第05讲 对数与对数函数（五大题型）（讲义）（解析版）

第05讲对数与对数函数目录考点要求考题统计考情分析（1）理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.（2）通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.（3）了解指数函数xya与对数函数aylogx(0a，且1a)互为反函数．2022年天津卷第6题，5分2022年浙江卷第7题，5分2022年I卷I卷第7题，5分从近五年的高考情况来看，对数运算与对数函数是高考的一个重点也是一个难点，常与二次函数、幂函数、指数函数、三角函数综合，考查数值大小的比较和函数方程问题.1、对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0xaNa且1)a，那么数x叫做以a为底N的对数，记作logaxN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以(0aa且1)a为底，记为logNa，读作以a为底N的对数；②常用对数：以10为底，记为lgN；③自然对数：以e为底，记为lnN；(3)对数的性质和运算法则：①1log0a；log1aa；其中0a且1a；②logNaaN(其中0a且1a，0N)；③对数换底公式：logloglogcacbba；④log()loglogaaaMNMN；⑤logloglogaaaMMNN；⑥loglog(mnaanbbmm，)nR；⑦logabab和logbaab；⑧1loglogabba；2、对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数logayx(0a且1)a叫做对数函数．对数函数的图象1a01a图象性质定义域：(0)，值域：R过定点(10)，，即1x时，0y在(0)，上增函数在(0)，上是减函数当01x时，0y，当1x时，当01x时，0y，当1x时，0yxyx=1(1,0)xalogOxyx=1(1,0)xalogO0y【解题方法总结】1、对数函数常用技巧在同一坐标系内，当1a时，随a的增大，对数函数的图象愈靠近x轴；当01a时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．(见下图)题型一：对数运算及对数方程、对数不等式【例1】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）1ln343131e81log2______．【答案】1【解析】114ln3144313131e81log33log(31)33112.故答案为：1【对点训练1】（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）已知lg2ab，10ba，则a______．【答案】110/0.1【解析】由题设1log10lgaba，则1lg2lgaa且0a，所以22lg2lg1(lg1)0aaa，即lg1a，故110a.故答案为：110【对点训练2】（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）方程2lg(2)lg3xx的解集为________．【答案】|1xx【解析】因为2lg(2)lg3xx,则22232030xxxx，解得=1x，yx11a增大a增大xxxxa4a3a2a1loglogloglogO所以方程2lg(2)lg3xx的解集为|1xx.故答案为：|1xx【对点训练3】（2023·山东淄博·统考二模）设0,0pq，满足469logloglog2pqpq，则pq__________.【答案】12/0.5【解析】令469logloglog2pqpqk，则4,6,29kkkpqpq，所以22469kkkpq，整理得2222133kkk，解得2132kk(负值舍去)，所以421632kkkkpq.故答案为：12.【对点训练4】（2023·天津南开·统考二模）计算34223log32log9loglog64的值为______.【答案】8【解析】原式2523223222233=log2log3loglog65log2log3loglog6442222365loglog65log5log88344.故答案为：8.【对点训练5】（2023·全国·高三专题练习）若14log2a，145b，用a，b表示35log28____________【答案】11aba【解析】因为145b，所以14log5b，1414143514141414log28log14log21log28log35log14log5log21aba.故答案为：11aba.【对点训练6】（2023·上海·高三校联考阶段练习）若123abm，且112ab，则m__________．【答案】2【解析】123abm，且112ab，0m且1m，123log,logambm，11log12,log3mmab，11log12log3log42mmmab，2m.故答案为：2.【对点训练7】（2023·全国·高三专题练习）226622lg3lg2log3log2lg3lg2=____________；【答案】1【解析】原式226662lg3lg2log3lllg6gog2226666log3log22log3log2266log3log226log61．故答案为：1.