第04讲 基本不等式及其应用（练习）（解析版）

第04讲基本不等式及其应用（模拟精练+真题演练）1．（2023·四川成都·三模）设nS为正项等差数列na的前n项和．若20232023S，则4202014aa的最小值为（）A．52B．5C．9D．92【答案】D【解析】由等差数列的前n项和公式，可得2023120232023(20223)aaS，可得120232aa，又由12023420202aaaa且420200,0aa，所以242002020204442020420204202042020204414114119()()[5()](52)2222aaaaaaaaaaaaaa，当且仅当2020442020aaaa时，即42020aa时，等号成立，所以4202014aa的最小值为92.故选：D.2．（2023·北京房山·统考二模）下列函数中，是偶函数且有最小值的是（）A．2()2fxxxB．()|ln|fxxC．()sinfxxxD．()22xxfx【答案】D【解析】对A，二次函数2()2fxxx的对称轴为1x，不是偶函数，故A错误；对B，函数()|ln|fxx的定义域为0,，定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，故B错误；对C，()sinsinfxxxxxfx，定义域为R，所以函数()sinfxxx是偶函数，结合三角函数的性质易判断函数()sinfxxx无最小值，故C错误；对D，()22xxfxfx，定义域为R，所以函数()22xxfx是偶函数，因为20x，20x，所以222222xxxx，当且仅当22xx，即0x时取等号，所以函数()22xxfx有最小值2，故D正确.故选：D3．（2023·海南海口·校联考模拟预测）若正实数x，y满足31xy．则121xy的最小值为（）A．12B．25C．27D．36【答案】C【解析】因为31xy，所以12112136315yxxyxyxyxy．因为,0xy，所以3636212yxyxxyxy，当且仅当36yxxy，即23x，19y时，等号成立，所以，121xy的最小值为27．故选：C4．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测）已知实数,ab满足lglglg2abab，则2ab的最小值是（）A．5B．9C．13D．18【答案】B【解析】由lglglg2abab，可得lglg2abab，所以2abab，即211ab，且0,0ab，则2122222(2)()5529babaababababab，当且仅当22baab，即3ab时，等号成立，所以2ab的最小值为9.故选：B.5．（2023·湖南长沙·长郡中学校考一模）已知236mn，则m，n不可能．．．满足的关系是（）A．4mnB．4mnC．228mnD．22(1)(1)2mn【答案】C【解析】23236,log60,log60mnmn，即6611log2log31mn，即,0,0mnmnmnmn.对于A，2,42mnmnmnmn成立.对于B，2,4mnmnmnmn，成立.对于C，222224,16()22mnmnmnmnmn，即228mn.故C错误；对于D，222(1)(1)()22mnmn成立.故选：C.6．（2023·浙江杭州·统考二模）已知1a，1b，且2loglog4ba，则ab的最小值为（）A．4B．8C．16D．32【答案】C【解析】∵2loglog4ba，∴21loglog42ba，即：2222log4loglogab∴22loglog4ab，∵1a，1b，∴2log0a，2log0b，∴22222log()loglog2loglog4ababab，当且仅当22loglogab即ab时取等号，即：4216ab，当且仅当ab时取等号，故ab的最小值为16.故选：C.7．（2023·河南安阳·统考三模）已知0,0ab，则下列命题错误的是（）A．若1ab，则112abB．若4ab，则19ab的最小值为4C．若224ab，则ab的最大值为2D．若21ab，则ab的最大值为22【答案】D【解析】∵01ab，∴11ab，∴11122abab，故A正确；若4ab，则191191919102104444babaababababab，当且仅当1,3ab时等号成立，故B正确；若224ab，则2222abab，当且仅当2ab时等号成立，故C正确；若21ab，则1222abab，即18ab，当且仅当11,42ab==时等号成立，故D错误.故选：D.8．（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）当x，0,y时，422422417424xxyymxxyy恒成立，则m的取值范围是（）A．25,B．26,C．99,4D．27,【答案】A【解析】当x，0,y时，2222242222422224444241742524xyxyxyxyxxyyxxyyxyxy，当且仅当2244xyxy，即2yx=时，等号成立，所以42242241742xxyyxxyy的最大值为254．