重难点突破05 求曲线的轨迹方程（十大题型）（解析版）

重难点突破05求曲线的轨迹方程目录一．直接法求动点的轨迹方程利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：（1）建系：建立适当的坐标系（2）设点：设轨迹上的任一点,Pxy（3）列式：列出有限制关系的几何等式（4）代换：将轨迹所满足的条件用含,xy的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为,xy的方程式化简（5）证明（一般省略）：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值应另外补充检验）．简记为：建设现代化，补充说明．注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线．二．定义法求动点的轨迹方程回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点P和满足焦点标志的定点连起来判断．熟记焦点的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题目提到的定点等等．当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程．三．相关点法求动点的轨迹方程如果动点P的运动是由另外某一点P的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出(,)Pxy，用(,)xy表示出相关点P的坐标，然后把P的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程．四．交轨法求动点的轨迹方程在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．五．参数方程法求动点的轨迹方程动点(,)Mxy的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即()()xfyg，再消参.六．点差法求动点的轨迹方程圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点1122(,),(,)AxyBxy的坐标代入圆锥曲线方程，两式相减可得12xx，12yy，12xx，12yy等关系式，由于弦AB的中点(,)Pxy的坐标满足122xxx，122yyy且直线AB的斜率为2121yyxx，由此可求得弦AB中点的轨迹方程．题型一：直接法例1．（2023·甘肃平凉·高三统考期中）动点P与定点(),1,01,0AB的连线的斜率之积为1，则点P的轨迹方程是.【答案】221xy（1x）【解析】由题意可知：PAPB，则点P的轨迹是以AB为直径的圆（,AB除外），即以AB的中点0,0O为圆心，半径为1的圆，所以点P的轨迹方程是2211xyx.故答案为：2211xyx.例2．（2023·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习）已知圆A：22(3)1xy，过动点P作圆A的切线PB（B为切点），使得3PB，则动点P的轨迹方程为.【答案】22(3)4xy【解析】设,Pxy，由3PB得2||3PB，则22(3)13xy，即22(3)4xy.故答案为：22(3)4xy例3．（2023·全国·高三专题练习）已知两条直线1:2320lxy和2:3230lxy，有一动圆与1l及2l都相交，并且1l、2l被截在圆内的两条弦长分别是26和24，则动圆圆心的轨迹方程是．【答案】22(1)16565xy【解析】设圆心M的坐标为(,)xy，圆的半径为r，点M到1l、2l的距离分别为1d、2d，则222113dr，222212dr，得222215dd．由题意可得：1|232|13xyd，2|323|13xyd，即22323232251313xyxy，化简得222165xxy．即22(1)16565xy．故答案为：22(1)16565xy.变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知平面直角坐标系中有两点122,0,2,0FF，且曲线1C上的任意一点P都满足125PFPF．则曲线1C的轨迹方程为.【答案】44222228890xyxyxy【解析】设,Pxy，由题设有2222225xyxy，整理得到2222444425xxyxxy，故44222212880:9Cxyxyxy.故答案为：44222228890xyxyxy.变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知平面上的动点P到点(0,0)O和(2,0)A的距离之比为32，则点P的轨迹方程为.【答案】22(6)48xy【解析】设(,)Pxy，因为动点P到点(0,0)O和(2,0)A的距离之比为32，所以2222(0)(0)32(2)(0)xyxy，22223(2)4xyxy，即：2222443(44)3xyxxy，所以221212xyx，即22(6)48xy，所以点P的轨迹方程是22(6)48xy.故答案为：22(6)48xy变式3．（2023·全国·高三专题练习）已知平面上一定点(2,0)C和直线l：x=8，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且1()2PCPQ·1()2PCPQ=0．则动点P的轨迹方程为；【答案】2211612xy【解析】设(,)Pxy，则(8,)Qy，由1()2PCPQ·1()2PCPQ=0，得224||||PCPQ，即22224(2)(8)()xyxyy，化简得2211612xy，所以点P在椭圆上，即动点P的轨迹方程为2211612xy．