重难点突破11 导数中的同构问题（六大题型）（原卷版）

重难点突破11导数中的同构问题目录方法技巧总结一、常见的同构函数图像函数表达式图像函数表达式图像lnyxxlnyxx函数极值点1,1lnyxx函数极值点11,eelnxyx函数极值点1,eelnxyx函数极值点,eexyex过定点0,1xyex函数极值点0,1xyxe函数极值点11,exeyx函数极值点1,exxye函数极值点11,e方法技巧总结二：同构式的基本概念与导数压轴题1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式2、同构式的应用：（1）在方程中的应用：如果方程0fa和0fb呈现同构特征，则,ab可视为方程0fx的两个根（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．同构小套路①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：xfxxe，xfxex；寻找“亲戚函数”是关键；③信手拈来凑同构，凑常数、x、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围．（3）在解析几何中的应用：如果1122,,,AxyBxy满足的方程为同构式，则,AB为方程所表示曲线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线AB的方程（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于,nan与1,1nan的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解3、常见的指数放缩：)1();0(1xexexxexx4、常见的对数放缩：)(ln);1(1ln11exexxxxxx5、常见三角函数的放缩：xxxxtansin,2,06、学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式：（1）0a当且1,0ax时，有logaxax（2）当0a且1a时，有logxaax再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中0x）（3）lnee;lnlnexxxxxxxx（4）ln:lnlnxxxxeeexxxx（5）22ln2ee;2lnlnexxxxxxxx（6）2ln2ln22,xxxxxxeeeexx再结合常用的切线不等式lnxx-1，ln,e1,eeexxxxxx等，可以得到更多的结论，这里仅以第（3）条为例进行引申：（7）lneeln1xxxxxx；lnlnee1xxxxxx（8）lneee(ln)xxxxxx；1lnlnxxxxexxxexee7、同构式问题中通常构造亲戚函数xxe与lnxx，常见模型有：①1lnlnlnlnloglnlnlnlnlnlnxxaxaxeaxaxexaexxxexaxaea；②lnln1lnlnlnlnxxxxxxeexxexxxexexxe；③ln1ln11ln1ln1xaxeaxxxexaxx8、乘法同构、加法同构（1）乘法同构，即乘x同构，如lnlnlnlnlnlnlnxaxaxaexxaexe；（2）加法同构，即加x同构，如loglogloglogaxxxaaaaxaxxxax，（3）两种构法的区别：①乘法同构，对变形要求低，找亲戚函数xxe与lnxx易实现，但构造的函数xxe与lnxx均不是单调函数；②加法同构，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数不等式求参数范围；题型一：不等式同构例1．（2023·四川达州·高二校考阶段练习）已知1,,,eabc，且ln55lnaa，ln33lnbb，ln22lncc，则（）A．bcaB．cbaC．acbD．abc例2．（2023·湖北黄石·高二校考期中）已知,,(1,)abc．且2ln22ln12aa，212ln1ebb，2lnπ2ln1πcc，则（）A．bacB．bcaC．abcD．cab例3．（2023·陕西榆林·高二校考期末）已知a，b，(0,1)c，且5lnln5aa，4lnln4bb，3lnln3cc，则a，b，c的大小关系是（）A．bcaB．acbC．abcD．cba变式1．（2023·河南·高二校联考期中）已知0.5ln2a，0.4ln5ln2b，8ln3ln29c，则a，b，c的大小顺序是（）A．abcB．bacC．cbaD．acb变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知0πxy，且esinesinyxxy，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（）A．cocos0sxyB．coscos0xyC．cossinxyD．sinsinxy变式3．（2023·江西赣州·高二江西省信丰中学校考阶段练习）已知函数()fx的导数()fx满足()(1)()0fxxfx对xR恒成立，且实数x，y满足(1)()(1)()0xfxyfy，则下列关系式恒成立的是（）A．331111xyB．xyeeC．xyxyeeD．sinsinxyxy题型二：同构变形例4．（2023·全国·高三专题练习）对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．(1)2log20kxxk；(2)21eln0xx；(3)2lne0mxxxm；(4)1e12lnaxaxxx；(5)ln1212exaxxax；(6)lne(1)xaxaxxx；(7)e2ln0xxx；(8)2eln0xxx．