第03讲 极值与最值（七大题型）（讲义）（原卷版）

第03讲极值与最值目录考点要求考题统计考情分析（1）借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件．（2）会用导数求函数的极大值、极小值．（3）会求闭区间上函数的最大值、最小值．2022年乙卷第16题，5分2022年I卷第10题，5分2022年甲卷第6题，5分2021年I卷第15题，5分2021年乙卷第10题，5分高考对最值、极值的考查相对稳定，属于重点考查的内容．高考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只要把握好导数作为研究函数的有力工具这一点，将函数的单调性、极值、最值等本质问题利用图像直观明了地展示出来，其余的就是具体问题的转化了．最终的落脚点一定是函数的单调性与最值，因为它们是导数永恒的主题．知识点一：极值与最值1、函数的极值函数()fx在点0x附近有定义，如果对0x附近的所有点都有0()()fxfx，则称0()fx是函数的一个极大值，记作0()yfx极大值．如果对0x附近的所有点都有0()()fxfx，则称0()fx是函数的一个极小值，记作0()yfx极小值．极大值与极小值统称为极值，称0x为极值点．求可导函数()fx极值的一般步骤（1）先确定函数()fx的定义域；（2）求导数()fx；（3）求方程()0fx的根；（4）检验()fx在方程()0fx的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数()yfx在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数()yfx在这个根处取得极小值．注：①可导函数()fx在点0x处取得极值的充要条件是：0x是导函数的变号零点，即0()0fx，且在0x左侧与右侧，()fx的符号导号．②0()0fx是0x为极值点的既不充分也不必要条件，如3()fxx，(0)0f，但00x不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数()fxx，在极小值点00x是不可导的，于是有如下结论：0x为可导函数()fx的极值点0()0fx；但0()0fx0x为()fx的极值点．2、函数的最值函数()yfx最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数()fx最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．导函数为21212()()()()fxaxbxcaxxxxmxxn（1）当0a时，最大值是1()fx与()fn中的最大者；最小值是2()fx与()fm中的最小者．（2）当0a时，最大值是2()fx与()fm中的最大者；最小值是1()fx与()fn中的最小者．一般地，设()yfx是定义在[]mn，上的函数，()yfx在()mn，内有导数，求函数()yfx在[]mn，上的最大值与最小值可分为两步进行：（1）求()yfx在()mn，内的极值（极大值或极小值）；（2）将()yfx的各极值与()fm和()fn比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．【解题方法总结】（1）若函数fx在区间D上存在最小值minfx和最大值maxfx，则不等式fxa在区间D上恒成立minfxa；不等式fxa在区间D上恒成立minfxa；不等式fxb在区间D上恒成立maxfxb；不等式fxb在区间D上恒成立maxfxb；（2）若函数fx在区间D上不存在最大（小）值，且值域为,mn，则不等式fxafxa或在区间D上恒成立ma．不等式fxbfxb或在区间D上恒成立mb．（3）若函数fx在区间Ｄ上存在最小值minfx和最大值maxfx，即,fxmn，则对不等式有解问题有以下结论：不等式afx在区间D上有解maxafx；不等式afx在区间D上有解maxafx；不等式afx在区间D上有解minafx；不等式afx在区间D上有解minafx；（4）若函数fx在区间D上不存在最大（小）值，如值域为,mn，则对不等式有解问题有以下结论：不等式afxfx或a在区间D上有解an不等式bfxfx或b在区间D上有解bm（5）对于任意的1,xab，总存在2m,xn，使得1212maxmaxfxgxfxgx；（6）对于任意的1,xab，总存在2m,xn，使得1212minminfxgxfxgx；（7）若存在1,xab，对于任意的2m,xn，使得1212minminfxgxfxgx；（8）若存在1,xab，对于任意的2m,xn，使得1212maxmaxfxgxfxgx；（9）对于任意的1,xab，2m,xn使得1212maxminfxgxfxgx；（10）对于任意的1,xab，2m,xn使得1212minmaxfxgxfxgx；（11）若存在1,xab，总存在2m,xn，使得1212minmaxfxgxfxgx（12）若存在1,xab，总存在2m,xn，使得1212maxminfxgxfxgx．题型一：求函数的极值与极值点【例1】（2023·全国·高三专题练习）若函数fx存在一个极大值1fx与一个极小值2fx满足21fxfx，则fx至少有（）个单调区间.A．3B．4C．5D．6【对点训练1】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R上的函数f（x），其导函数fx的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（）A．fbfafcB．函数fx在x＝c处取得最大值，在ex处取得最小值C．