第05讲 空间向量及其应用（练习）（教师版）

第05讲空间向量及其应用（模拟精练+真题演练）1．（2023·内蒙古乌兰察布·校考三模）正方体111ABCDABCD中，E，F分别是1,DDBD的中点，则直线1AD与EF所成角的余弦值是（）A．12B．63C．32D．62【答案】B【解析】正方体111ABCDABCD中，E，F分别是1,DDBD的中点，设正方体111ABCDABCD中棱长为2，以D为原点，1,,DADCDD为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，则1(001)(110(20(0)002)EFAD,,,,,),,,,,，1202)AD(-,,uuur，111)EF(,,-，设直线1AD与EF所成角为θ，π(0,]2，则111||cos|cos,|||||ADEFADEFADEF=483=63，∴直线1AD与EF所成角的余弦值是63．故选：B．2．（2023·西藏日喀则·统考一模）已知向量2,1,31,1,abx，，若a与b垂直，则2ab（）.A．2B．52C．213D．26【答案】D【解析】由于a与b垂直，所以21301abxx，所以24,3,1ab，故222243126ab，故选：D3．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）定义两个向量u与v的向量积是uv一个向量，它的模sin,uvuvuv，它的方向与u和v同时垂直，且以uvuv，，的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体ABCD中，则ABADAC（）A．23B．4.C．43D．42【答案】D【解析】设ANABAD,则ANABANAD，，过C作CO平面ABD，则O为三角形ABD的外心，所以o1222sin603DO=?，进而,3||||||sin22232ABADABADDAB2222226233COCDDO骣琪=-=-=琪桫,2663cos,,23OCACOCAC由于AN与OC共线，且方向相同，则6cos,cos,232423ABADACANACANACANACANACOCAC，故选：D4．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PAD是正三角形，2AB，平面PAD平面ABCD，则PC与BD所成角的余弦值为（）A．14B．24C．13D．33【答案】A【解析】取AD的中点O，BC的中点E，连接PO、OE，因为PAD是正三角形，所以POAD，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD，如图建立空间直角坐标系，则0,0,3P，2,1,0C，0,1,0D，2,1,0B，所以2,1,3PC，2,2,0DB，所以1cos,4PCDBPCDBPCDB，所以PC与BD所成角的余弦值为14.故选：A5．（2023·云南保山·统考二模）已知正方体1111ABCDABCD，Q为上底面1111DCBA所在平面内的动点，当直线DQ与1DA的所成角为45°时，点Q的轨迹为（）A．圆B．直线C．抛物线D．椭圆【答案】C【解析】以点D为原点，DA，DC，1DD为x，y，z的正方向，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则10,0,0,1,0,1DA，设,,1Qxy，可得,,1DQxy，11,0,1DA，因为直线DQ与1DA的所成角为45，则122112cos45212DQDADQDAxxy，化简可得22yx，所以点Q的轨迹为抛物线.故选：C.6．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）在空间直角坐标系中，直线l的方程为1xyz，空间一点(1,1,1)P，则点P到直线l的距离为（）A．22B．1C．33D．63【答案】D【解析】根据题意，直线l的方程为1xyz，即1111xyz，则直线l的方向向量为1,1,1n，又因为过点0,1,0A，2221113n，1,0,1AP，则22112AP，故AP在n上的射影为：22333APnn，故点P到直线l的距离为：224262333APndAPn.故选：D.7．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）钟鼓楼是中国传统建筑之一，属于钟楼和鼓楼的合称，是主要用于报时的建筑.中国古代一般建于城市的中心地带，在现代城市中，也可以常常看见附有钟楼的建筑.如图，在某市一建筑物楼顶有一顶部逐级收拢的四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面（四棱柱看成正四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面中心上），在整点时刻（在0点至12点中取整数点，含0点，不含12点），已知在3点时和9点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则在2点时和8点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为（）A．26B．14C．36D．24【答案】B【解析】如图，在正四棱柱1111ABCDABCD中，,EF分别为侧面11ABBA和侧面11BCCB的中心，G为1BB的中点，EN为2点钟时针，FM为8点钟时针，则30NEGÐ，30MFGÐ，设正四棱柱的底面边长为a，侧棱长为b，以D为原点，以1,,DADCDD的方向分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，则(,,)22abEa，3(,,)26bNaaa，(,,)22abFa，3(,,)26bMaaa，3(0,,)26aENa，3(,0,)26aFMa，所以||cos,||||ENFMENFMENFM222221112433436436aaaaa.