第01讲 平面向量的概念、线性运算及坐标表示（六大题型）（讲义）（解析版）

第01讲平面向量的概念、线性运算及坐标表示目录考点要求考题统计考情分析（1）理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义．（2）掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义．（3）了解平面向量基本定理及其意义（4）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算2023年北京卷第3题，5分2022年I卷第3题，5分2021年乙卷（文）第13题，5分2022年乙卷（文）第3题，5分通过对近5年高考试题分析可知，高考在本节以考查基础题为主，考查形式也较稳定，考查内容一般为平面向量基本定理与坐标运算，预计后面几年的高考也不会有大的变化．知识点一．向量的有关概念（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．（2）向量的模：向量AB的大小，也就是向量AB的长度，记作||AB．（3）特殊向量：①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．②单位向量：长度等于1个单位的向量．③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．④相等向量：长度相等且方向相同的向量．⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．知识点二．向量的线性运算和向量共线定理（1）向量的线性运算运算定义法则（或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则①交换律abba②结合律()abc=()abc减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则()abab数乘求实数与向量a的积的运算（1）||||||aa（2）当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相同；当0时，0a()()aa()aaa()abab【注意】（1）向量表达式中的零向量写成0，而不能写成0．（2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系．（3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．（4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：OAOBBA，AMANNM，+OAOBCAOAOBCABACABAACBC．知识点三．平面向量基本定理和性质a+bbaa+bbabaa-b1、共线向量基本定理如果()abR，则//ab；反之，如果//ab且0b，则一定存在唯一的实数，使ab．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．2、平面向量基本定理如果1e和2e是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量a，都存在唯一的一对实数12,，使得1122aee，我们把不共线向量1e，2e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为12,ee，1122ee叫做向量a关于基底12,ee的分解式．注意：由平面向量基本定理可知：只要向量1e与2e不共线，平面内的任一向量a都可以分解成形如1122aee的形式，并且这样的分解是唯一的．1122ee叫做1e，2e的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．推论1：若11223142aeeee，则1324,．推论2：若11220aee，则120．3、线段定比分点的向量表达式如图所示，在ABC△中，若点D是边BC上的点，且BDDC（1），则向量1ABACAD．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．4、三点共线定理平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数,，使OCOAOB，其中1，O为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得ACAB；存在唯一的实数，使得OCOAAB；存在唯一的实数，使得(1)OCOAOB；存在1，使得OCOAOB．5、中线向量定理如图所示，在ABC△中，若点D是边BC的中点，则中线向量1(2ADAB)AC，反之亦正确．DACB知识点四．平面向量的坐标表示及坐标运算（1）平面向量的坐标表示．在平面直角坐标中，分别取与x轴，y轴正半轴方向相同的两个单位向量,ij作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数,xy使axiyj，我们把有序实数对(,)xy叫做向量a的坐标，记作(,)axy．（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有向量(,)xy一一对应向量OA一一对应点(,)Axy．（3）设11(,)axy，22(,)bxy，则1212(,)abxxyy，1212(,)abxxyy，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．若(,)axy，为实数，则(,)axy，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．（4）设11(,)Axy，22(,)Bxy，则ABOBOA=12(,xx12)yy，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．知识点五．