【对点训练8】（2023·全国·高三专题练习）解关于x的不等式2)lg(o24xx解集为_____．【答案】1(0,)2【解析】不等式222log24log24(log2)(4)202xxxxxx，解240x，即222x，有21x，解得12x，解224xx，即22220xx，化为2)(21)0(2xx，有21x，解得0x，因此102x，所以不等式2)lg(o24xx解集为1(0,)2.故答案为：1(0,)2【对点训练9】（2023·上海杨浦·高三上海市杨浦高级中学校考开学考试）已知函数fx是定义在R上的奇函数，当0x时，2logfxx，则2fx的解集是__________.【答案】14,0,4【解析】当0x时，0x，所以2()logfxx，因为函数()fx是定义在R上的奇函数，所以2()()logfxfxx，所以当0x时，2()logfxx，所以22log,0()0,0log,0xxfxxxx，要解不等式()2fx，只需20log2xx或20log2xx或002x，解得14x或40x或0x，综上，不等式的解集为14,0,4.故答案为：14,0,4.【对点训练10】（2023·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）方程42log17xx的解为_________．【答案】4x【解析】设函数42logxfxx，0,x，由于函数42,logxyyx在0,x上均为增函数，又4442log416117f，故方程42log17xx的解为4x.故答案为：4x.【解题方法总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.题型二：对数函数的图像【例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数logayxb（a，b为常数，其中0a且1a）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．0.5a，2bB．2a，2bC．0.5a，0.5bD．2a，0.5b【答案】D【解析】由图象可得函数在定义域上单调递增，所以1a，排除A，C；又因为函数过点(0.5,0),所以0.51b，解得0.5b．故选：D【对点训练11】（2023·全国·高三专题练习）函数()log(1)2afxx的图象恒过定点（）A．(2,2)B．(2,1)C．(3,2)D．(2,0)【答案】A【解析】当2x时(2)log122af，即函数图象恒过(2,2).故选：A【对点训练12】（2023·北京·统考模拟预测）已知函数22log1fxxx，则不等式()0fx的解集为（）A．,12,B．0,12,C．1,2D．1,【答案】B【解析】由题意，不等式()0fx，即22log10xx，等价于22log1xx在0,上的解，令2loggxx，21hxx，则不等式为gxhx，在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示，可得不等式()0fx的解集为0,12,，故选：B【对点训练13】（2023·北京·高三统考学业考试）将函数2logyx的图象向上平移1个单位长度，得到函数yfx的图象，则fx（）A．2log1xB．21logxC．2log1xD．21logx【答案】B【解析】将函数2logyx的图象向上平移1个单位长度，得到函数21logyx.故选：B.【对点训练14】（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）不等式32log(1)(2)0xxx的解集为__________．【答案】13xx【解析】由3312log(1)(2)0log(1)(2)2xxxxxx，在同一直角坐标系内画出函数31log,(1)(2)2fxxgxxx的图象如下图所示：因为331fg，所以由函数的图象可知：当(1,3)x时，有fxgx，故答案为：13xx【对点训练15】（多选题）（2023·全国·高三专题练习）当102x时，4logxax，则a的值可以为（）A．22B．32C．63D．2【答案】ABC【解析】分别记函数()4xfx，()logagxx由图1知，当1a时，不满足题意；当01a时，如图2，要使102x时，不等式4logxax恒成立，只需满足11()()22fg，即1214log2a，即12log2a，解得212a.故选：ABC【解题方法总结】研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数3()log(1)fxax，若()fx在(,1]上为减函数，则a的取值范围为（）A．(0,)B．(0,1)C．(1,2)D．(,1)【答案】B【解析】设函数1yax，因为()fx在(,1]上为减函数，所以1yax在(,1]上为减函数，则0a解得0a，又因为10yax在(,1]恒成立，所以min10ya解得1a，所以a的取值范围为01a，故选:B.【对点训练16】（2023·新疆阿勒泰·统考三模）正数,ab满足2224loglogabba，则a与2b大小关系为______．【答案】2ab/2ba【解析】因为2224loglogabba，所以22222222log4log2loglog212log21abbbabbb，设2()2logxfxx，则()(2)1fafb，所以()(2)fafb，又因为2xy与2logyx在(0,)上单调递增，所以2()2logxfxx