第03讲 直线、平面平行的判定与性质（八大题型）（讲义）（教师版）

第03讲直线、平面平行的判定与性质目录考点要求考题统计考情分析（1）理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明．（2）掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用．2022年甲卷（文）第19题，12分2022年乙卷（文）第9题，5分2021年浙江卷第6题，4分本节内容是高考中的热点，线线、线面、面面平行与证明通常出现在解答题的第一问．本节内容将空间中平行的判定与性质综合在一起复习，通常在高考题目中，虽然证明的结论是平行，但是过程中经常交叉使用空间直线、平面平行的判定定理或性质，因此题目的综合性增强．知识点一：直线和平面平行1、定义直线与平面没有公共点，则称此直线l与平面平行，记作l∥2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言线∥线线∥面如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行11lllll∥∥面∥面线∥面如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面aa∥∥3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言线∥面线∥线如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行lllll∥∥知识点二：两个平面平行1、定义没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若，则∥2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言判定定理线∥面面∥面如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行,,ababPab∥，∥∥线面面∥面如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行ll∥3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）文字语言图形语言符号语言面//面线//面如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面////aa性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”）////.aabb面//面线面如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线//ll【解题方法总结】线线平行、线面平行、面面平行的转换如图所示．（1）证明直线与平面平行的常用方法：①利用定义，证明直线a与平面没有公共点，一般结合反证法证明；②利用线面平行的判定定理，即线线平行线面平行．辅助线的作法为：平面外直线的端点进平面，同向进面，得平行四边形的对边，不同向进面，延长交于一点得平行于第三边的线段；③利用面面平行的性质定理，把面面平行转化成线面平行；（2）证明面面平行的常用方法：①利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；②利用面面平行的判定定理；③利用两个平面垂直于同一条直线；④证明两个平面同时平行于第三个平面．（3）证明线线平行的常用方法：①利用直线和平面平行的判定定理；②利用平行公理；题型一：平行的判定例1．（2023·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）若、是两个不重合的平面，①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则//；②设、相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则；性质性质性质判定判定判定线∥面线∥线面∥面③若外一条直线l与内的一条直线平行，则//l；以上说法中成立的有（）个．A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】对于①，设12,ll平面，且12llA，由直线与平面平行的判定定理可知1//l，2//l，再由平面与平面平行的判定定理可知//，则①正确；对于②，设、交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则、可能垂直也可能不垂直，则②错误；对于③，由直线与平面平行的判定定理可知//l，则③正确，故选：C．例2．（2023·全国·高三对口高考）过直线l外两点作与l平行的平面，那么这样的平面（）A．不存在B．只有一个C．有无数个D．不能确定【答案】D【解析】过直线l外两点作与l平行的平面，如果两点所在的直线与已知直线相交，则这样的平面不存在；如果两点所在的直线与已知直线平行，则这样的平面有无数个；如果两点所在的直线与已知直线异面，则这样的平面只有一个．因此只有D正确．故选：D．例3．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线//MN平面ABC的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A，由正方体的性质可得////MNEFAC，MN平面ABC，AC平面ABC，所以直线//MN平面ABC，能满足；对于B，作出完整的截面ADBCEF，由正方体的性质可得//MNAD，MN平面ABC，AD平面ABC，所以直线//MN平面ABC，能满足；对于C，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得//BDMN，MN平面ABC，BD平面ABC，所以直线//MN平面ABC，能满足；对于D，作出完整的截面，如下图ABNMHC，可得MN在平面ABC内，不能得出平行，不能满足．故选：D．变式1．