所以在2点时和8点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为14.故选：B8．（2023·江西·校联考模拟预测）在空间直角坐标系中，已知22,2,6,0,0,1,1,1,2,1,0,3,,0,5AaaBCDEa，则当点A到平面BCD的距离最小时，直线AE与平面BCD所成角的正弦值为（）A．24221B．147C．43535D．47【答案】C【解析】因为22,2,6,0,0,1,1,1,2,1,0,3,,0,5AaaBCDEa，可得21,2,3,1,1,1,1,0,2DAaaBCBD，设,,nxyz是平面BCD的法向量，则020nBCxyznBDxz，令2x，可得3,1yz，所以2,3,1n，所以点A到平面BCD的距离22312265221414aDAnaadn，当32a时，d取得最小值，此时0,3,1AE，所以直线AE与平面BCD所成角的正弦值为8435351014AEnAEn.故选：C.9．（多选题）（2023·福建宁德·校考模拟预测）已知空间单位向量PA，PB，PC两两夹角均为60，2PAPE，2BCBF，则下列说法中正确的是（）A．P、A、B、C四点可以共面B．12PABCACC．22EFD．3cos,6AFCP【答案】BC【解析】由于单位向量PA，PB，PC两两夹角均为60，所以111cos602PAPBPAPCPCPB，假设P、A、B、C四点可以共面，则,,PAPBPC共面，所以存在,xy，使得PAxPByPC，分别用PA，PB，PC与PAxPByPC点乘，则1112211221122xyxyxy，由于该方程组无解，所以不存在,xy，使得,,PAPBPC共面，故P、A、B、C四点不共面，故A错误，对于B，1121122PABCACPAPCPBPCPAPAPCPBPA,故B正确，对于C，由2PAPE得12PAPE，由2BCBF得222PCPBPCPBPFPBPF,所以2PCPBPAEFPFPE,则2122PCPBPAEFPCPBPA22212222PCPBPAPCPBPCPAPAPB1211111122,故C正确；对于D，111222122,2224PCPBPAPCPCPBPAAFPFPAAFCP，故cos,0AFCP，故D错误，故选：BC.10．（多选题）（2023·海南海口·校考模拟预测）在长方体1111ABCDABCD，11,2ABADAA，P是线段1CD上（含端点）的一动点，则下列说法正确的是（）A．该长方体外接球表面积为4B．三棱锥11BABP的体积为定值C．当11ACCP时，13PCPDD．1PAPB的最大值为1【答案】ABD【解析】设长方体1111ABCDABCD外接球的半径为R，该长方体外接球的直径即为长方体对角线的长，即有222121122RABADAA，所以1R，所以外接球表面积为24π4πR，故A正确；因为在长方体1111ABCDABCD中，P是线段1CD上（含端点）的一动点，所以P到平面11ABB的距离即为AB的长，所以111111111123326BABPPABABBBVVSABABAAAB，是定值，故B正确；如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则111(1,1,0),(0,1,2),(0,0,2),(1,1,2),(1,0,0)CDACB，11(1,1,2),(1,0,2)ACCD，设1CPCD，01≤≤，则可得(1,1,2)(01)P，所以1(,0,22)CP，当11ACCP时，则112(22)0ACCP，解得23，此时12PCPD，故C错误；1(1,1,22)PA，(,1,2)PB，则22111(1)12(22)3313()24PAPB，因为01≤≤，所以当0或1时，1PAPB取得最大值为1，故D正确.故选：ABD11．（多选题）（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）如图，在各棱长均为2的正三棱柱111ABCABC-中，,DE分别是11,CCBB的中点，设111AFAC，0,1，则（）A．当12时，CFADB．0,1，使得CF平面ABDC．0,1，使得//EF平面ABDD．当13时，AF与平面ABD所成角为60【答案】AC【解析】取AC中点为O，连接OB，以点O为坐标原点，分别以,OBOC为,xy轴，以过点O且与1AA平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则0,1,0A，0,1,1D，0,1,0C，10,1,2C，10,1,2A，3,0,0B，3,0,1E，所以，110,2,0AC，由111AFAC可得，1110,21,2OFOAAC，所以0,21,2F，0,22,2CF.对于A项，当12时，有0,0,2F，所以0,1,2CF.又0,2,1AD，所以012210CFAD，所以，CFAD，所以CFAD，故A项正确；对于B项，因为0,2,1AD，3,1,0AB，设,,nxyz是平面ABD的一个法向量，则有00nADnAB，即2030yzxy，取1x，则1,3,23n是平面ABD的一个法向量.若CF平面ABD，则//CFn.因为0,22,2CF，显然,CFn不共线，故B错误；对于C项，因为3,21,1EF，1,3,23n是平面ABD的一个法向量.要使//EF平面ABD，则应有EFn，所以3321230EFn