第04讲 基本不等式及其应用（十大题型）（讲义）（解析版）

第04讲基本不等式及其应用目录考点要求考题统计考情分析（1）了解基本不等式的推导过程．（2）会用基本不等式解决简单的最值问题．（3）理解基本不等式在实际问题中的应用．2022年II卷第12题，5分2021年乙卷第8题，5分2020年天津卷第14题，5分高考对基本不等式的考查比较稳定，考查内容、频率、题型难度均变化不大，应适当关注利用基本不等式大小判断、求最值和求取值范围的问题．1、基本不等式如果00ab，，那么2abab，当且仅当ab时，等号成立．其中，2ab叫作ab，的算术平均数，ab叫作ab，的几何平均数．即正数ab，的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式1：若ab，R，则222abab，当且仅当ab时取等号；基本不等式2：若ab，R，则2abab（或2abab），当且仅当ab时取等号．注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致．【解题方法总结】1、几个重要的不等式（1）20,00,0.aaRaaaaR（2）基本不等式：如果,abR，则2abab（当且仅当“ab”时取“”）．特例：10,2;2abaaaba（,ab同号）．（3）其他变形：①2222abab（沟通两和ab与两平方和22ab的不等关系式）②222abab（沟通两积ab与两平方和22ab的不等关系式）③22abab（沟通两积ab与两和ab的不等关系式）④重要不等式串：222,1122ababababRab即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）．2、均值定理已知,xyR．（1）如果xyS（定值），则2224xySxy（当且仅当“xy”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”．（2）如果xyP（定值），则22xyxyP（当且仅当“xy”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”．3、常见求最值模型模型一：2(0,0)nmxmnmnx，当且仅当nxm时等号成立；模型二：()2(0,0)nnmxmxamamnmamnxaxa，当且仅当nxam时等号成立；模型三：211(0,0)2xaccaxbxcacbaxbx，当且仅当cxa时等号成立；模型四：22()1())(0,0,0)24mxnmxmxnmxnnxnmxmnxmmmm（，当且仅当2nxm时等号成立．题型一：基本不等式及其应用【解题方法总结】熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证．例1．（2023·辽宁·校联考二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设ADa，BDb，用该图形能证明的不等式为（）．A．0,02abababB．20,0ababababC．220,022abababD．2220,0ababab【答案】C【解析】由图知：1,2222abababOCABODOBBDb，在RtOCD△中，22222abCDOCOD，所以OCOD，即220,022ababab，故选：C例2．（2023·全国·高三专题练习）已知x，y都是正数，且xy，则下列选项不恒成立的是（）A．2xyxyB．2xyyxC．2xyxyxyD．12xyxy【答案】D【解析】x，y都是正数，由基本不等式，2xyxy，2yxxy，222xyxyxyxyxy≤，这三个不等式都是当且仅当xy时等号成立，而题中xy，因此等号都取不到，所以ABC三个不等式恒成立；12xyxy中当且仅当1xy时取等号，如1,22xy即可取等号，D中不等式不恒成立．故选：D．例3．（2023·江苏·高三专题练习）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（）①已知0ab，求abba的最小值；解答过程：22ababbaba；②求函数2254xyx的最小值；解答过程：可化得221424yxx；③设1x，求21yxx的最小值；解答过程：22211xyxxx，当且仅当21xx即2x时等号成立，把2x代入221xx得最小值为4．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】对①：基本不等式适用于两个正数，当0ab，abba与均为负值，此时22abababbababa，当且仅当abba，即0ab时等号成立，故①的用法有误，故①错误；对②：221424yxx，当且仅当22144xx，即241x时取等号，但242x，则等号取不到，故②的用法有误；对③：1x，10x，221122111yxxxx，当且仅当12x，即21x时取等号，故③的用法有误；故使用正确的个数是0个，故选：A.题型二：直接法求最值【解题方法总结】直接利用基本不等式求解，注意取等条件．例4．（2023·河北·高三学业考试）若x，yR，且23xy，则xy的最大值为______．