平面向量的直角坐标运算①已知点11()Axy，，22()Bxy，，则2121()ABxxyy，，222121||()()ABxxyy②已知11(,)axy，22(,)bxy，则ab1212()xxyy，，11(,)axy，=ab1212xxyy，2211||axy．ab∥12210xyxy，ab12120xxyy【解题方法总结】（1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．即122311nnnAAAAAAAA．（2）||||||||||||abbaab，当且仅当,ba至少有一个为0时，向量不等式的等号成立．（3）特别地：||||||||bbaa或||||||aabb当且仅当,ba至少有一个为0时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立．（4）减法公式：ABACCB，常用于向量式的化简．（5）A、P、B三点共线(1)OPtOAtOB()tR，这是直线的向量式方程．DACB题型一：平面向量的基本概念例1．（2023·全国·高三专题练习）下列说法中正确的是（）A．单位向量都相等B．平行向量不一定是共线向量C．对于任意向量,ab，必有||||||ababrrrrD．若,ab满足||||ab且a与b同向，则ab【答案】C【解析】依题意，对于A，单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；对于B，平行向量就是共线向量，故错误；对于C，若,ab同向共线，||||||ababrrrr，若,ab反向共线，||||||ababrrrr，若,ab不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边知||||||ababrrrr.综上可知对于任意向量,ab，必有||||||ababrrrr，故正确；对于D，两个向量不能比较大小，故错误.故选：C.例2．（2023·全国·高三专题练习）给出如下命题：①向量AB的长度与向量BA的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB与向量CD是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．其中正确的命题个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】对于①，向量AB与向量BA，长度相等，方向相反，故①正确；对于②，向量a与b平行时，a或b为零向量时，不满足条件，故②错误；对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；对于⑤，向量AB与CD是共线向量，点A，B，C，D不一定在同一条直线上，故⑤错误．综上，正确的命题是①③．故选：B．例3．（2023·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是（）A．若ab，则32abB．BCBADCADC．ababa与b的方向相反D．若abc，则abc【答案】B【解析】对于A选项，由于任意两个向量不能比大小，故A错；对于B选项，BCBADCACCDAD，故B对；对于C选项，ababa与b的方向相同，故C错；对于D选项，若abc，但a、b、c的方向不确定，故D错.故选：B.变式1．（2023·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（）A．若ab，则abB．若ab，则abC．若ab，则//abD．若ab¹，则,ab不是共线向量【答案】C【解析】A.因为向量不能比较大小，所以该选项错误；B.若ab，则,ab不一定相等，有可能它们方向不同，但是模相等，所以该选项错误；C.若ab，则//ab，所以该选项正确；D.若ab¹，则,ab也有可能是共线向量，有可能方向相同模不相等，有可能方向相反，所以该选项错误.故选：C变式2．（2023·全国·高三对口高考）给出下列四个命题：①若||||ab，则,abab；②若ABDC，则A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点；③若,abbc，则ac；④若//ab，//bc，则//ac；其中正确的命题的个数为（）A．4B．3C．2D．1【答案】D【解析】①若||||ab，只能说明,ab模相等，它们方向不一定相同或相反，错；②若ABDC，若//ABDC且ABDC，即A，B，C，D是一个平行四边形的四个顶点，若,,,ABCD四点共线，不能构成平行四边形，错；③若,abbc，即,ab、,ac分别为相等向量，故ac，对；④若//ab，//bc，当b为零向量时//ac不一定成立，错.故选：D变式3．（2023·全国·高三对口高考）若0abc，则a，b，c（）A．都是非零向量时也可能无法构成一个三角形B．一定不可能构成三角形C．都是非零向量时能构成三角形D．一定可构成三角形【答案】A【解析】ACD选项，若非零向量,,abc共线时，也能满足0abc，但无法构成一个三角形，A正确，CD错误；B选项，当非零向量,,abc两两不共线时，可构成三角形，B错误.故选：A【解题方法总结】准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键．共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相等向量．共线向量或相等向量均与向量起点无关．题型二：平面向量的线性表示例4．（2023·山东泰安·统考模拟预测）在ABC中，点D为AC中点，点E在BC上且2BEEC.记,ABaACb，则ED（）A．1136abB．1136abC．1163abD．1136ab【答案】B【解析】如图所示：由,ABaACb，所以BCACABba，又2BEEC，1133ECBCba，又因为D为AC中点，12CDb，则1136EDECCDab，故选：B.例5．（2023·河北邯郸·统考三模）已知等腰梯形ABCD满足//ABCD，AC与BD交于点P，且22ABCDBC，则下列结论错误．．的是（）A．2APPCB．||2||APPDC．2133APADABD．1233ACADAB【答案】D【解析】依题意，显然APBDPC∽，故有21ABAPPBCDPCPD，即2APPC，2PBPD，则2APPC