第01讲 导数的概念与运算（练习）（解析版）

第01讲导数的概念与运算（模拟精练+真题演练）1．（2023·全国·模拟预测）已知a为实数，函数2942fxxaxa是偶函数，则曲线yfx在点1,1f处的切线方程为（）A．1870xyB．960xyC．51120xyD．65110xy【答案】A【解析】因为2942fxxaxa是偶函数，所以22942942fxxaxaxaxa，所以0a，故292fxx，又18fxx，所以111f，118f，故曲线yfx在点1,1f处的切线方程为11181yx，即1870xy.故选：A.2．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知抛物线C：22xpy，（0p）的焦点为F，,0Mxyx为C上一动点，若曲线C在点M处的切线的斜率为3，则直线FM的斜率为（）A．32B．33C．34D．35【答案】B【解析】∵22xpy，∴212yxp，(0,)2pF，∴1yxp，由题意知，13Mxp，解得：3Mxp，又∵M在22xpy上，∴2(3)2Mppy，解得：32Myp，∴3(3,)2Mpp，∴31322330MFppkp.故选：B.3．（2023·陕西榆林·统考模拟预测）已知函数2eRaxfxxa，若fx的图象在0x处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为1，则a（）A．12B．2C．±2D．12【答案】D【解析】因为2eaxfxxa，所以0fa.因为01f，所以fx的图象在0x处的切线方程为1yax.因为切线与坐标轴能围成三角形，所以0a，令0x，得1y，令0y，得1xa，所以11112a，所以12a.故选：D4．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）如图是函数yfx的导函数yfx的图象，若20f，则yfx的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由()yfx的图象可知，当01x时，0()1fx，则在区间(0,1)上，函数()yfx上各点处切线的斜率在区间(0,1)内，对于A，在区间(0,1)上，函数()yfx上各点处切线的斜率均小于0，故A不正确；对于B，在区间(0,1)上，函数()yfx上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故B不正确；对于C，在区间(0,1)上，函数()yfx上存在点，在该点处切线的斜率大于1，故C不正确；对于D，由()yfx的图象可知，当01x时，0()1fx，当13x时，()0fx，当3x时，()0fx，所以函数()yfx上各点处切线的斜率在区间(0,1)内，在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,)上单调递增，而函数()yfx的图象均符合这些性质，故D正确.故选：D5．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）设fx为R上的可导函数，且0112lim2xffxx，则曲线yfx在点1,1f处的切线斜率为（）A．2B．-1C．1D．12【答案】C【解析】0011211211limlim122xxffxffxfxx.故曲线yfx在点1,1f处的切线斜率为1.故选：C6．（2023·河南郑州·统考模拟预测）若过原点与曲线22e2xfxxaxx相切的直线，切点均与原点不重合的有2条，则a的取值范围是（）A．2e，B．2,eC．20,eD．20,e【答案】C【解析】因为22e2xfxxaxx，所以22e22xfxxxax，设过原点的切线与曲线fx在0xtt处相切，所以切线的斜率222e22e22tttattkftttatt，整理得1etat，设1etgtt，则2etgtt，所以当2t时0gt，当2t时0gt，所以gt在,2上单调递增，在2,上单调递减，所以2max2egtg，且当t时0gt，当t时gt，所以当20ea时过原点与曲线22e2xfxxaxx相切的直线有2条.故选：C7．（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）若曲线(0)kfxkx与exgx有三条公切线，则k的取值范围为（）A．1,0eB．1,eC．2,0eD．2,e【答案】A【解析】设公切线为11,,lPxy是l与fx的切点，由kfxx，得2kfxx，设22,Qxy是l与gx的切点，由exgx，得exgx，所以l的方程为1121kyyxxx，因为11kyx，整理得2112kkyxxx，同理222exyyxx，因为22exy，整理得222ee1xxyxx，依题意两条直线重合，可得222121e2e1xxkxkxx，消去1x，得2224e1xkx，由题意此方程有三个不等实根，设2e(1)xhxx，即直线4yk与曲线hx有三个不同的交点，因为2e1xhxx，令0hx，则1x，当1x或1x时，0hx；当11x时，0hx，所以hx有极小值为114eh，hx有极大值为10h，因为2e(1)xhxx，e0x，2(1)0x，所以0hx，当x趋近于时，hx趋近于0；当x趋近于时，hx趋近于，故hx的图象简单表示为下图:所以当14e40k，即10ek时，直线4yk与曲线hx有三个交点.