故答案为：2211612xy题型二：定义法例4．（2023·全国·高三专题练习）若1(0,3)F，2(0,3)F，点P到F1，F2的距离之和为10，则点P的轨迹方程是【答案】2212516yx【解析】因为1212106PFPFFF，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中225,3,4acbac，故点P的轨迹方程为2212516yx.故答案为：2212516yx例5．（2023·浙江·高三校联考阶段练习）已知圆M与圆22:1Oxy内切，且圆M与直线2x相切，则圆M的圆心的轨迹方程为．【答案】212yx【解析】设(,)Mxy，点M到直线2x的距离为d，如图，M只能在直线2x的左侧，则2dx，因为圆22:1Oxy的圆心为0,0O，半径为1，依题意可得||1MOd，即22(2)1xyx，化简可得212yx，故圆M的圆心的轨迹方程为212yx．故答案为：212yx.例6．（2023·广东东莞·高三校考阶段练习）已知圆22:(1)1Mxy，圆22:125Nxy，动圆P与圆M外切并与圆N内切，则圆心P的轨迹方程为【答案】22198xy【解析】设动圆P的圆心为,Pxy，半径为R，由题意得1,5PMRPNR，所以62PMPN，所以点P的轨迹为以MN为焦点的椭圆，则26a，即3a，1c，则28b，所以动圆圆心P的轨迹方程为22198xy，故答案为：22198xy变式4．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知HMN△的周长是18，M，N是x轴上关于原点对称的两点，若6MN，动点G满足0GMGNGH.则动点G的轨迹方程为；【答案】221243xyx【解析】由0GMGNGH，知点G是HMN△的重心，取点11,0F，21,0F，不妨设3,0M，3,0N，则1GFHM∥，2GFHN∥，且2211111864233GFGFHMHNFF，所以点G是以1F，2F为焦点的椭圆（除去长轴端点），设椭圆C的方程是222210xyabab，则24a，22c，于是2223bac，即22143xy，从而，点G的轨迹方程为：221243xyx.故答案为：221243xyx变式5．（2023·全国·高三对口高考）已知动圆P过点2,0N，且与圆22:28Mxy外切，则动圆P圆心,Pxy的轨迹方程为.【答案】222xy，2x【解析】定圆的圆心为M2,0，与2,0N关于原点对称，设动圆P的半径为r，则有PNr，因为与圆22:28Mxy外切，所以22PMr，即224PMPNMN，所以点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的左支，则2a，2c，2222bca，所以轨迹方程为22122xy，2x，即222xy，2x.故答案为：222xy，2x变式6．（2023·全国·高三专题练习）ABC中，A为动点，2,0B，2,0C且满足sinsin2sinCBA，则A点的轨迹方程为．【答案】221(0)1612xyy.【解析】根据正弦定理，由sinsin2sin28CBAABACBCABACBC，所以点A点的轨迹是以2,0B，2,0C为焦点的椭圆，不包括两点(4,0),(4,0)，由2228,244,223acacbac，所以A点的轨迹方程为221(0)1612xyy，故答案为：221(0)1612xyy.变式7．（2023·全国·高三专题练习）一个动圆与圆221:(3)1Cxy外切，与圆22:(3)81Cxy内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为．【答案】2212516yx【解析】设动圆圆心为M，半径为r，根据题意知：1||1MCr，2||9MCr，所以1212||||10||6MCMCCC，所以圆心M的轨迹为椭圆.其中210a，26c，故5,4ab，因为焦点在y轴上，故圆心轨迹方程为：2212516yx.故答案为：2212516yx.变式8．（2023·全国·高三对口高考）已知1,02A，B是圆221:42Fxy（F为圆心）上一动点.线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为.【答案】22134yx．【解析】由题意1(,0)2F，P在线段AB的垂直平分线上，则PBPA，所以2PFPAPFPBFB，又1AF，所以P在以,AF为焦点，长轴长为2的椭圆上，22a，1a，12c，则22234bac，所以轨迹方程为22134yx．故答案为：22134yx．变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知定点(1,0)R，圆22:2150Sxyx，过R点的直线1L交圆于M，N两点过R点作直线2//LSN交SM于Q点，求Q点的轨迹方程；【解析】因为22:2150Sxyx，即22116xy，所以1,0S，半径为4r，如图，根据题意可知4SMSNr，又//RQSN，所以RQQMSNSM，故RQQM，又(1,0)R，所以42QSQRSMSR，故动点Q的轨迹是以,SR为焦点，长轴长为4的椭圆，这里2,1ac，故224,413ab，所以Q点的轨迹方程为：22143xy.变式10．（2023·全国·高三专题练习）已知圆22:1Oxy，直线:20lxy，过l上的点P作圆O的两条切线，切点分别为,AB，则弦AB中点M的轨迹方程为.【答案】22221110448xyxy【解析】由题意得弦AB中点M为直线OP和AB的交点，设,2,0,2Pppp，则直线OP的方程为2pyxp，又,PAPB均与圆22:1Oxy相切，故,OAPAOBPB，故,,,OABP四点共圆，且AB为以OP为直径的圆与圆O的公共弦.又以OP为直径的圆的方程为0020xxpyyp