第五章 平面向量与复数（测试）（解析版）

第五章平面向量与复数（测试）时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知24ab，2(5,2)ab，若a与b模相等，则ar=（）.A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】因为2(5,2)ab，所以229ab，故22224429ababab，而又已知24ab，且ab，所以2249629aa，解得5a.故选：C2．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知向量23,2,0,2,,3abck，若2abrr与c共线，则k（）A．4B．3C．2D．1【答案】D【解析】223,6ab，2//,6233,1abckk；故选：D.3．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）在ABC中，BDDA，DEEC，设ABa=，ACb，则AE（）A．3142abB．1142abC．1124ab+rrD．1144ab【答案】B【解析】由BDDA，DEEC可知,DE分别为,ABCD的中点，所以()11111112224242AEADACABACABACab骣琪=+=+=+=+琪桫,故选：B4．（2023·陕西商洛·统考三模）已知两个单位向量a，b的夹角为150°，则|3|ab（）A．7B．3C．3D．1【答案】D【解析】2223|3|233123312abaabb，所以|3|1ab．故选:D.5．（2023·全国·校联考三模）将向量(1,3)OP绕坐标原点O顺时针旋转30得到1OP，则1OPOP（）A．0B．3C．2D．23【答案】D【解析】根据题意可知11(3,1),133123OPOPOP．故选：D6．（2023·全国·校联考三模）已知向量1,3,1,7aab，则向量a在向量b方向上的投影为（）A．55B．5C．5D．25【答案】B【解析】由题知，向量1,71,32,4baba，所以21210ab.又41625b，所以向量a在向量b方向上的投影为10525abb.故选:B.7．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知平面向量OA，OB满足2OAOB，2OAOB，点D满足 2DAOD，E为AOB的外心，则OBED的值为（）A．163B．83C．83D．163【答案】B【解析】由题意，2OAOB，∵2ccos2os2OAOBOAOB，解得：1cos2，∴两向量夹角2π3，∵2DAOD，以O为坐标原点,OA,垂直于OA所在直线为x,y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则0,0,2,0,1,3OAB,设,0Dx,由2DAOD,知,022,0xx,解得23x,∴2,03D又E为AOB的外心，∴1π,,23AOEAOBOEEAπ3AOEEAOOEA，∴AOE△为等边三角形,∴1,3E，∴1,33ED,∴83OBED.故选：B.8．（2023·贵州安顺·统考模拟预测）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足ABACOPOAABACR，则点P的轨迹一定经过ABC的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心【答案】C【解析】因为ABAB为AB方向上的单位向量，ACACuuuruuur为AC方向上的单位向量，则||||ABACABAC的方向与BAC的角平分线一致，由ABACOPOAABAC，可得ABACOPOAABAC，即ABACAPABAC，所以点P的轨迹为BAC的角平分线所在直线，故点P的轨迹一定经过ABC的内心.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（2023·全国·模拟预测）有关平面向量的说法，下列错误的是（）A．若//abrr，//bc，则//acrrB．若a与b共线且模长相等，则abC．若ab且a与b方向相同，则abD．ababba恒成立【答案】ABC【解析】对于A选项，取0b，因为//abrr，//bc，则a、c不一定共线，A错；对于B选项，若a与b共线且模长相等，则ab或ab，B错；对于C选项，任何两个向量不能比大小，C错；对于D选项，ababba恒成立，D对.故选：ABC.10．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知向量a，b满足1ab且|2|5ba，则下列结论正确的是（）A．||2abB．2abC．,60abD．ab【答案】AD【解析】因为|2|5ba，所以22445baba；因为1ab，所以0ab，所以,90ab，故C错误，D正确；因为222||22abaabb，所以||2ab，A正确；因为22222aabbba，所以2ab，B错误；故选：AD.11．（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）已知向量(1,2)a，(1,3)b，2,ct，则下列说法正确的是（）A．若//bc，则6tB．若()aab，则1C．若33acac，则(23)15abcD．