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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 重难点突破11 圆锥曲线存在性问题的探究(五大题型)(解析版)
重难点突破11圆锥曲线存在性问题的探究目录解决存在性问题的技巧:(1)特殊值(点)法:对于一些复杂的题目,可通过其中的特殊情况,解得所求要素的必要条件,然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立.(2)假设法:先假设存在,推证满足条件的结论.若结论正确,则存在;若结论不正确,则不存在.题型一:存在点使向量数量积为定值例1.(2023·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末)已知椭圆E的中心在原点,焦点在x轴上,椭圆的左顶点坐标为2,0,离心率为22e.1求椭圆E的方程;2过点1,0作直线l交E于P、Q两点,试问:在x轴上是否存在一个定点M,使MPMQ为定值?若存在,求出这个定点M的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】1设椭圆E的方程为22221(0)xyabab,由已知得2122acca,解得:21ac,所以2221bac.所以椭圆E的方程为2212xy.2假设存在符合条件的点,0Mm,设11,Pxy,22,Qxy,则11,MPxmy,22,MQxmy,21212121212MPMQxmxmyyxxmxxmyy,①当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为1ykx,由22112ykxxy,得:2222214220kxkxk,2122421kxxk,21222221kxxk,221212122121kyykxxxxk,2222241221mmkmMPMQk,对于任意的k值,上式为定值,故2224122mmm,解得:54m,此时,716MPMQ为定值;②当直线l的斜率不存在时,直线l:1x,121xx,122xx,1212yy,由54m,得5251712416216MPMQ为定值,综合①②知,符合条件的点M存在,其坐标为5,04.例2.(2023·山西大同·高二统考期末)已知椭圆22221(0)xyabab的一个焦点与抛物线243yx的焦点F重合,且椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形.(1)求椭圆的方程;(2)若过点(1,0)的直线l与椭圆交于不同两点PQ、,试问在x轴上是否存在定点(m,0)E,使PEQE恒为定值?若存在,求出E的坐标及定值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由题意知抛物线的焦点为(3,0)F,所以223cab,因为椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形,所以3313b,可求得a=2.故椭圆的方程为2214xy.(2)假设存在满足条件的点(m,0)E,当直线l的斜率存在时,设其斜率为k,则l的方程为(1)ykx,由2214(1)xyykx得2222418440kxkxk,设1122,,,PxyQxy,所以221212228440,,4141kkxxxxkk,则1212PEQEmxmxyy2121212mmxxxxyy2222222222844448141414141kmkkkmkkkkk2222481441mmkmk222221148144814441mmkmmmk2217214481441mmmk,要使PEQE为定值,令17204m,即178m,此时3364PEQE.当直线的斜率不存在时,不妨取331,,1,22PQ,由17,08E,可得9393,,,8282PEQE,所以8133364464PEQE.综上所述,存在点17,08E,使PEQE为定值3364.例3.(2023·重庆渝北·高二重庆市松树桥中学校校考阶段练习)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,其左、右焦点分别为1F,2F,短轴长为23.点P在椭圆C上,且满足12PFF的周长为6.(I)求椭圆C的方程;(Ⅱ)过点(1,0)的直线l与椭圆C相交于A,B两点,试问在x轴上是否存在一定点M,使得MAMB恒为定值?若存在,求出该点M的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(Ⅰ)222223{226bacabc224{3ab所以椭圆的方程为22143xy(Ⅱ)假设存在这样的定点0,0Mx,设1122,,,AxyBxy,AB直线方程为1xmy则101202101202,,1,1,MAMBxxyxxymyxymyxy=22120120111myymxyyx联立221{3412xmyxy消去x得2234690mymy12122269,3434myyyymm20020022523411811843434xmxxMAMBxmm令01180x即0118x,13564MAMB当ABy轴时,令112,0,2,0,,08ABM,仍有13564MAMB所以存在这样的定点11,08M,使得13564MAMB变式1.(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为22,椭圆经过点21,2A.