第06讲 函数的图象（六大题型）（讲义）（解析版）

第06讲函数的图象目录考点要求考题统计考情分析（1）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.（2）会画简单的函数图象.（3）会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.2022年天津卷第3题，5分2022年全国乙卷第8题，5分2022年全国甲卷第5题，5分基本初等函数的图像是高考中的重要考点之一，是研究函数性质的重要工具．高考中总以一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等的图像为基础来考查函数图像，往往结合函数性质一并考查，考查的内容主要有知式选图、知图选式、图像变换以及灵活地应用图像判断方程解的个数，属于每年必考内容之一．一、掌握基本初等函数的图像（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数．二、函数图像作法1、直接画①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）．2、图像的变换（1）平移变换①函数()(0)yfxaa的图像是把函数()yfx的图像沿x轴向左平移a个单位得到的；②函数()(0)yfxaa的图像是把函数()yfx的图像沿x轴向右平移a个单位得到的；③函数()(0)yfxaa的图像是把函数()yfx的图像沿y轴向上平移a个单位得到的；④函数()(0)yfxaa的图像是把函数()yfx的图像沿y轴向下平移a个单位得到的；（2）对称变换①函数()yfx与函数()yfx的图像关于y轴对称；函数()yfx与函数的图像关于x轴对称；函数()yfx与函数()yfx的图像关于坐标原点(0,0)对称；②若函数()fx的图像关于直线xa对称，则对定义域内的任意x都有()()faxfax或()(2)fxfax（实质上是图像上关于直线xa对称的两点连线的中点横坐标为a，即()()2axaxa为常数）；若函数()fx的图像关于点(,)ab对称，则对定义域内的任意x都有()2(2)()2()fxbfaxfaxbfax或③()yfx的图像是将函数()fx的图像保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分关于x轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示④()yfx的图像是将函数()fx的图像只保留y轴右边的部分不变，并将右边的图像关于y轴对称得到函数()yfx左边的图像即函数()yfx是一个偶函数（如图（c）所示）．注：()fx的图像先保留()fx原来在x轴上方的图像，做出x轴下方的图像关于x轴对称图形，然后擦去x轴下方的图像得到；而()fx的图像是先保留()fx在y轴右方的图像，擦去y轴左方的图像，然后做出y轴右方的图像关于y轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换．⑤函数1()yfx与()yfx的图像关于yx对称．（3）伸缩变换①()(0)yAfxA的图像，可将()yfx的图像上的每一点的纵坐标伸长(1)A或缩短(01)A到原来的A倍得到．②()(0)yfx的图像，可将()yfx的图像上的每一点的横坐标伸长(01)或缩短(1)到原来的1倍得到．【解题方法总结】（1）若)()(xmfxmf恒成立，则)(xfy的图像关于直线mx对称．（2）设函数)(xfy定义在实数集上，则函数)(mxfy与)(xmfy)0(m的图象关于直线mx对称．（3）若)()(xbfxaf，对任意xR恒成立，则)(xfy的图象关于直线2bax对称．（4）函数()yfax与函数()yfbx的图象关于直线2abx对称．（5）函数..()yfx..与函数(2)yfax的图象关于直线xa对称．（6）函数()yfx与函数2(2)ybfax的图象关于点()ab，中心对称．（7）函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”．题型一：由解析式选图（识图）【例1】（2023·山东烟台·统考二模）函数(sinsin2)yxxx的部分图象大致为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由(sinsin2)yfxxxx，得sinsin2sinsin2fxxxxxxxfx，所以fx为偶函数，故排除BD.当π2x时，ππππ(sinsinπ)02222yf，排除A.故选：C.【对点训练1】（2023·重庆·统考模拟预测）函数221(2)ln2yxx的图像是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为221(2)ln2yxx，令0y，则2201(2)ln2xx，即220x，解得2x，或2ln0x，解得1x，所以当0x时，函数有1个零点，当0x时，函数有2个零点，所以排除AD；当0x时，2222122ln22lln21(2)nxxxxyxx，则2222lnxyxxx，当2x时，0y，所以当2,x时，0y，函数单调递增，所以B正确；故选：B.