取得最大值，设此时:1(1)MPykx，即10kxyk，又圆心1,1，半径为1，故21111kkk，解得33k，故11nm的最大值为33.故答案为：33.变式1．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）已知,Mxy为圆C：22414450xyxy上任意一点，且点2,3Q．（1）求MQ的最大值和最小值．（2）求32yx的最大值和最小值．（3）求yx的最大值和最小值．【解析】（1）圆C：2222414450278xyxyxy，如图所示，连接QC交圆C于AB两点，当M与A重合时MQ取得最小值，即2222732222QCr，与B重合时MQ取得最大值即62QCr，故最大值为62，最小值为22；（2）易知32MQykx，由图形知当MQ与圆C相切时取得最值，如图所示.可设:23MQlykx，则C到其距离为244221krk，解得23k，故最大值为23，最小值为23（3）设yxz，如图所示，z即过点M的直线yxz的截距，如图所示，当该直线与圆相切时截距取得最值.圆心C到该直线的距离为5222zr，所以1z或9，故最大值为9，最小值为1.题型二：直线型例4．（2023·全国·高三专题练习）点(,)Pxy是圆2212xy上的动点，则xy的最大值是.【答案】26【解析】由222()2()24xyxy，则2626xy，当且仅当6xy时等号成立，∴xy的最大值是26.故答案为：26.例5．（2023·江西吉安·宁冈中学校考一模）已知点(,)Pxy是圆2264120xyxy上的动点，则xy的最大值为（）A．52B．52C．6D．5【答案】A【解析】由22(3)(2)1xy，令3cos2sinxy，则52sin()4xy，所以当sin()14时，xy的最大值为52.故选：A例6．（2023·全国·高三专题练习）已知点,Pxy是圆C：2230xaya上的一动点，若圆C经过点1,2A，则yx的最大值与最小值之和为（）A．4B．26C．4D．26【答案】C【解析】因为圆C：2230xaya经过点1,2A，2(1)23a．又0a，所以2a，yx可看成是直线yxb在y轴上的截距.如图所示，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时2032b，解得26b，所以yx的最大值为26，最小值为26，故yx的最大值与最小值之和为4.故选：C．题型三：距离型例7．（2023·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两个定点A,B的距离之比为（0，且1），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A,B间的距离为2，动点P满足3PAPB，则22PAPB的最大值为【答案】1683/8316【解析】由题可知2AB,3PAPB不妨设：0,0,2,0,,ABPxy所以有222PAxy，2222PBxy因为3PAPB得222232xyxy，整理得2233xy，得2233yx，显然20y，得2330x，解得：3333x有22PAPB=22222xyxy2222233xxx88x因为3333x，所以当33x时，22PAPB有最大值为83381683故答案为：1683例8．（2023·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知M为圆22414450：Cxyxy上任意一点，且2,3Q．(1)求MQ的最大值和最小值；(2)若,Mmn，求231mn的最大值和最小值；(3)若,Mmn，求2246mnmn的最大值和最小值．【解析】（1）因为494214345240，即Q在圆C外，圆22278：Cxy的圆心2,7C，半径22R，22227342QC，因为QCRMQQCR，即42224222MQ，所以MQ的最大值为62，最小值为22；（2）圆22278：Cxy的圆心2,7C，半径22R，令231tmn可得2310mnt，即圆和直线2310mnt总有公共点求t的最大值和最小值，即223712249t，解得2622626226t，所以231mn的最大值为26226，最小值为26226；（3）2222462313mnmnmn，令22223tmn，当20,30mn即2,3mn时222237320，此时点2,3在圆外，所以0t，求2246mnmn的最大值和最小值转化为求圆22223mnt与圆22278：Cmm总有公共点求213t的最大值和最小值，而两圆心的距离为22227342，当两圆外切时2242t，解得22t，此时2138135t，当两圆内切时，两圆心的距离4222，所以只能圆C在圆22223mnt的内部，所以2242t，解得62t，此时213721359t，所以2246mnmn的最大值为59，最小值为5．例9．（2023·高一课时练习）已知点Pxy，在直线10xy＝上运动，求2211xy－－的最小值及取得最小值时点P的坐标．【解析】因为222221111xyxy－－－－，可看作定点M1,1与直线上任意一点距离的平方，所以距离最小值即是点M1,1到直线10xy＝的距离，由点到直线的距离公式可得最小值为22221119d211；此时直线PM与直线10xy＝垂直，所以直线PM的方程为11yx，即yx，由10xyyx＝得12yx，即11P,22.故2211xy－－的最小值为92，此时点P的坐标为11,22.变式2．（2023·高二课时练习）已知点Pxy，在直线10xy＝上运动，则2211xy－－取得最小值时点P的坐标为．【答案】11,22【解析】2211xy－－转化为直线10xy＝上的点,xy到点1,1的距离的平方，又点1,1到直线10xy＝的距离最小，过点1,1且与直线10xy＝垂直的直线为yx因此两直线联立，10xyyx，解得1212xy故点P的坐标为11,22变式3．（2023·全国·高二专题练习）已知(,)Mmn为圆224440Cxyxy：上任意一点．则22(1)(1)mn的最大值为【答案】102/210【解析】圆224440Cxyxy：即22(2)(2)4xy，故圆心(2,2)C，半径为2r，又22(1)(1)mn表示圆C上的点M到点(1,1)的距离，故其最大值为22(21)(21)2102，故答案为：102.变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量a，b，c，满足R,x14axbab，2,4aab，26acbc，则ac的最小值为（）A．1B．263C．3D．622【答案】A【解析】因为R,x14axbab，2,4aab，所以22222114+842,0,8+201616xbxbbxbx，所以22218+2016bxxb对任意x都恒成立，所以4222211164+||8||0,(||8)0,||=8||=4422bbbbb，.不妨设=(2,0)(,),24,2,abmnmm，又2||=44+16,23bnn，.当2,23)b（，设(,)cxy，所以=(2,),2(22,232)acxybcxy，所以(2)(22)()(232)6xxyy，所以2233)()422xy（，所以c对应的点的轨迹是以33(,)22为圆心，以2为半径的圆，所以22(2)(0)acxy可以看成是(,)xy到(2,0)的距离，所以ac的最小值为223322)(0)21122（.当2,23)b（时，同理可得ac的最小值为1.故选：A变式5．（2023·广东东莞·高一东莞高级中学校考阶段练习）已知点(1,1),A(1,3),B(2,1)C，点P在圆221xy上运动，则222||||2||PAPBPC的最