所以2544m，即25m．故选：A.9．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知实数a，b满足20ab，则下列说法正确的有（）A．22332abB．1224abC．若0b，则lnlnln2abD．337ab【答案】BC【解析】A选项：22332ab，由于函数3yx在R上单调递增，则2233332ab，即222ab，已知20ab，即2ab，若取1a，22b，则222ab，故A错误.B选项：因为20a，104b，20ab，所以2201222222224aababb，当且仅当222ab，即0ab==时等号成立，故B正确.C选项：若0b，则20ab，且2ab，lnlnlnaabb，由于函数lnyx在0,上单调递增，所以lnln2ab，即lnlnln2ab，故C正确.D选项：令2a，1b=-，则33877ab，故D错误.故选：BC.10．（多选题）（2023·云南玉溪·统考一模）已知00ab，，且4ab则下列结论一定正确的有（）A．228ababB．112ababC．ab有最大值4D．14ab有最小值9【答案】AC【解析】A选项，2224422428abababbaabba，A正确；B选项，找反例，当2ab时，112ab，24ab，112abab，B不正确；C选项，42abab，4ab，当且仅当2ab时取“=”，C正确；D选项，1411414149()()(14)(52)4444babaababababab，D不正确.故选：AC.11．（多选题）（2023·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）下列说法正确的是（）A．若,Rxy且4xy，则x，y至少有一个大于2B．Rx，2xxC．若13a，24b，则224abD．22133xx的最小值为2【答案】AC【解析】对于A,若x，y均不大于2，则2,2xy，则4xy，故4xy，则x，y至少有一个大于2为真命题，故A正确，对于B,B.Rx，2,0,0xxxxxx，故B错误，对于C,由13a得226a，由24b得42b，所以224ab，故C正确，对于D，由于233x，函数1yxx在3,单调递增，故22114333333xx，D错误，故选:AC12．（多选题）（2023·云南曲靖·统考模拟预测）若实数,xy满足1221xy，则（）A．0x且1yB．xy的最大值为3C．11122xy的最小值为7D．1112222xyxy【答案】ABD【解析】由1221xy，可得112120,2120yxxy，所以0x且1y，故A正确；由11122122222xyxyxy，可得1122xy，即121224xy，所以3xy，当且仅当11xy，即1,2xy时，等号成立，所以xy的最大值为3，故B正确；11111112222222222552922222222xyxyyxyxxyxyxy，当且仅当2log3xy时，等号成立，所以11122xy的最小值为9，故C错误；因为1212xy，则112212242xyy，所以1111222232222xyxyyxy，故D正确.故选：ABD.13．（2023·上海浦东新·统考二模）函数241loglog(2)yxx在区间1(,)2上的最小值为_____________．【答案】221．【解析】224212logloglog(2)1logyxxxx，因为1,2x，所以2log1,x，故21log0,x，故2222221log121log12211log1logyxxxx，当且仅当2221log1logxx，即212x时，等号成立.故答案为：22114．（2023·上海长宁·统考二模）某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围城一个2平方米的矩形植物种植园，矩形的一条边为围墙，如图．则至少需要___________米栅栏．【答案】4【解析】设矩形植物种植园的宽、长为,ab，所以2Sab，则2224abab，当且仅当“22ab”时取等.故至少需要4米栅栏．故答案为：4．15．（2023·全国·模拟预测）已知0a，0b，1112ab，写出满足“2mab”恒成立的正实数m的一个范围是______（用区间表示）．【答案】0,4（答案不唯一，是90,2的子集即可）【解析】由题意可知115592222222babaababababab，当且仅当32ba时取得等号，所以922ab恒成立，故正实数m的一个范围可以为0,4（答案不唯一，是90,2的子集即可）．故答案为：0,416．（2023·浙江·二模）若22abab，则3322abab的取值范围是______.【答案】9(0,]8【解析】由22abab可得222ababab，而222222()2()(),2abababab，当且仅当ab时，等号成立，即2()2abab，解得02ab，由33332222abababababab可知0,02abab，所以33222()()2ababababababab，令,(0,2]tabt，则3322221