题型三：零点同构例5．（2023·全国·高三专题练习）设,Rxy，满足5512sin1312sin11xxxyyy，则xy（）A．0B．2C．4D．6例6．（2023·全国·高二专题练习）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于a的方程24eeaa和关于b的方程31(ln2),bbabeR可化为同构方程，则ab的值为（）A．8eB．eC．ln6D．1例7．（2023·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习）已知函数exaxfx和lnxgxax有相同的最大值b.(1)求,ab；(2)证明：存在直线ym，其与两条曲线yfx和ygx共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.变式4．（2023·安徽安庆·高三校联考阶段练习）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于a的方程6aaee和关于b的方程31(ln2)(,)bbeabR可化为同构方程.（1）求ab的值；（2）已知函数1()(ln)3fxxx.若斜率为k的直线与曲线'()yfx相交于11(,)Axy，2212(,)()Bxyxx两点，求证：.121xxk变式5．（2023·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期末）设函数fx的定义域为D，若函数fx满足条件：存在,abD，使fx在,ab上的值域为,mamb（其中0,1)m，则称fx为区间,ab上的“m倍缩函数”.(1)证明：函数3fxx为区间11,22上的“14倍缩函数”；(2)若存在,Rab，使函数2log2xfxt为,ab上的“12倍缩函数”，求实数t的取值范围；(3)给定常数0k，以及关于x的函数1kfxx，是否存在实数,()abab，使fx为区间,ab上的“1倍缩函数”.若存在，请求出,ab的值；若不存在，请说明理由.变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数ln11fxxx．(1)求函数fx的单调区间；(2)设函数elnxgxaxa，若函数Fxfxgx有两个零点，求实数a的取值范围．变式7．（2023·全国·统考高考真题）已知函数()xfxeax和()lngxaxx有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线yb，其与两条曲线()yfx和()ygx共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数llnfxaxx和lnbxgxx有相同的最大值，并且eab.(1)求,ab；(2)证明：存在直线yk，其与两条曲线yfx和ygx共有三个不同的交点，且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.变式9．（2023·江苏常州·高三统考阶段练习）已知函数emxxfx和lnmxgxx有相同的最大值.(1)求实数m的值；(2)证明：存在直线yn，其与两曲线yfx和ygx共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.题型四：利用同构解决不等式恒成立问题例8．（2023·全国·高三专题练习）完成下列各问（1）已知函数elnxfxxaxx，若0fx恒成立，则实数a的取值范围是_______；（2）已知函数eln1xfxxaxx，若0fx恒成立，则正数a的取值范围是_______；（3）已知函数e+eln1xfxxaxx，若0fx恒成立，则正数a的取值范围是_______；（4）已知不等式e1lnxxaxx对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围是_______；（5）已知函数eln1(1)bxfxxaxxx，其中0b，若0fx恒成立，则实数a与b的大小关系是_______；（6）已知函数eln1xfxax，若0fx恒成立，则实数a的取值范围是_______；（7）已知函数2eln21xfxax，若0fx恒成立，则实数a的取值范围是_______；（8）已知不等式e1lnxkxx，对0x，恒成立，则k的最大值为_______；（9）若不等式eln10axaxxx对0x恒成立，则实数a的取值范围是_______；例9．（2023·全国·高三专题练习）已知2023fxx.设实数0m，若对任意的正实数x，不等式lnemxxffm恒成立，则m的最小值为___________.例10．（2023·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）已知不等式1lnmxxmxxe对1,x恒成立，则实数m的最小值为__________.变式10．设实数0，若对任意的(0,)x，不等式0xlnxe…恒成立，则的最小值为()A．1eB．12eC．2eD．3e变式11．设实数0a，若对任意的[xe，)，不等式20axaexlnx„恒成立，则a的最大值为()A．1eB．2eC．2eD．e变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数lnexafxxax，2gxxx，当0,x时，fxgx恒成立，则实数a的取值范围是（）A．21,eB．1,eC．1,D．e,变式13．（2023·云南·校联考模拟预测）已知函数ln22fxxx，elnxgxaxa.(1)求函数fx的极值；(2)请在下列①②中选择一个作答（注意：若选两个分别作答则