故选：A.8．（2023·湖北·模拟预测）已知函数e,xxfxbxaR，都有fx的最小值为0，则2ab的最小值为（）A．21eB．21eC．22eD．22e【答案】A【解析】由题意知xR，都有fx的最小值为0，可转化为直线1yxba与exy相切.设切点坐标为00,exx，则可得0001e1exxaxba，可得0201exxab.令1ettgt，则2e1e2eettttttgt，当2t时，0gt，函数gt单调递减；当2t时，0gt，函数gt单调递增.所以2min12egtg，即2ab的最小值为21e.故选:A.9．（多选题）（2023·重庆·校联考三模）德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设fx是函数fx的导函数，若()0fx¢，对1x，20,x，且12xx，总有121222fxfxxxf，则下列选项正确的是（）A．2eπfffB．πe2fffC．2323ffffD．3322ffff【答案】ABD【解析】A选项，根据()0fx¢可得，fx在R上单调递增，因为πe2，所以2eπfff，A正确；B选项，因为1x，20,x，且12xx，总有121222fxfxxxf，所以函数图象上凸，画出函数图象，由几何意义可知，fx表示函数图象上的各点处的切线斜率，显然随着x的增大，切线斜率变小，且恒为正，因为πe2，所以πe2fff，B正确；C选项，323232ABfkfff，结合函数图象可知3322ffff，C错误，D正确.故选：ABD10．（多选题）（2023·黑龙江齐齐哈尔·齐齐哈尔市实验中学校考三模）若一条直线与两条或两条以上的曲线均相切，则称该直线为这些曲线的公切线，已知直线l：ykxb为曲线1C：e(0)xyaa和2C：ln(0)xyaa的公切线，则下列结论正确的是（）A．曲线1C的图象在x轴的上方B．当1a时，ln1kbC．若0b，则1eaD．当1a时，1C和2C必存在斜率为1k的公切线【答案】ABD【解析】选项A，由0a，e0x得e0xa，可知曲线1C的图象在x轴的上方，故A正确；选项B，当1a时，1C：exy，2C：lnyx，对于2C：lnyx，有1(0)yxx，因为直线l：ykxb为曲线2C的切线，所以1kx，即1xk=，此时1lnlnykk，所以切点坐标为1,lnkk，将其代入切线方程ykxb中，有ln1kb，整理得1e1bk，可得ln1kb，即B正确；选项C，当0b时，公切线l为ykx，设()exfxa，()lnxgxa，则()exfxa，1()(0)gxxx，所以1111eexxafxakx，2222ln1xagxkxx，解得121xx，1ea，故C错误；选项D，当1a时，()xfxe，()lngxx，则()exfx，1()(0)gxxx，若1C和2C存在斜率为1k的公切线，则存在m和n使得1()emfmk，11()(0)gnnnk，由选项B可知，1e1bk，即11ebk，所以1eebm，11ebn，即1mb，1e1bn，符合题意，故当1a时，1C和2C必存在斜率为1k的公切线，即D正确．故选：ABD．11．（多选题）（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数11fxxxx，过点1,0的直线l与曲线yfx相切，则与直线l垂直的直线为（）A．420xyB．280xyC．50xyD．2430xy【答案】AD【解析】23111fxxxxxxxx，则231fxx，设切点坐标为3000,xxx，则20031fxx，所以切线方程为32000031yxxxxx，又切线过点1,0，所以3200000311xxxx，即32002310xx，故2002110xx，解得01x或012x，所以直线l的斜率为211131224f或213112f，对于A：直线420xy的斜率为4，符合题意，故A正确；对于B：直线280xy的斜率为12，不符合题意，故B错误；对于C：直线50xy的斜率为1，不符合题意，故C错误；对于D：直线2430xy的斜率为12，符合题意，故D正确；故选：AD12．（多选题）（2023·江苏南通·模拟预测）过平面内一点P作曲线lnyx两条互相垂直的切线1l、2l，切点为1P、21(PP、2P不重合)，设直线1l、2l分别与y轴交于点A、B，则（）A．1P、2P两点的纵坐标之积为定值B．直线12PP的斜率为定值C．线段AB的长度为定值D．ABP面积的取值范围为0,1【答案】BCD【解析】由函数ln,1lnln,01xxyxxx，则1,11,01xxyxx，设111,Pxy，222,Pxy，当101x，21x时，由题意可得，12