重难点突破07 不等式恒成立问题（十大题型）（原卷版）

重难点突破07不等式恒成立问题目录1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）xD，minmfxmfx；（2）xD，maxmfxmfx；（3）xD，maxmfxmfx；（4）xD，minmfxmfx．3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数yfx，,xab，ygx，,xcd．（1）若1,xab，2,xcd，有12fxgx成立，则maxminfxgx；（2）若1,xab，2,xcd，有12fxgx成立，则maxmaxfxgx；（3）若1,xab，2,xcd，有12fxgx成立，则minmaxfxgx；（4）若1,xab，2,xcd，有12fxgx成立，则fx的值域是gx的值域的子集．4、法则1若函数()fx和()gx满足下列条件：（1）lim0xafx及lim0xagx；（2）在点a的去心邻域,,aaaa内，()fx与()gx可导且()0gx；（3）limxafxlgx，那么limxafxgx=limxafxlgx．法则2若函数()fx和()gx满足下列条件：（1）lim0xfx及lim0xgx；（2）0A，()fx和()gx在,A与,A上可导，且()0gx；（3）limxfxlgx，那么limxfxgx=limxfxlgx．法则3若函数()fx和()gx满足下列条件：（1）limxafx及limxagx；（2）在点a的去心邻域,,aaaa内，()fx与()gx可导且()0gx；（3）limxafxlgx，那么limxafxgx=limxafxlgx．注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：（1）将上面公式中的xa，,xx，xa，xa洛必达法则也成立．（2）洛必达法则可处理00，，0，1，0，00，型．（3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，，0，1，0，00，型定式，否则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限．（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止．limlimlimxaxaxafxfxfxgxgxgx，如满足条件，可继续使用洛必达法则．题型一：直接法例1．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数21eR2xfxxaa.(1)已知函数fx在0,0f处的切线与圆222230xyxy相切，求实数a的值.(2)已知0x时，2fxxaxa恒成立，求实数a的取值范围.例2．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数e,lnxfxagxxa，其中Ra．(1)讨论方程fxx实数解的个数；(2)当1x时，不等式fxgx恒成立，求a的取值范围．例3．（2023·全国·统考高考真题）已知函数2sinπ,0,cos2xfxaxxx．(1)当1a时，讨论fx的单调性；(2)若sin0fxx，求a的取值范围．变式1．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知函数lnfxmx，1exgx．(1)若曲线yfx在1,0处的切线与曲线ygx相交于不同的两点11,Axy，22,Bxy，曲线ygx在A，B点处的切线交于点00,Mxy，求120xxx的值；(2)当曲线yfx在1,0处的切线与曲线ygx相切时，若1,x，e1eefxgxaax恒成立，求a的取值范围．题型二：端点恒成立例4．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）设函数31π1sincos0,sin222fxxxxxgxfxxax．(1)求fx在π2x处的切线方程；(2)若任意0,x，不等式0gx恒成立，求实数a的取值范围．例5．（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知函数2()ln1fxxxax．(1)当0a时，求函数fx在点1,1f处的切线方程；(2)若函数yfx在1x处取得极值，求实数a的值；(3)若不等式0fx对[1,)x恒成立，求实数a的取值范围．例6．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知函数'ln1,,exaxfxxgxfx与'gx分别是fx与gx的导函数.(1)证明:当1a时,方程''fxgx在1,0上有且仅有一个实数根;(2)若对任意的0,x,不等式fxgx恒成立,求实数a的取值范围.变式2．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数313fxaxx，函数e2sinxgxxx.(1)求函数gx的单调区间；(2)记Fxgxfx，对任意的0x，0Fx恒成立，求实数a的取值范围.变式3．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数sinexxfx．(1)讨论fx在0,π上的单调性；(2)若对于任意π0,2x，若函数fxkx恒成立，求实数k的取值范围．