第08讲 函数模型及其应用（五大题型）（讲义）（解析版）

第08讲函数模型及其应用目录考点要求考题统计考情分析（1）了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异．（2）理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义．（3）会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．2020年II卷第3题，5分2020年I卷第6题，5分高考对函数模型的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．2024年高考可能结合函数与生活应用进行考察，对学生建模能力和数学应用能力综合考察．1、几种常见的函数模型：函数模型函数解析式一次函数模型abaxxf()(，b为常数且)0a反比例函数模型kbxkxf()(，b为常数且)0a二次函数模型acbxaxxf()(2，b，c为常数且)0a指数函数模型acbaxfx()(，b，c为常数，0b，0a，1)a对数函数模型acxbxfa(log)(，b，c为常数，0b，0a，1)a幂函数模型abaxxfn()(，b为常数，)0a2、解函数应用问题的步骤：（1）审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型；（3）解模：求解数学模型，得出结论；（4）还原：将数学问题还原为实际问题．题型一：二次函数模型，分段函数模型【例1】（2023·全国·高三专题练习）汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6m，乙车的刹车距离略超过10m.已知甲车的刹车距离ms与车速km/hv之间的关系为21110010Svv甲，乙车的刹车距离ms与车速km/hv之间的关系为21120020svv乙.请判断甲、乙两车哪辆车有超速现象（）A．甲、乙两车均超速B．甲车超速但乙车未超速C．乙车超速但甲车未超速D．甲、乙两车均未超速【答案】C【解析】对于甲车，令211610010vv，即2106000vv解得20km/hv（舍）或30km/hv，所以甲未超速；对于甲车，令2111020020vv，即21020000vv解得40km/hv（舍）或50km/hv，所以乙超速；故选:C.【对点训练1】（2023·全国·高三专题练习）如图为某小区七人足球场的平面示意图，AB为球门，在某次小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线5米的P点处接球，此时5tan31APB，假设甲沿着平行边线的方向向前带球，并准备在点Q处射门，为获得最佳的射门角度（即AQB最大），则射门时甲离上方端线的距离为（）A．55B．56C．102D．103【答案】B【解析】设ABx，并根据题意作如下示意图，由图和题意得：25PH，10BH，所以102tan255BHBPHHP，且5tan31APB，所以523315tantan5251315APHAPBBPH，又10tan25AHABBHxAPHPHPH，所以103255x，解得5x，即5AB，设QHh，0,25h，则222215AQQHAHh，222210BQQHBHh，所以在AQB中，有222242150cos232522500AQBQABhAQBAQBQhh，令2150150775mhm，所以2150hm，所以221cos375025150325150225001mAQBmmmm，因为150775m，所以111775150m，则要使AQB最大，即21cos3750251AQBmm要取得最小值，即23750251mm取得最大值，即23750251mm在111775150m取得最大值，令111,775150tm，23750251fttt，所以ft的对称轴为：1300t，所以ft在11,775300单调递增，在11,300150单调递减，所以当1300t时，ft取得最大值，即AQB最大，此时11300m，即300m，所以2150h，所以56h，即为获得最佳的射门角度（即AQB最大），则射门时甲离上方端线的距离为：56.故选：B.【对点训练2】（2023·云南·统考二模）下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格：一次购买件数5-10件11-50件51-100件101-300件300件以上每件价格37元32元30元27元25元张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具（）A．116件B．110件C．107件D．106件【答案】C【解析】设购买的件数为x，花费为y元，则37,11032,115030,5110027,10130025,300xxxxyxxxxxx，当107x时，28892990y，当108x时，29162900y，所以最多可购买这种产品107件，故选：C.【对点训练3】（2023·全国·高三专题练习）某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本x万元.其中210,0401000071945,40xxxxxxx，若该公司一年内生产该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为（）A．720万元B．800万元C．875万元D．900万元【答案】C【解析】该企业每年利润为2701025,04010000707194525,40xxxxfxxxxx当040x时，226025(30)875fxxxx在30x时，fx取得最大值875；当40x时，10000100009209202720fxxxxx（当且仅当100x时等号成立），即在100x时，fx取得最大值720；由875720，可得该企业每年利润的最大值为875.故选：C【解题方法总结】1、分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当做几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．2、构造分段函数时，要准确、简洁，不重不漏．题型二：对勾函数模型【例2】（2023·全国·高三专题练习）某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（）A．8B．10C．12D．13【答案】B【解析】设该企业需要更新设备的年数为xxN，设备年平均费用为y万元，则x年后的设备维护费用为22246212xxxxx，所以x年的平均费用为1000.5110031003432222xxxyxxxxx（万元），当且仅当10x时，等号成立，因此，为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为10.故选：B.【对点训练4】（2023·全国·高三专题练习）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2018年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式23.1xt已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是___________万元.【答案】37.5【解析】根据题意，得到21,(13)3txx，进而得到月利润的表示，结合基本不等式，即可求解.由题意，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足231xt，即21,(13)3txx，所以月利润为15321.5323163162232ttyxxtxxxx145.5[16(3)]45.521637.53xx，当且仅当116(3)3xx时，即114x时取等号，即月最低利润为37.5万元.故答案为:37.5.【对点训练5】（2023·全国·高三专题练习）迷你KTV是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV的横截面示意图，其中32ABAE，90ABE，曲线段CD是圆心角为90的圆弧，设该迷你KTV横截面的面积为S，周长为L，则SL的最大值为___________．（本题中取3进行计算）【答案】12315【解析】设圆弧的半径为3(0)2xx，根据题意可得：32BCDEABxx22213339····422244xSAEDEABDEAExxxxxx226242xxLABBCDEx2913642xSLx，29242SxLx令242tx(2124)t，则2249241352,1224ttStxLtt根据基本不等式，135135231544tt，当却仅当1354tt，即615t时取“=”.6152124，，615t时，12315maxSL故答案为：12315.【对点训练6】（2023·全国·高三专题练习）砖雕是江南古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分．已知扇环周长300cm，大扇形半径100cmOD，设小扇形半径cmOAx，AOB弧度，则①关于x的函数关系式()x_________．②若雕刻费用关于x的解析式为()101700wxx，则砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为________．【答案】1002100xx，0,100x；3【解析】由题意可知，AOB，OAx，100OD，所以ABx，100ADBCx，DC100，扇环周长ABADBCDC2002100300xx，解得1002,0,100100xxx，砖雕面积即为图中环形面积，记为S，则12DOCAOBSSSODDC扇形扇形12OAAB22111002100100500050002222100xxxxxx，即雕刻面积与雕刻费用之比为m，则210000100210050()210101017000170xxwxmxxxxxS，令170tx，则170xt，22701203901202701227039101010tttttmttt122702393639310tt，当且仅当180t时（即10x）取等号，所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为3.故答案为：1002100xx，0,100x；3【解题方法总结】1、解决此类问题一定要注意