函数fx在x＝c处取得极大值，在ex处取得极小值D．函数fx的最小值为fd【对点训练2】（2023·全国·模拟预测）已知函数fx的导函数为fx，则“yfx在0,2上有两个零点”是“fx在0,2上有两个极值点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【对点训练3】（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）设函数fxxaxbxc，,,Rabc，fx为fx的导函数．(1)当0abc时，过点1,0P作曲线yfx的切线，求切点坐标；(2)若ab¹，bc，且fx和fx的零点均在集合22,2,3中，求fx的极小值．【对点训练4】（2023·河北·统考模拟预测）已知函数()ln()fxxaxb．(1)证明：当0,0ab时，fx有唯一的极值点为0x，并求0()fx取最大值时0x的值；(2)当0b时，讨论fx极值点的个数．【对点训练5】（2023·江苏无锡·校联考三模）已知函数πtanln1,,12fxxxx.求fx的极值；【解题方法总结】1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程()0fx根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越x轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与x轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．题型二：根据极值、极值点求参数【例2】（2023·贵州·校联考模拟预测）已知函数3fxaxbx在1x处取得极大值4，则ab（）A．8B．8C．2D．2【对点训练6】（2023·陕西商洛·统考三模）若函数32()(6)fxxaxax无极值，则a的取值范围为（）A．[3,6]B．(3,6)C．(,3][6,)D．(,3)(6,)【对点训练7】（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）函数ln1xgxx在区间,*ttN上存在极值，则t的最大值为（）A．2B．3C．4D．5【对点训练8】（2023·全国·高三专题练习）已知函数211ln2fxxaxax在xa处取得极小值，则实数a的取值范围为（）A．1,B．1,C．0,1D．0,1【对点训练9】（2023·广东梅州·梅州市梅江区梅州中学校考模拟预测）已知函数21eR2xfxxaxa有两个极值点，则实数a的取值范围（）A．,1B．0,1C．0,1D．1,【对点训练10】（2023·江苏扬州·高三扬州市新华中学校考开学考试）若x＝a是函数2()()(1)fxxax的极大值点，则a的取值范围是（）A．1aB．1aC．1aD．1a【解题方法总结】根据函数的极值（点）求参数的两个要领（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；（2）验证：求解后验证根的合理性．题型三：求函数的最值（不含参）【例3】（2023·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模）已知函数esin2xfxxx.(1)求曲线yfx在点(0,(0))f处的切线方程；(2)求fx在区间[1,1]上的最大值；【对点训练11】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知函数1lnxxfxx在区间[1,e]上最大值为M，最小值为m，则Mm的值是_______.【对点训练12】（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）已知函数()2sin(1cos)fxxx，则()fx的最大值是________．【对点训练13】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数1sin2cossinxfxxx，π0,2x，则函数fx的最小值为______.【对点训练14】（2023·山西·高三校联考阶段练习）已知0,0xy，且ln()eyxxy，则2lnxyxx的最小值为__________.【对点训练15】（2023·海南海口·统考模拟预测）已知正实数m，n满足：lnelnmnnnm，则nm的最小值为______.【解题方法总结】求函数fx在闭区间[],ab上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值fa，fb与fx的各极值进行比较得到函数的最值．题型四：求函数的最值（含参）【例4】（2023·天津和平·统考三模）已知函数lnfxxax，cos1exgxx，其中aR.(1)若曲线yfx在1x处的切线1l与曲线ygx在π2x处的切线2l平行，求a的值；(2)若0,πx时，求函数gx的最小值；(3)若fx的最小值为ha，证明：当0,a时，1ha.【对点训练16】（2023·全国·模拟预测）已知函数1ln2fxaxxa，aR．讨论函数fx的最值；【对点训练17】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知函数32116868ln432fxxaxaxaxa，其中Ra．(1)若a=2，求fx的单调区间；(2)已知24ff，求fx的最小值．（参考数据：112334ln2）【对点训练18】（2023·全国·高三专题练习）已知函数ln1exfxxax．(1)当1a时，讨论函数fx在0,上的单调性；(2)当0a时，求fx在1,0内的最大值；【对点训练19