【答案】98【解析】由题知，x，yR，且23xy因为222xyxy，所以322xy，所以98xy，即98xy，当且仅当2xy，即33,24xy时，取等号，故答案为：98例5．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）若a，0b，且3abab，则ab的最小值是____________．【答案】9【解析】因为32ababab（当且仅当ab时，等号成立），所以2()230abab，所以(3)(1)0abab，所以3ab，所以9ab，所以ab的最小值为9.故答案为：9例6．（2023·天津南开·统考一模）已知实数0,0,1abab，则22ab的最小值为___________.【答案】22【解析】∵0a，0b，1ab，∴222222222ababab，当且仅当22ab即12ab时取等号.故答案为：22.题型三：常规凑配法求最值【解题方法总结】1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．2、注意验证取得条件．例7．（2023·全国·高三专题练习）若2x，则12fxxx的最小值为___________.【答案】0【解析】由2x，得12002xx，，所以111()222(2)20221fxxxxxxx，当且仅当122xx即=1x时等号成立.故答案为：0例8．（2023·全国·高三专题练习）已知0x，则4221xx的最小值为__________.【答案】3【解析】444221122113212121xxxxxx，当且仅当212x，即12x时，等号成立.故答案为：3.例9．（2023·全国·高三专题练习）若1x，则2221xxx的最小值为______【答案】254/425【解析】由1x，则10x.因为22221415xxxx，所以22251411xxxxx52142541xx，当且仅当511xx，即51x时等号成立，故2221xxx的最小值为254.故答案为：254.例10．（2023·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）若关于x的不等式20(1)xbxcb的解集为R，则1241bcb的最小值为_________．【答案】8【解析】因为不等式20(1)xbxcb的解集为R，则22Δ404bbcc，因为1b，所以10b，∴2212421(1)4(1)4111bcbbbbbbb44(1)42(1)4811bbbb．当且仅当411bb，即3b时，取到等号．故答案为：8题型四：消参法求最值【解题方法总结】消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！例11．（2023·全国·高三专题练习）已知正实数a，b满足220aba，则4ab的最小值是（）A．2B．422C．432D．6【答案】B【解析】由220aba，得22ab，所以()()abbbbbbb888422222422222…，当且仅当,abbb28222，即,ab22222取等号.故选：B.例12．（2023·全国·高三专题练习）若,xyR，23()()xyxy，则11xy的最小值为___________.【答案】2【解析】因为23()()xyxy且,xyR，则两边同除以2()xy，得211()xyyx，又因为224(1111111()4424)xyxyyyxxyxyxyx，当且仅当14xyxy，即22,22xy时等号成立，所以21=14xy.故答案为:2例13．（2023·全国·高三专题练习）已知0x，0y，满足2220xxy，则2xy的最小值是______．【答案】6.【解析】由2220xxy，得21222xxyxx，0,2x所以113332222622122xxxxyxxxx.当且仅当312xx即63x时等号成立，所以2xy的最小值是6.故答案为：6.题型五：双换元求最值【解题方法总结】若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．1、代换变量，统一变量再处理．2、注意验证取得条件．例14．（2023·浙江省江山中学高三期中）设0a，0b，若2231abab，则23aab的最大值为（）A．33B．23C．13D．23【答案】D【解析】解：法一：（基本不等式）设3cab，则23aab(3)aabac，条件22223131ababacac，所以22312acacac，即23ac.故选：D.法二：（三角换元）由条件2231()124abb，故可设3cos2sin2abb，即cos3sin,2sinab，由于0a，0b，故cos3sin02sin0，解得506所以，5cos3sin,(0)62sinab，所以2332sin223aab,当且仅当4时取等号.故选：D.例15．（2023·天津南开·一模）若0a，0b，0c，2abc，则4ababc的最小值为______．【答案】222【解析】由题意，0a，0b，0c，2abc得：2abc，设2,,(0,0)cmcnmn，则2mn，故44242421122abcabcccccmn4222()1312+2=2+222mnnmnmmnmnmn，当且仅当222mn，即422,222mnc时取得等号，故4ababc的最小值为222，故答案为：222