重难点突破07 圆锥曲线三角形面积与四边形面积题型全归类（七大题型）（解析版）

重难点突破07圆锥曲线三角形面积与四边形面积题型全归类目录1、三角形的面积处理方法（1）12S△底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）（2）12S△水平宽·铅锤高12EDABxx或12AESCDyy△（3）在平面直角坐标系xOy中，已知OMN△的顶点分别为(00)O，，11()Mxy，，22()Nxy，，三角形的面积为122112Sxyxy．2、三角形面积比处理方法（1）对顶角模型1sin21sin2OACOBDOAOCSOAOCSOBODOBOD（2）等角、共角模型1sin21sin2OACOBDOAOCSOAOCSOBODOBOD3、四边形面积处理方法（1）对角线垂直12SACBD（2）一般四边形1sin2SACBD（3）分割两个三角形121()2SACdd4、面积的最值问题或者取值范围问题一般都是利用面积公式表示面积，然后将面积转化为某个变量的一个函数，再求解函数的最值（一般处理方法有换元，基本不等式，建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值，构造函数求导等等），在算面积的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算，灵活使用割补法计算面积，尽可能降低计算量．题型一：三角形的面积问题之12S△底·高例1．（2023·福建漳州·高三统考开学考试）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左焦点为1(3,0)F，且过点13,2A.(1)求C的方程；(2)不过原点O的直线l与C交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率成等比数列.（i）求l的斜率；（ii）求OPQ△的面积的取值范围.【解析】（1）由题知，椭圆C的右焦点为2(3,0)F，且过点13,2A，所以2112(33)444a，所以2a.又3c，所以221bac，所以C的方程为2214xy.（2）（ⅰ）由题知，直线l的斜率存在，且不为0.设:(0)lykxmm，11,Pxy，22,Qxy，则22440ykxmxy，所以222148410kxkmxm，所以122814kmxxk，21224114mxxk，且222264161410kmkm，即22410km.因为直线OP，PQ，OQ的斜率成等比数列.所以21212yykxx，即221212212kxxkmxxmkxx，120xx所以22228014kmmk，且21m.因为0m，所以214k，所以12k.（ii）由（ⅰ）知22410km，12k，所以202m，且21m.设点O到直线PQ的距离为d，所以2||1mdk.因为12k，所以22124xxm，21221xxm，所以212211||||1221OPQmSdPQkxxk△22212121||422mxxxxmm2211m，又202m，且21m.所以(0,1)OPQS△即OPQ△的面积的取值范围0,1.例2．（2023·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点1(,0)2A，点B在直线1:2lx上运动，过点B与l垂直的直线和AB的中垂线相交于点M.(1)求动点M的轨迹E的方程；(2)设点P是轨迹E上的动点，点,RN在y轴上，圆22:(1)1Cxy内切于PRN△，求PRN△的面积的最小值.【解析】（1）设点(,)Mxy为轨迹上任意一点，由题意知，||||MAMB，所以动点M的轨迹E是以1(,0)2A为焦点，以1:2lx为准线的抛物线，设其方程为22(0)ypxp，所以122p，即1p，故抛物线方程为22yx，所以动点M的轨迹E的方程为22yx.（2）设00(,)Pxy，(0,)Rb，(0,)Nc，且bc，所以直线PR的方程为000()0ybxxyxb．圆22:(1)1Cxy的圆心为(1,0)，半径为1，因为圆22:(1)1Cxy内切于△PRN，所以直线PR与圆C相切，则圆心(1,0)到直线PR的距离为1，即002200||1()ybxbybx，则2220002()xbybxbx①，因为02x，所以化简①得，2000(2)20xbybx②，圆22:(1)1Cxy内切于△PRN，所以直线PN与圆C相切，同理可得2000(2)20xcycx③，由②③可知，,bc为方程2000(2)20xxyxx的两根，所以0000222ybcxxbcx，又bc，2002yx，02x，所以2||()4bcbcbcbc200002()4()22yxxx22000000448222xyxxxx，故PRN△的面积为01()2Sbcx2002xx004(2)42xx0042(2)482xx，等号当且仅当00422xx0(2)x，即04x等号成立，此时点P的坐标为(4,22))或(4,22).故当P的坐标为(4,22)或(4,22)时，PRN△的面积取最小值8.例3．