变式4．（2023·四川泸州·统考三模）已知函数1e2xfxxax．(1)若fx单调递增，求a的取值范围；(2)若0x，sincosfxxx，求a的取值范围．题型三：端点不成立例7．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数()ln(0)fxaxxa．(1)讨论函数()fx的极值；(2)当0x时，不等式2()sin[()]1eaxxfxfx恒成立，求a的取值范围．例8．（2023·江苏南京·高二南京市中华中学校考期末）已知函数()lnln(1)2(0)fxxaaxa．(1)讨论()fx的单调性；(2)若不等式2e()xfx恒成立，求实数a的取值范围．例9．（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数ln1xfxxx．(1)求fx的单调区间；(2)若对于任意的0,x，1exfxxax恒成立，求实数a的最小值．变式5．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知函数lnfxaxx，Ra．(1)若1ea，求函数fx的最小值及取得最小值时的x值；(2)若函数e1lnxfxxax对0,x恒成立，求实数a的取值范围．变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数1elnxfxax，其中Ra．(1)当1a时，讨论fx的单调性；(2)当0,πx时，21cos1fxx≥恒成立，求实数a的取值范围．题型四：分离参数之全分离，半分离，换元分离例10．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）已知函数222lnxfxaxxaa.(1)若0,afx的极大值为3，求实数a的值；(2)若220,,e1xxfxaxaxxa，求实数a的取值范围.例11．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）设函数exfxax，0x且Ra．(1)求函数fx的单调性；(2)若21fxx恒成立，求实数a的取值范围．例12．（2023·河北·模拟预测）已知函数eeRxfxaxa.(1)讨论函数fx的单调性；(2)若存在实数a，使得关于x的不等式fxa恒成立，求实数的取值范围.变式7．（2023·福建三明·高三统考期末）已知函数1sinexxfxx，ππ,2x.(1)求证：fx在ππ,2上单调递增；(2)当π,0时，sinecossinxfxxxkx≤恒成立，求k的取值范围.变式8．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知函数2e1xfxkx，fx为fx的导函数．(1)讨论fx的极值；(2)当1x时，exfxx，求k的取值范围．变式9．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知()ln1(R)fxxkxk，()(e2)xgxx.(1)求()fx的极值；(2)若()()gxfx，求实数k的取值范围.变式10．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知函数2ln1xfxx.(1)求函数fx的极值点个数；(2)若不等式23111mxfxmx在1,上恒成立，求m可取的最大整数值.变式11．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知函数1exfxaaxaR．(1)讨论fx的单调性；(2)若20,1xfxxx，求实数a的取值范围．题型五：洛必达法则例13．已知函数()=ln(,)fxaxbxabR在12x处取得极值，且曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线与直线10xy垂直.(1)求实数,ab的值；(2)若[1,)x，不等式()(2)mfxmxx恒成立，求实数m的取值范围.例14．设函数()1xfxe.当0x时，()1xfxax，求a的取值范围.例15．设函数sin()2cosxfxx．如果对任何0x≥，都有()fxax≤，求a的取值范围．22sin2sin2sin(sin)xxxxxx题型六：同构法例16．（2023·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）已知函数1e,xfxgxx.(1)若hxfxmgxmR，判断hx的零点个数；(2)当0x时，不等式1eln2axfxxgx恒成立，求实数a的取值范围.例17．（2023·湖南常德·常德市一中校考一模）已知函数e0axfxaaa，12lngxxxx.(1)若fx在点00f，处的切线与gx在点()()1,1g处的切线互相平行，求实数a的值；(2)若对0x，fxgx恒成立，求实数a的取值范围.例18．（2023·河南郑州·高二郑州市第二高级中学校考阶段练习）已知e是自然对数的底数．若0,x，elnmxmx成立，则实数m的最小值是________．变式12．（2023·广西柳州·统考三模）已知exfxx，lnagxxax（0a），若fxgx在1,x上恒成立，则实数a的最小值为（）A．2eB．eC．eD．e2变式13．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知函数