【对点训练2】（2023·安徽安庆·安庆市第二中学校考二模）函数21sin241fxxx的部分图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由解析式可得12x，010f，排除A；观察C、D选项，其图象关于纵轴对称，而21sin241fxxfxx，说明fx不是偶函数，即其函数图象不关于纵轴对称，排除C、D；显然选项B符合题意.故选：B【对点训练3】（2023·全国·模拟预测）函数23cos22xxxfx的大致图像为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为23cos22xxxfx，其定义域为R，所以23cos22xxxfxfx，所以fx为偶函数，排除选项A，D，又因为12cos423cos44f，因为3π4π,2，所以cos40，所以20f，排除选项C.故选：B.【解题方法总结】利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项，从而筛选出正确答案题型二：由图象选表达式【例2】（2023·四川遂宁·统考二模）数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音．如图为某段乐音的图像，则该段乐音对应的函数解析式可以为（）A．11sinsin2sin323yxxxB．11sinsin2sin323yxxxC．11sincos2cos323yxxxD．11coscos2cos323yxxx【答案】A【解析】对于A，函数11sinsin2sin323yfxxxx，因为11sinsin2sin323fxxxxfx，所以函数为奇函数，又π2121220422623f，故A正确；对于B，函数11sinsin2sin323yfxxxx，因为11sinsin2sin323fxxxxfx，所以函数为奇函数，又π212211.51042263232f，故B错误；对于C，函数11sincos2cos323yfxxxx，因为11500236f，故C错误；对于D，函数11()coscos2cos323yfxxxx，1111010236f，故D错误，故选：A．【对点训练4】（2023·全国·校联考模拟预测）已知函数()fx在22,上的图像如图所示，则()fx的解析式可能是（）A．2()2exfxB．2()||2fxxxC．2||()2exfxxD．2()ln2||21fxxx【答案】C【解析】由题图，知函数()fx的图像关于y轴对称，所以函数()fx是偶函数，故排除A；对于B，222,0()2,0xxxfxxxx，虽然函数()fx为偶函数且在10,2上单调递减，在1,22上单调递增，但(2)0f，与图像不吻合，排除B；对于D，因为2()ln(||1)11()fxxfx，所以函数()fx是偶函数，但(2)ln210f，与图像不吻合，排除D；对于C，函数()fx为偶函数，图像关于y轴对称，下面只分析y轴右侧部分．当(0,2)x时，2()2exfxx，()4exfxx，令()4exxx，求导，得()4exx．当(0,ln4)x时，()0x，()fx单调递增，当(ln4,2)x时，()0x，()fx单调递减，所以()fx在ln4x处取得最大值．又因为(0)0f，(ln4)0f，(2)0f，所以0(0,ln4)x，使得00fx，当00,xx时，()0fx，()fx单调递减，当0,2xx时，()0fx，()fx单调递增，228e0f与图像吻合.故选：C．【对点训练5】（2023·河北·统考模拟预测）已知函数fx的部分图象如图所示，则fx的解析式可能为（）A．cosπ1fxxxB．1cosπfxxxC．1πsinfxxxD．3221fxxxx【答案】B【解析】对于A选项，00f，A选项错误；对于C选项，00f，C选项错误；对于D选项，fx2341xx，0fx有两个不等的实根，故fx有两个极值点，D选项错误．对于B选项，1cosπfxxx，00f；当11,,Z22xk时，cosπ0x，10x，此时0fx，当1,1,Z2xk时，cosπ0x，10x，此时0fx，当31,,Z2xk时，cosπ0x，10x，此时0fx，依次类推可知fx函数值有正有负；显然fx不单调；因为当1,Z2xkk时0fx，所以fx有多个零点；因为21,23ff，所以22,22ffff，所以fx既不是奇函数也不是偶函数，以上均符合，故B正确.故选：B．【对点训练6】（2023·贵州遵义·校考模拟预测）已知函数fx在4,4上的大致图象如下所示，则fx的解析式可能为（）A．π31cos42xxfxB．21610xxfxC．4fxxxD．πsin4xfxx【答案】B【解析】函数图象关于y轴对称，函数为偶函数，选项D中函数满足ππ()sin()sin()44xxfxxxfx，为奇函数，排除D；又选项C中函数满足(2)4f，与图象不符，排除C；选项A中函数满足2π32(1cos)4(2)32f，与图象不符，排除A，只有B可选．故选：B．【解题方法总结】1、从定义域值域判断图像位置；2、从奇偶性判断对称性；3、从周期性判断循环往复；4、从单调性判断变化趋势；5、从特征点排除错误选项．题型三：表达式含参数的图象问题【例3】（2023·全国·高三专题练习）在同一直角坐标系中，函数logayx，10ayax，且1a的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为函数logayx的图象与函数logayx的图象关于y轴对称，所以函数logayx的图象恒过定点1,0，故选项A、B错误；当1a时，函数logayx在0,上单调递增，所以函数logayx在,0上单调递减，又11ayax在,0和0,上单调递减，故选