（2023·浙江·模拟预测）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C上任意一点,Pxy满足2222(2)(2)2xyxy.(1)化简曲线C的方程；(2)已知圆22:1Oxy（O为坐标原点），直线l经过点,0(1)Amm且与圆O相切，过点A作直线l的垂线，交C于,MN两点，求OMN面积的最小值.【解析】（1）2222(2)(2)2xyxy2222(2)(2)2xyxy222222(2)(2)(2)44xyxyxy221xy，由2222(2)(2)xyxy得0x．所以曲线C的方程是221(0)xyx；（2）设1122(,),(,)MxyNxy，直线MN方程是()ykxm，则直线l方程为1()yxmk，即0xkym,直线l与已知圆相切，所以211mk，则221mk，由221()xyykxm得，22222(1)210kxmkxmk，由题意2422222244(1)(1)4(1)0mkkmkmkk（∵1m），2122201mkxxk，22122101mkxxk，∴1k或1k，222222212121222(1)(1)11()41kmkkMNkxxkxxxxk，又原点O到直线MN的距离为21kmdk，∴2222222422221(1)(1)(1)2(1)(1)OMNkmmkkkkkSdMNkk!，由1k或1k得210k，设21tk，2242222(1)(1)(1)(2)(22)()(1)kkkttttftkt22104510tttt22224424tttt，当且仅当2t时等号成立，1010525102tttt，当且仅当2t时等号成立，∴2t时，min()14102ft，∴212k，即21k时，min()14102OMNS!．变式1．（2023·河北秦皇岛·校联考二模）已知双曲线22221(0,0)xyabab实轴的一个端点是P，虚轴的一个端点是Q，直线PQ与双曲线的一条渐近线的交点为11,22.(1)求双曲线的方程；(2)若直线1(01)ykxkk与曲线C有两个不同的交点,ABO、是坐标原点，求OAB的面积最小值.【解析】（1）设点,0Pa，点0,Qb，则直线PQ的方程为1xyab，与渐近线byxa联立，得1xyabbyxa，解之得22axby，即直线PQ与双曲线的一条渐近线交点为,22ab，又直线PQ与双曲线的一条渐近线的交点为11,22，所以122122ab，即1ab，因此双曲线方程为221xy.（2）设1122,,,AxyBxy，把1ykxk代入221xy，得22211210kxxk，则422122224112Δ44110,1kkkxxkkk，2122111kxxk，222222121212221121141411kABkxxkxxxxkkk2422222222211112121111kkkkkkkkk，点O到直线1ykxk的距离211kdk，所以OAB的面积为242422222242111111212222111kkkkkSABdkkkkkk242241kkkk，令24tkk，所以22111tSttt，令1st，则2Sss，因为01k，所以201k，由221124tk，得104t，由1st，得4s，由221124Ssss，得16425S，即当21124,,,422stkk时，等号成立，此时满足Δ0，所以OAB面积的最小值为25.变式2．（2023·四川成都·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）设椭圆2222:1(0)xyEabab过点2,1M，且左焦点为12,0F.(1)求椭圆E的方程；(2)ABC内接于椭圆E，过点4,1P和点A的直线l与椭圆E的另一个交点为点D，与BC交于点Q，满足APQDAQPD，求ABC面积的最大值.【解析】（1）令椭圆E的半焦距为c，依题意，2222222211cabcab，解得224,2ab，所以椭圆E的方程为22142xy.（2）设点QAD,,的坐标分别为1122,,,,,xyxyxy，显然||,||,||,||APPDAQQD均不为零，依题意，令APAQPDQD，有0且1，又,,,APDQ四点共线，从而,APPDAQQD，即1122(4,1)(4,1)xyxy，1122(,)(,)xxyyxxyy，于是121212124,1,,1111xxyyxxyyxy，从而22212241xxx①，2221221yyy②，又点,AD在椭圆E上，即221124xy③，222224xy④，①+②2并结合③，④得424xy，即动点,Qxy总在定直线220xy上，因此直线BC方程为220xy，由22220142xyxy消去y得291640xx，2164940，设3344(,),(,)BxyCxy，则3434164,99xxxx，于是22223434341616435||12||5()45()999BCxxxxxx，设(2cos,2sin)A，则点A到直线BC的距离|4cos2sin2||32sin()2|55d，其中锐角由tan22确定，因此27|32sin()2|91||2ABCSBCd273226144799，当且仅当sin()1时取等号，所以ABC的面积最大值为614479.题型二：三角形的