（2023·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面，现给出下面六个命题：①ac∥，bc∥，则ab∥；②若a∥，b∥，则ab∥；③c∥，c∥，则∥；④若∥，∥，则∥；⑤若c∥，ac∥，则aP；⑥若a∥，∥，则aP．其中真命题的个数是（）A．4B．3C．2D．1【答案】C【解析】a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面，①ac∥，bc∥，则ab∥，满足直线与直线平行的传递性，所以①正确；②a∥，b∥，则a，b可能平行，可能相交，也可能异面，所以②不正确；③c∥，c∥，则，可能平行，也可能相交，所以③不正确；④∥，∥，则∥，满足平面与平面平行的性质，所以④正确；⑤c∥，ac∥，则aP或a，所以⑤不正确；⑥a∥，∥，则aP或a，所以⑥不正确；故选：C．变式2．（2023·全国·高三专题练习）设，为两个不同的平面，则∥的一个充分条件是（）A．内有无数条直线与平行B．，垂直于同一个平面C．，平行于同一条直线D．，垂直于同一条直线【答案】D【解析】对于A：内有无数条直线与平行推不出∥，只有内所有直线与平行才能推出，故A错误；对于B：，垂直于同一平面，得到∥或与相交，故B错误；对于C：，平行于同一条直线，得到∥或与相交，故C错误；对于D：因为垂直与同一条直线的两平面平行，故，垂直于同一条直线可得∥，故：D正确．故选：D【解题方法总结】排除法：画一个正方体，在正方体内部或表面找线或面进行排除．题型二：线面平行构造之三角形中位线法例4．（2023·广东河源·高三校联考开学考试）如图，在四棱锥PABCD中，,EF分别为,PDPB的中点，连接EF．（1）当G为PC上不与点,PC重合的一点时，证明：//EF平面BDG；【解析】（1）因为,EF分别为,PDPB的中点，所以EFBD∥，因为EF平面BDG，BD平面BDG，所以EF//平面BDG．例5．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）如图，在三棱柱111ABCABC-中，侧面11ACCA是矩形，ACAB，12,(2)ABAAACtt，1120AAB,EF分别为棱11,ABBC的中点，G为线段CF的中点．（1）证明：1//AG平面AEF．（2）若三棱锥AGEF的体积为1，求t．【解析】（1）连接1AB，交AE于点O，连接OF，由题意，四边形11ABBA为平行四边形，所以11ABAB，因为E为11AB中点，∴112AEAB，∴1AOE与BOA△相似，且相似比为12，∴112AOOB，又∵F，G为BC，CF中点，∴12GFBF，所以1//OFAG，又OF平面AEF，1AG平面AEF，所以1//AG平面AEF．（2）由AGEFGAEFVV由（1）1//AG平面AEF，则点1A与G到平面AEF的距离相等．所以11AGEFGAEFAAEFFAAEVVVV，由侧面11ACCA是矩形，则1ACAA，又ACAB，且1AAABA，1AA平面11ABBA，AB平面11ABBA，所以AC平面11ABBA，F是BC的中点，所以F到平面11ABBA的距离为12AC，又1120AAB，则1160BAA，所以11111111121sin601223232FAAECAAEAAEVVSACtoV，所以43t．例6．（2023·黑龙江大庆·统考二模）如图所示，在正四棱锥PABCD中，底面ABCD的中心为O，PD边上的垂线BE交线段PO于点F，2PFFO．（1）证明：EO//平面PBC；【解析】（1）证明：如图，延长FO至点M，使FOOM，连接MD，∵底面ABCD的中心为O，∴PO平面ABCD，∴POBD，∵BOOD，FOBDOM，∴FOBDOM≌，∴FBOMDO，∴FBDM∥，∴EFDM∥，∴PFPEFMED而2PFFOFM，∴PEED，∴EOPB∥，∵PB平面PBC，EO平面PBC，∴//EO平面PBC；变式3．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥PABCD中，四边形ABCD为梯形，//ABCD，ADAB，24ABAPDC，242PBAD，26PD，M，N分别是PD，PB的中点．（1）求证：直线//MN平面ABCD；【解析】（1）连接BD，M，N分别是PD，PB的中点．//MNBD，又MN平面ABCD，BD平面ABCD直线//MN平面ABCD变式4．（2023·陕西汉中·高三统考期末）如图，在三棱柱111ABCABC-中，1AA平面ABC，且12AAABBCAC，点E是棱AB的中点．（1）求证：1//BC平面1ACE；（2）求三棱锥11EACC的体积．【解析】（1）连接1AC交1AC于点F，连接EF，E是AB的中点，F是1AC的中点，∴1EFBC∥，EF平面1ACE，1BC平面1ACE，∴1//BC平面1ACE；（2）过E作EGAC于G，1AA平面ABC，EG平面ABC，1AAEG，又11,ACAAAACAA∩，平面11AACC，EG平面11AACC，在等边ABC中，E是AB的中点，,2EGACAB，32EG．所以三棱锥11EACC的体积为1111111332233223EACCACCVSEG△．变式5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是正方形，1PDAD，PD平面ABCD，点E是棱PC的中点，点F是棱PB上的一点，且EFPB．（1）求证：//PA平面EDB；（2）求点F到平面EDB的距离．【解析】（1）连接AC交BD于G，连接EG，如图所示．因为四边形ABCD是正方形，所以G是AC的中点，又点E是棱PC的中点，所以EG是PAC△的中位线，所以//PAEG，又PA平面EDB，EG平面EDB，所以//PA平面EDB．（2）因为PD平面ABCD，DC，BC平面ABCD，所以PDDC，PDBC，又BCCD，CDPDD，CD，PD平面PCD，所以BC平面PCD，又PC，DE平面PCD，所以PCBC，DEBC．在PDC△中，PDDC，1PDCD，E是PC的中点，所以22PEECDE，DEPC，又DEBC，BCPCC，BC，PC平面PBC，所以DE平面PBC，所以DE是三棱锥DBEF的高．在PBC中，PCBC，2PC，1B