(1)求椭圆C的方程;(2)过点(1,0)作直线l交C于,MN两点,试问:在x轴上是否存在一个定点P,使PMPN为定值?若存在,求出这个定点P的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由题意22ca,222abc,221112ab,得222,1ab,所以椭圆C的方程为2221xy.(2)当l的斜率存在时,设:1lykx,11,Mxy,22,Nxy,,0Pt,则联立方程组2222ykxkxy消去y得,2222214220kxkxk.∴2122421kxxk+=+,21222221kxxk.∵2112212121212,,11PMPNxtyxtyxtxtyyxtxtkxx2222222222121222224112121kkkxxktxxktkktktkk2222241221ktttk为定值.∴22241221ttt,解得54t.此时PMPN的值为716.当l的斜率不存在时,l的方程为1x,解得21,2M,21,2N.又54t,则5,04P.∴12127,,424216PMPN,此时也满足条件.综上所述,在x轴上存在定点5,04P,使PMPN为定值.变式2.(2023·辽宁锦州·统考模拟预测)已知12FF、为双曲线2222:1(0,0)xyEabab的左、右焦点,E的离心率为5,M为E上一点,且212MFMF.(1)求E的方程;(2)设点M在坐标轴上,直线l与E交于异于M的AB、两点,且点M在以线段AB为直径的圆上,过M作MCAB,垂足为C,是否存在点D,使得CD为定值?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为双曲线的离心率为5,所以5cea,即5ca,又212MFMF,所以22a,则1a,所以5c,因为222bca,所以2222(5)12bca,故双曲线E的方程为2214yx.(2)因为M点满足2120MFMF,所以点M在双曲线2214yx的左支上,又因为点M在坐标轴上,则(1,0)M,设1122(,),(,)AxyBxy,当AB的斜率存在时,设AB的方程为ykxm,联立方程2214yxykxm,整理得222(4)2(4)0kxkmxm,则240k,222(2)4(4)[(4)]0kmkm,即2240mk,212122224,44kmmxxxxkk,因为M在以线段AB为直径的圆上,所以MAMB,则0MAMB,又11(1,)MAxy,22(1,)MBxy,则1212(1)(1)MAMBxxyy1212(1)(1)()()0xxkxmkxm,所以221212(1)(1)()10kxxkmxxm,即2222242(1)()(1)1044mkmkkmmkk,整理得223250mkmk,即()(35)0mkmk,解得mk或53km,经检验均满足2240mk,当mk时,直线AB的方程为(1)ykx,则直线AB过点M,不合题意,舍去;当53km时,直线AB的方程为5()3ykx,则直线AB恒过定点5(,0)3Q,符合题意.当AB的斜率不存在时,1111(,),(,)AxyBxy,11(1,)MAxy,11(1,)MBxy,2211(1)0MAMBxy,又221114yx,解得11x(舍去)或153x,所以直线AB方程为53x,则直线AB恒过定点5(,0)3Q.综上,直线AB恒过定点5(,0)3Q.因为MCAB,所以MCQ是以MQ为斜边的直角三角形,即点C在以MQ为直径的圆上,则点D为该圆的圆心即斜边MQ的中点,又(1,0)M,5(,0)3Q,所以1(,0)3D,CD为该圆的半径,即14||||23CDMQ,故存在点1(,0)3D,使得||CD为定值43.变式3.(2023·山西大同·统考模拟预测)已知椭圆22122:10xyCabab的离心率为22,且直线yxb是抛物线22:4Cyx的一条切线.(1)求椭圆1C的方程;(2)过点10,3S的动直线L交椭圆1C于,AB两点,试问:在直角坐标平面上是否存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过定点T?若存在,求出T的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由24yxbyx得22240xbxb直线yxb是抛物线22:4Cyx的一条切线.所以01b222ceaa,所以椭圆221:12xCy(2)当直线L与x轴平行时,以AB为直径的圆方程为2221433xy当直线L与y轴重合时,以AB为直径的圆方程为221xy所以两圆的交点为点0,1猜想:所求的点T为点0,1.证明如下.当直线L与x轴垂直时,以AB为直径的圆过点0,1当直线L与x轴不垂直时,可设直线L为:13ykx由221312ykxxy得2218912160kxkx,设11,Axy,22,Bxy则1221221218916189kxxkxxk则11221212121211,1,1111133TATBxyxyxxyyxxkxkx21212224161641216103918931899kxxxxkkk所以TATB,即以AB为直径的圆过点0,1所以存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过定点T.变式4.(2023·江苏扬州·统考模拟预测)已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左顶点为A,过右焦点F且平行于y轴的弦
本文标题:重难点突破11 圆锥曲线存在性问题的探究(五大题型)(解析版)
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