若向量a与c的夹角为锐角，则实数t的取值范围是(1,)【答案】AC【解析】对于A，因为(1,3)b，2,ct，所以123t，所以6t，A正确；对于B，因为()aab，所以()0aab，所以0aaab，又(1,2)a，(1,3)b，所以511230，所以1，B错误；对于C，由33acac可得，2233acac，所以22229696aaccaacc，所以0ac，由(1,2)a，2,ct，可得220t，所以1t，所以2,1c，(1,3)b，所以(23)2332315abcacbc，C正确；对于D，由向量a与c的夹角为锐角，可得0ac，且向量a与c不共线，所以220t，且122t，所以实数t的取值范围是1,44,，D错误；故选：AC.12．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）在直角梯形ABCD中，,2,ABADABDCE为AB中点，,MN分别为线段DE的两个三等分点，点P为线段BD上任意一点，若AMAPAN，则的值可能是（）A．1B．32C．57D．3【答案】AB【解析】如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，不妨设6,3,0ABADmm，则0,0,6,0,0,3,3,0,2,,1,2ABDmEMmNm，则(2,),(1,2),(6,3),(6,0)AMmANmBDmAB设,01BPxBDx，则(66,3)APABxBDxmx∵AMAPAN，∴(66,3)(2,)(1,2)(2,2)xmxmmmm，∴66232xmxmm整理得2x，因为[0,1]x，所以2[1,2]x故选：AB.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知向量2,3a，1,2b，4,3c，若abc，则ac______．【答案】9【解析】因为(21,23)ab，()abc，所以4(21)3(23)0，解得2，则0,9ac，9ac．故答案为：9.14．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）在ABC中，3ABAD，点E是CD的中点.若存在实数,使得AEABAC，则__________（请用数字作答）.【答案】23【解析】因为E是CD的中点，所以12AEACCEACCD1122ACADACADAC因为3ABAD，所以13AADB，所以1162AEABAC，所以11,62，即112623.故答案为：23.15．（2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）在ABC中，90C∠，30B，BAC的平分线交BC于点D，若,RADABAC，则______．【答案】12/0.5【解析】在ABC中，90C∠，30B，则60BAC，又AD平分BAC，即有30CADDAB，因此2BDADCD，即有12CDDB，1()2ADACABAD，整理得1233ADABAC，而ADABAC，且,ABAC不共线，于是12,33，所以12.故答案为：1216．（2023·贵州安顺·统考模拟预测）已知点P是以AB为直径的圆上任意一点，且2AB，则APAB的取值范围是______________．【答案】0,4【解析】依题意，以AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，如图，则(1,0),(1,0)AB，因为点P是以AB为直径的圆上任意一点，故可设(cos,sin),[0,2π)P，则(cos1,sin),(2,0)APAB，所以2(cos1)APAB，因为[0,2π)，所以1cosθ1-＃，则02cos14，故04APAB，即APAB的取值范围为0,4.故答案为：0,4.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）（2023·河南许昌·高三校考期末）已知向量(1,2)a，(3,2)b．(1)求ab；(2)已知10c，且(2)acc，求向量a与向量c的夹角．【解析】（1）由题知，(1,2)a，(3,2)b所以(2,4)ab，所以41625ab.（2）由题知，(1,2)a，10c，(2)acc，所以5a，(2)0acc，所以220acc，所以22||||cos,)||0acacc，所以2510cos,100ac，所以2cos,2ac，因为,)0,πac，向量a与向量c的夹角为3π4.18．（12分）（2023·全国·高三专题练习）已知向量0,6OA，8,0OB，,OCxy．(1)若点A，B，C三点共线，求实数x，y满足的关系；(2)若x=1且ACB为钝角，求实数y的取值范围．【解析】（1）因为A，B，C三点共线，即CACB∥，,6CAxy，8,CBxy，所以680xyyx，即34240xy；（2）因为ACB为钝角，所以0CACBuuuruuur且CA，CB不共线，由（1）得：当1x，且CACB∥时，214y，因为CA，CB不共线，所以214y，1,6CAy，7,CBy，2760CACByy，解得：71y，所以71y且214y.19．（12分）（2023·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）已知向量：2,3,1,3ab.(1)求a与b的模长.(2)求a与b的数量积.(3)求a与b的夹角的余弦值.(4)借助向量和单位圆求证：coscoscossinsin